2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2018 年年全国统一全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标高考数学试卷（文科）（全国新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=0，2，B=2，1，0，1，2，则 AB=（）A0，2 B1，2 C0 D2，1，0，1，2 2（5 分）设 z=+2i，则|z|=（）A0 B C1 D 3（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4（5 分）已知椭圆 C：+=1 的一个焦点为（2，0），则 C 的离心率为（）A B C D 5（5 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）A12 B12 C8 D10 6（5 分）设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 7（5 分）在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则=（）A B C+D+8（5 分）已知函数 f（x）=2cos2xsin2x+2，则（）Af（x）的最小正周期为，最大值为 3 Bf（x）的最小正周期为，最大值为 4 Cf（x）的最小正周期为 2，最大值为 3 Df（x）的最小正周期为 2，最大值为 4 9（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A2 B2 C3 D2 10（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为（）A8 B6 C8 D8 11（5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2=，则|ab|=（）A B C D1 第 2 页（共 15 页）12（5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（x+1）f（2x）的 x 的取值范围是（）A（，1 B（0，+）C（1，0）D（，0）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知函数 f（x）=log2（x2+a），若 f（3）=1，则 a=14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为 15（5 分）直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y3=0 交于 A，B 两点，则|AB|=16（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2a2=8，则ABC 的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）已知数列an满足 a1=1，nan+1=2（n+1）an，设 bn=（1）求 b1，b2，b3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3）求an的通项公式 18（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=DA，求三棱锥 QABP 的体积 第 3 页（共 15 页）19（12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0，0.1）0.1，0.2）0.2，0.3）0.3，0.4）0.4，0.5）0.5，0.6）0.6，0.7）频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0，0.1）0.1，0.2）0.2，0.3）0.3，0.4）0.4，0.5）0.5，0.6）频数 1 5 13 10 16 5（1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）20（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N两点（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；（2）证明：ABM=ABN 21（12 分）已知函数 f（x）=aexlnx1（1）设 x=2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；（2）证明：当 a时，f（x）0 第 4 页（共 15 页）（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y=k|x|+2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+2cos3=0（1）求 C2的直角坐标方程；（2）若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23已知 f（x）=|x+1|ax1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 15 页）2018 年年全国统一全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标高考数学试卷（文科）（全国新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=0，2，B=2，1，0，1，2，则 AB=（）A0，2 B1，2 C0 D2，1，0，1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【解答】解：集合 A=0，2，B=2，1，0，1，2，则 AB=0，2 故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查 2（5 分）设 z=+2i，则|z|=（）A0 B C1 D 【考点】A8：复数的模菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模【解答】解：z=+2i=+2i=i+2i=i，则|z|=1 故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力 3（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑【分析】设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a A 项，种植收入 37%2a60%a=14%a0，故建设后，种植收入增加，故 A 项错误 B 项，建设后，其他收入为 5%2a=10%a，建设前，其他收入为 4%a，故 10%a4%a=2.52，故 B 项正确 第 6 页（共 15 页）C 项，建设后，养殖收入为 30%2a=60%a，建设前，养殖收入为 30%a，故 60%a30%a=2，故 C 项正确 D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）2a=58%2a，经济收入为 2a，故（58%2a）2a=58%50%，故 D 项正确 因为是选择不正确的一项，故选：A【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力 4（5 分）已知椭圆 C：+=1 的一个焦点为（2，0），则 C 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出 a，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆 C：+=1 的一个焦点为（2，0），可得 a24=4，解得 a=2，c=2，e=故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 5（5 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）A12 B12 C8 D10 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，可得：4R2=8，解得 R=，则该圆柱的表面积为：=12 故选：B【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查 6（5 分）设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1，第 7 页（共 15 页）曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力 7（5 分）在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则=（）A B C+D+【考点】9H：平面向量的基本定理菁优网版权所有【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量【解答】解：在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，=（+）=，故选：A【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题 8（5 分）已知函数 f（x）=2cos2xsin2x+2，则（）Af（x）的最小正周期为，最大值为 3 Bf（x）的最小正周期为，最大值为 4 Cf（x）的最小正周期为 2，最大值为 3 Df（x）的最小正周期为 2，最大值为 4 【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果【解答】解：函数 f（x）=2cos2xsin2x+2，=2cos2xsin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用 9（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A2 B2 C3 D2 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为：2，第 8 页（共 15 页）直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度：=2 故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力 10（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为（）A8 B6 C8 D8 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，即AC1B=30，可得 BC1=2 可得 BB1=2 所以该长方体的体积为：2=8 故选：C 【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力 11（5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2=，则|ab|=（）A B C D1 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】推导出 cos2=2cos21=，从而|cos|=，进而|tan|=|=|ab|=由此能求出结果【解答】解：角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2=，cos2=2cos21=，解得 cos2=，|cos|=，|sin|=，|tan|=|=|ab|=故选：B【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 第 9 页（共 15 页）12（5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（x+1）f（2x）的 x 的取值范围是（）A（，1 B（0，+）C（1，0）D（，0）【考点】5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可【解答】解：函数 f（x）=，的图象如图：满足 f（x+1）f（2x），可得：2x0 x+1 或 2xx+10，解得 x（，0）故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知函数 f（x）=log2（x2+a），若 f（3）=1，则 a=7 【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可【解答】解：函数 f（x）=log2（x2+a），若 f（3）=1，可得：log2（9+a）=1，可得 a=7 故答案为：7【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查 14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为6 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=3x+2y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象知当直线 y=x+z 经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最大，最大值为 z=32=6，故答案为：6 第 10 页（共 15 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键 15（5 分）直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y3=0 交于 A，B 两点，则|AB|=2 【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可【解答】解：圆 x2+y2+2y3=0 的圆心（0，1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2 故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力 16（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2a2=8，则ABC 的面积为 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】直接利用正弦定理求出 A 的值，进一步利用余弦定理求出 bc 的值，最后求出三角形的面积【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于 0B，0C，所以 sinBsinC0，所以 sinA=，则 A=由于 b2+c2a2=8，则：，当 A=时，解得 bc=，所以 当 A=时，解得 bc=（不合题意），舍去 故：故答案为：【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用 第 11 页（共 15 页）三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）已知数列an满足 a1=1，nan+1=2（n+1）an，设 bn=（1）求 b1，b2，b3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3）求an的通项公式 【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项（2）利用定义说明数列为等比数列（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式【解答】解：（1）数列an满足 a1=1，nan+1=2（n+1）an，则：（常数），由于，故：，数列bn是以 b1为首项，2 为公比的等比数列 整理得：，所以：b1=1，b2=2，b3=4（2）数列bn是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用 18（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=DA，求三棱锥 QABP 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）可得 ABAC，ABDA且 ADAC=A，即可得 AB面 ADC，平面 ACD平面ABC；（2）首先证明 DC面 ABC，再根据 BP=DQ=DA，可得三棱锥 QABP 的高，求出三角形 ABP 的面积即可求得三棱锥 QABP 的体积【解答】解：（1）证明：在平行四边形 ABCM 中，ACM=90，ABAC，又 ABDA且 ADAC=A，AB面 ADC，AB面 ABC，平面 ACD平面 ABC；第 12 页（共 15 页）（2）AB=AC=3，ACM=90，AD=AM=3，BP=DQ=DA=2，由（1）得 DCAB，又 DCCA，DC面 ABC，三棱锥 QABP 的体积 V=1【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 19（12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0，0.1）0.1，0.2）0.2，0.3）0.3，0.4）0.4，0.5）0.5，0.6）0.6，0.7）频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0，0.1）0.1，0.2）0.2，0.3）0.3，0.4）0.4，0.5）0.5，0.6）频数 1 5 13 10 16 5（1）作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】（1）根据使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率（3）由题意得未使用水龙头 50 天的日均水量为 0.48，使用节水龙头 50 天的日均用水量为 0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水【解答】解：（1）根据使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：第 13 页（共 15 页）（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率为：p=（0.2+1.0+2.6+1）0.1=0.48（3）由题意得未使用水龙头 50 天的日均水量为：（10.05+30.15+20.25+40.35+90.45+260.55+50.65）=0.48，使用节水龙头 50 天的日均用水量为：（10.05+50.15+130.25+100.35+160.45+50.55）=0.35，估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365（0.480.35）=47.45m3【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 20（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N两点（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；（2）证明：ABM=ABN 【考点】KN：直线与抛物线的综合菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）当 x=2 时，代入求得 M 点坐标，即可求得直线 BM 的方程；（2）设直线 l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得 kBN+kBM=0，即可证明ABM=ABN【解答】解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，x=2，代入抛物线解得 y=2，所以 M（2，2）或 M（2，2），直线 BM 的方程：y=x+1，或：y=x1（2）证明：设直线 l 的方程为 l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线 l 与抛物线方程得，消 x 得 y22ty4=0，即 y1+y2=2t，y1y2=4，则有 kBN+kBM=+=0，所以直线 BN 与 BM 的倾斜角互补，ABM=ABN【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=aexlnx1（1）设 x=2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间；（2）证明：当 a时，f（x）0 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用 第 14 页（共 15 页）【分析】（1）推导出 x0，f（x）=aex，由 x=2 是 f（x）的极值点，解得 a=，从而 f（x）=exlnx1，进而 f（x）=，由此能求出 f（x）的单调区间（2）当 a时，f（x）lnx1，设 g（x）=lnx1，则，由此利用导数性质能证明当 a时，f（x）0【解答】解：（1）函数 f（x）=aexlnx1 x0，f（x）=aex，x=2 是 f（x）的极值点，f（2）=ae2=0，解得 a=，f（x）=exlnx1，f（x）=，当 0 x2 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0，f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）证明：当 a时，f（x）lnx1，设 g（x）=lnx1，则，当 0 x1 时，g（x）0，当 x1 时，g（x）0，x=1 是 g（x）的最小值点，故当 x0 时，g（x）g（1）=0，当 a时，f（x）0【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y=k|x|+2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+2cos3=0（1）求 C2的直角坐标方程；（2）若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C2的极坐标方程为 2+2cos3=0 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4（2）由于曲线 C1的方程为 y=k|x|+2，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点（0，2）由于该射线与曲线 C2的极坐标有且仅有三个公共点 所以：必有一直线相切，一直线相交 则：圆心到直线 y=kx+2 的距离等于半径 2 故：，或 解得：k=或 0，（0 舍去）或 k=或 0 经检验，直线与曲线 C2没有公共点 故 C1的方程为：【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23已知 f（x）=|x+1|ax1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 第 15 页（共 15 页）【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（2）当 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，转化为即|ax1|1，即 0ax2，转化为 a，且 a0，即可求出 a 的范围【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=|x+1|x1|=，由 f（x）1，或，解得 x，故不等式 f（x）1 的解集为（，+），（2）当 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，|x+1|ax1|x0，即 x+1|ax1|x0，即|ax1|1，1ax11，0ax2，x（0，1），a0，0 x，a 2，0a2，故 a 的取值范围为（0，2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题