2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.1（5 分）已知集合 A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（）A5 B4 C3 D2 2（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）3（5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z=（）A2i B2+i C2i D2+i 4（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）A B C D 5（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）A3 B6 C9 D12 6（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 7（5 分）已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（）A B C10 D12 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 9（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）A5 B6 C7 D8 第 2 页（共 16 页）10（5 分）已知函数 f（x）=，且 f（a）=3，则 f（6a）=（）A B C D 11（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（）A1 B2 C4 D8 12（5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a的图象关于 y=x 对称，且 f（2）+f（4）=1，则 a=（）A1 B1 C2 D4 二、本大题共二、本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13（5 分）在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n=14（5 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a=15（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为 16（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0，6）当APF 周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a=，求ABC 的面积 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积 第 3 页（共 16 页）19（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=20（12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M、N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）若=12，其中 O 为坐标原点，求|MN|21（12 分）设函数 f（x）=e2xalnx（）讨论 f（x）的导函数 f（x）零点的个数；（）证明：当 a0 时，f（x）2a+aln 第 4 页（共 16 页）四、请考生在第四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若 OA=CE，求ACB 的大小 五、【选修五、【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为=（R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 六、【选修六、【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.1（5 分）已知集合 A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为（）A5 B4 C3 D2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则 AB=8，14，故集合 AB 中元素的个数为 2 个，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量=（4，3），则向量=（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之【解答】解：由已知点 A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（4，3），则向量=（7，4）；故选：A【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒 3（5 分）已知复数 z 满足（z1）i=1+i，则 z=（）A2i B2+i C2i D2+i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z1，进一步求得 z【解答】解：由（z1）i=1+i，得 z1=，z=2i 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 4（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）A B C D 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共 10 种，其中只有（3，4，5）为勾股数，第 6 页（共 16 页）故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题 5（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）A3 B6 C9 D12 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出 A，B 坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线 C：y2=8x 的焦点（2，0）重合，可得 c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得 y=3，所以 A（2，3），B（2，3）|AB|=6 故选：B【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 6（5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则r=8，解得 r=，故米堆的体积为（）25，1 斛米的体积约为 1.62 立方，1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础 7（5 分）已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（）A B C10 D12 【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有 第 7 页（共 16 页）【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：an是公差为 1 的等差数列，S8=4S4，8a1+1=4（4a1+），解得 a1=则 a10=+91=故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 【考点】HA：余弦函数的单调性菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得 f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得 f（x）的减区间【解答】解：由函数 f（x）=cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）由 2kx+2k+，求得 2kx2k+，故 f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：D【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题 9（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）A5 B6 C7 D8 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟第 8 页（共 16 页）程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的 n 值为 7，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 10（5 分）已知函数 f（x）=，且 f（a）=3，则 f（6a）=（）A B C D 【考点】3T：函数的值菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】利用分段函数，求出 a，再求 f（6a）【解答】解：由题意，a1 时，212=3，无解；a1 时，log2（a+1）=3，=7，f（6a）=f（1）=2112=故选：A【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础 11（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（）A1 B2 C4 D8 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2+r22r2r+2r2r+r2=5r2+4r2，又该几何体的表面积为 16+20，5r2+4r2=16+20，解得 r=2，故选：B 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题 12（5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a的图象关于 y=x 对称，且 f（2）+f（4）=1，则 a=第 9 页（共 16 页）（）A1 B1 C2 D4 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用【分析】先求出与 y=2x+a的反函数的解析式，再由题意 f（x）的图象与 y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数 f（x）的解析式，问题得以解决【解答】解：与 y=2x+a的图象关于 y=x 对称的图象是 y=2x+a的反函数，y=log2xa（x0），即 g（x）=log2xa，（x0）函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a的图象关于 y=x 对称，f（x）=g（x）=log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）=1，log22+alog24+a=1，解得，a=2，故选：C【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题 二、本大题共二、本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13（5 分）在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn=126，则 n=6 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由 an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列an是 a1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解【解答】解：an+1=2an，a1=2，数列an是 a1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列，Sn=2n+12=126，2n+1=128，n+1=7，n=6 故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式 14（5 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则 a=1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数 f（x）=ax3+x+1 的导数为：f（x）=3ax2+1，f（1）=3a+1，而 f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以 7a2=（3a+1）（21），解得 a=1 故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 第 10 页（共 16 页）15（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为4 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=3x+y 为 y=3x+z，由图可知，当直线 y=3x+z 过 B（1，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 有最大值为 31+1=4 故答案为：4【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 16（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0，6）当APF 周长最小时，该三角形的面积为12 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，确定APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出APF 周长最小时，该三角形的面积【解答】解：由题意，设 F是左焦点，则APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2|AF|+|AF|+2（A，P，F三点共线时，取等号），直线 AF的方程为与 x2=1 联立可得 y2+6y96=0，P 的纵坐标为 2，APF 周长最小时，该三角形的面积为=12 故答案为：12【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定 P 的坐标是关键 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a=，求ABC 的面积 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=第 11 页（共 16 页）（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90，且 a=，a2+c2=b2=2ac，解得 a=c=SABC=1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面 AEC平面 BED；（）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可【解答】证明：（）四边形 ABCD 为菱形，ACBD，BE平面 ABCD，ACBE，则 AC平面 BED，AC平面 AEC，平面 AEC平面 BED；解：（）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120，得 AG=GC=x，GB=GD=，BE平面 ABCD，BEBG，则EBG 为直角三角形，EG=AC=AG=x，则 BE=x，三棱锥 EACD 的体积 V=，解得 x=2，即 AB=2，ABC=120，AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+42=12，即 AC=，在三个直角三角形 EBA，EBD，EBC 中，斜边 AE=EC=ED，AEEC，EAC 为等腰三角形，则 AE2+EC2=AC2=12，即 2AE2=12，AE2=6，则 AE=，从而得 AE=EC=ED=，EAC 的面积 S=3，在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EFAD 于 F，则 AE=，AF=，则 EF=，EAD 的面积和ECD 的面积均为 S=，故该三棱锥的侧面积为 3+2 第 12 页（共 16 页）【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式 19（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（）根据散点图，即可判断出，（）先建立中间量 w=，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以解决；（）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出【解答】解：（）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型；（）令 w=，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于=68，=563686.8=100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w，因此 y 关于 x 的回归方程为=100.6+68，（）（i）由（）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值=100.6+68=576.6，年利润 z 的预报值=576.60.249=66.32，（ii）根据（）的结果可知，年利润 z 的预报值=0.2（100.6+68）x=x+13.6+20.12，当=6.8 时，即当 x=46.24 时，年利润的预报值最大【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题 第 13 页（共 16 页）20（12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M、N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）若=12，其中 O 为坐标原点，求|MN|【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】26：开放型；5B：直线与圆【分析】（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围（2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解【解答】（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kxy+1=0 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3），半径 R=1 故由1，故当k，过点 A（0，1）的直线与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 相交于 M，N 两点（2）设 M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程（x2）2+（y3）2=1，可得（1+k2）x24（k+1）x+7=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=k2+k+1=，由=x1x2+y1y2=12，解得 k=1，故直线 l 的方程为 y=x+1，即 xy+1=0 圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径 所以|MN|=2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力 21（12 分）设函数 f（x）=e2xalnx（）讨论 f（x）的导函数 f（x）零点的个数；（）证明：当 a0 时，f（x）2a+aln 【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】（）先求导，在分类讨论，当 a0 时，当 a0 时，根据零点存在定理，即可求出；（）设导函数 f（x）在（0，+）上的唯一零点为 x0，根据函数 f（x）的单调性得到函数的最小值 f（x0），只要最小值大于 2a+aln，问题得以证明【解答】解：（）f（x）=e2xalnx 的定义域为（0，+），f（x）=2e2x 当 a0 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）没有零点，当 a0 时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又 f（a）0，假设存在 b 满足 0bln时，且 b，f（b）0，故当 a0 时，导函数 f（x）存在唯一的零点，（）由（）知，可设导函数 f（x）在（0，+）上的唯一零点为 x0，当 x（0，x0）时，f（x）0，当 x（x0+）时，f（x）0，故 f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+）单调递增，第 14 页（共 16 页）所欲当 x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为 f（x0），由于=0，所以 f（x0）=+2ax0+aln2a+aln 故当 a0 时，f（x）2a+aln【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题 四、请考生在第四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修 4-1：几何证明选讲】：几何证明选讲】22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若 OA=CE，求ACB 的大小 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】（）连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得 DE 是O 的切线；（）设 CE=1，AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 x2=，解方程可得 x 值，可得所求角度【解答】解：（）连接 AE，由已知得 AEBC，ACAB，在 RTABC 中，由已知可得 DE=DC，DEC=DCE，连接 OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是O 的切线；（）设 CE=1，AE=x，由已知得 AB=2，BE=，由射影定理可得 AE2=CEBE，x2=，即 x4+x212=0，解方程可得 x=ACB=60 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题 五、【选修五、【选修 4-4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为=（R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（）由条件根据 x=cos，y=sin 求得 C1，C2的极坐标方程（）把直线 C3的极坐标方程代入 23+4=0，求得 1和 2的值，结合圆的半径可得 C2MC2N，从而求得C2MN 的面积C2MC2N 的值 第 15 页（共 16 页）【解答】解：（）由于 x=cos，y=sin，C1：x=2 的 极坐标方程为 cos=2，故 C2：（x1）2+（y2）2=1 的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得 2（2cos+4sin）+4=0（）把直线 C3的极坐标方程=（R）代入 圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，可得 2（2cos+4sin）+4=0，求得 1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆 C2的半径为 1，C2MC2N，C2MN 的面积为C2MC2N=11=【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题 六、【选修六、【选修 4-5：不等式选讲】：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（）当 a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）化简函数 f（x）的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积；再根据 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=1 时，不等式 f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即，或，或 解求得 x，解求得x1，解求得 1x2 综上可得，原不等式的解集为（，2）（）函数 f（x）=|x+1|2|xa|=，由此求得 f（x）的图象与 x 轴的交点 A（，0），B（2a+1，0），故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1），由ABC 的面积大于 6，可得2a+1（a+1）6，求得 a2 故要求的 a 的范围为（2，+）第 16 页（共 16 页）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题