2009年北京高考理科数学试题及答案.doc

2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题 共40分）注意事项： 1答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知向量不共线，如果，那么 A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向3为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 A B1 C D5“”是“”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6若为有理数），则 A45 B55 C70 D807用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A324 B328 C360 D6488点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10若实数满足则的最小值为_。11设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为_。12椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_；的小大为_。13若函数 则不等式的解集为_。14已知数列满足：则_；=_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。（I）求的值；（）求的面积。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（I）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。17（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。18（本小题共13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（I）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。（I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且（）证明：当时，成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1B 2D 3C 4D 5A 6C 7B 8A9 10 11 12 13 141，0三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（）A、B、C为ABC的内角，且，. （）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积. 16（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小为.（）DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，. 在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.17（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， 即的分布列是02468的期望是.18（）, 曲线在点处的切线方程为（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， （）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.19（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得由 及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 20（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P.由于都属于数集，该数集具有性质P.（）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故.从而， ，故.由A具有性质P可知.又， ，从而，.（）由（）知，当时，有，即，由A具有性质P可知.由，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ，复数所对应的点为，故选B.2已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.3为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A，B，C，D.故应选C.4若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 （ ） A B1C D【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选D.5“”是“”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时， 反之，当时，有， 或，故应选A.6若为有理数），则 （ ） A45 B55 C70 D80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ， 由已知，得，.故选C.7用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.8点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）第卷（共110分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9_.W【答案】【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. ，故应填.10若实数满足则的最小值为_.【答案】【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时，为最小值.故应填.11设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_.【答案】【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.取，如图，采用数形结合法，易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.12椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_；的小大为_. 【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ，又，又由余弦定理，得，故应填. 13若函数 则不等式的解集为_.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由. （2）由. 不等式的解集为，应填.14已知数列满足：则_；=_.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得，. 应填1，0.三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，. （）求的值；（）求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力（）A、B、C为ABC的内角，且，. （）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积. 16（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 （）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小为.（）DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，. 在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （）， ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小为.（）同解法1.17（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， 即的分布列是02468的期望是.18（本小题共13分）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间； （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）, 曲线在点处的切线方程为（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， （）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.19（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得由 及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法2】（）同解法1（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由 及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.20（本小题共13分）已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.k.s.5. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P.由于都属于数集，该数集具有性质P.（）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故.从而， ，故.由A具有性质P可知.又，从而，.（）由（）知，当时，有，即，由A具有性质P可知.由，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.22