2021年海南省新高考数学试题及答案.pdf

2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）卷）使用省份：海南使用省份：海南 辽宁辽宁 重庆重庆 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）2i1 3iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.2i1 3i【详解】，所以该复数对应的点为，2i 1 3i2i55i1 i1 3i101021 1,2 2该点在第一象限，故选：A.2.设集合，则（）1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UABUAB A.B.C.D.31,65,61,3【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求.UAB【详解】由题设可得，故，U1,5,6B U1,6AB故选：B.3.抛物线的焦点到直线的距离为，则（）22(0)ypx p1yx2p A.1 B.2 C.D.4 2 2【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.p【详解】抛物线的焦点坐标为，,02p其到直线的距离：，10 xy 0 1221 1pd解得：(舍去).2p 6p 故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为36000kmO，半径 r 为的球，其上点 A 的纬度是指与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗6400kmOA地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单22(1cos)Sr位：），则 S 占地球表面积的百分比约为（）2kmA.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：.226400164003600002(1.cos)1 cos44242%22rr故选：C.5.正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（）A.B.C.D.20 12 328 256328 23【答案】D【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，所以该棱台的高，2222 222h 下底面面积，上底面面积，116S 24S 所以该棱台的体积.121211282164642333Vh SSS S故选：D.6.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）210,NA.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大(9.9,10.1)B.越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5 C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D.越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等(9.9,10.2)(10,10.3)【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于 A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内2109.9,10.1的概率越大，故 A 正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为，故 B 正确；0.5对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故10.019.99C 正确；对于 D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果9.9,10.010.2,10.3落在的概率与落在的概率不同，故 D 错误.9.9,10.210,10.3故选：D.7.已知，则下列判断正确的是（）5log 2a 8log 3b 12c A.B.C.D.cbabacacbabc【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.abc【详解】，即.55881log 2log5log 2 2log 32abacb故选：C.8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）f xR2f x21fxA.B.C.D.102f10f 20f 40f【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.f x4 10f【详解】因为函数为偶函数，则，可得，2f x22fxfx31f xfx因为函数为奇函数，则，所以，21fx1 221fxfx 11fxf x 所以，即，311f xf xf x 4f xf x故函数是以为周期的周期函数，f x4因为函数为奇函数，则，21F xfx 010Ff故，其它三个选项未知.110ff 故选：B.二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）12,nx xxA.样本的标准差 B.样本的中位数 12,nx xx12,nx xxC.样本的极差 D.样本的平均数 12,nx xx12,nx xx【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点则满足的是MNOP（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正误.MN【详解】设正方体的棱长为，2对于 A，如图（1）所示，连接，则，AC/MN AC故（或其补角）为异面直线所成的角，POC,OP MN在直角三角形，故，OPC2OC 1CP 12tan22POC故不成立，故 A 错误.MNOP 对于 B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，NTQPQOQOQNTPQMN由正方体可得平面，而平面，SBCMNADTSN ANDTOQ ANDT故，而，故平面，SNOQSNMNNOQ SNTM又平面，而，MN SNTMOQMNOQPQQ所以平面，而平面，故，故 B 正确.MN OPQPO OPQMNOP 对于 C，如图（3），连接，则，由 B 的判断可得，BD/BD MNOPBD故，故 C 正确.OPMN 对于 D，如图（4），取的中点，的中点，连接，ADQABK,AC PQ OQ PK OK则，/AC MN因为，故，故，DPPC/PQ AC/PQ MN所以或其补角为异面直线所成的角，QPO,PO MN 因为正方体的棱长为 2，故，122PQAC22123OQAOAQ，故不是直角，224 15POPKOK 222QOPQOPQPO故不垂直，故 D 错误.,PO MN故选：BC.11.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）2:0l axbyr222:C xyr(,)A a bA.若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B.若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 C.若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D.若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切【答案】ABD【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关222,abr系即可得解.【详解】圆心到直线 l 的距离，0,0C222rdab若点在圆 C 上，则，所以，,A a b222abr222=rdrab则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；若点在圆 C 内，则，所以，,A a b222abr222rdrab则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；若点在圆 C 外，则，所以，,A a b222abr222rdrab则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；若点在直线 l 上，则即，,A a b2220abr222=abr所以，直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.222=rdrab故选：ABD.12.设正整数，其中，记则010112222kkkknaaaa0,1ia 01knaaa（）A.B.2nn 231nn C.D.8543nn21nn【答案】ACD【解析】【分析】利用的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误.n【详解】对于 A 选项，01knaaa12101122222kkkknaaaa所以，A 选项正确；012knaaan对于 B 选项，取，2n 0122371 21 21 2n 73而，则，即，B 选项错误；0120 21 2 21 721对于 C 选项，3430234301018522251 21 2222kkkknaaaaaa 所以，01852knaaa，2320123201014322231 21 2222kkkknaaaaaa 所以，因此，C 选项正确；01432knaaa8543nn对于 D 选项，故，D 选项正确.01121222nn 21nn故选：ACD.三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知双曲线的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_ 222210,0 xyabab【答案】3yx【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得，再由渐近线方程即可得解.223ba【详解】因为双曲线的离心率为 2，222210,0 xyabab所以，所以，222222cabeaa223ba所以该双曲线的渐近线方程为.3byxxa 故答案为：.3yx【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.写出一个同时具有下列性质的函数_ :fx；当时，；是奇函数 1212f x xf xf x(0,)x()0fx()fx【答案】（答案不唯一，均满足）4f xx 2*nxNfnx【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的.f x【详解】取，则，满足，4f xx 44421121122xf xfxxx xf xx，时有，满足，34fxx0 x 0fx的定义域为，34fxxR又，故是奇函数，满足.34fxxfx fx故答案为：（答案不唯一，均满足）4f xx 2*nxNfnx 15.已知向量，_ 0abc1a 2bca bb cc a 【答案】92【解析】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.20abc【详解】由已知可得，22222920abcabca bb cc aa bb cc a 因此，.92a bb cc a 故答案为：.9216.已知函数，函数的图象在点和点的两条切线12()1,0,0 xf xexx()f x11,A xf x22,B xf x 互相垂直，且分别交 y 轴于 M，N 两点，则取值范围是_|AMBN【答案】0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，120 xx1211xeAxM，化简即可得解.2221xeBxN【详解】由题意，则，1011,0,xxxexf xeex 0,0 xxxfxeex所以点和点，,11,1xA xe22,1xB x e12,xxAMBNkeke 所以，12121,0 xxeexx 所以，111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx 所以，112221111xxxe xexAM同理,2221xeBxN 所以.1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB故答案为：0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.120 xx四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17.记是公差不为 0的等差数列的前 n 项和，若 nS na35244,aS a aS（1）求数列的通项公式；nana（2）求使成立的 n 的最小值 nnSa【答案】(1)；(2)7.26nan【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；3a(2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，535Sa3335,0aaa设等差数列的公差为，从而有：，d22433a aadadd，41234333322Saaaaadadaadd 从而：，由于公差不为零，故：，22dd 2d 数列的通项公式为：.3326naandn(2)由数列的通项公式可得：，则：，1264a 214262nn nSnnn 则不等式即：，整理可得：，nnSa2526nnn160nn解得：或，又为正整数，故的最小值为.1n 6n nn7【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18.在中，角、所对的边长分别为、，.ABCABCabc1ba2ca（1）若，求的面积；2sin3sinCAABC（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由 aABCa【答案】（1）；（2）存在，且.15 742a【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理23caabc以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；sin B（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.Ccos0C a【详解】（1）因为，则，则，故，2sin3sinCA2223caa4a 5b 6c ，所以，为锐角，则，2221cos28abcCabC23 7sin1cos8CC因此，；113 715 7sin4 52284ABCSabC （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，cbaABCC由余弦定理可得，22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a解得，则，13a 0 3a由三角形三边关系可得，可得，故.12aaa 1a aZ2a 19.在四棱锥中，底面是正方形，若 QABCDABCD2,5,3ADQDQAQC（1）证明：平面平面；QAD ABCD（2）求二面角的平面角的余弦值 BQDA【答案】（1）证明见解析；（2）.23【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.ADO,QO COQO ABCDQAD ABCD（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面ABCDO/OT CDBCTOTAD、平面的法向量后可求二面角的余弦值.QADBQD【详解】（1）取的中点为，连接.ADO,QO CO因为，则，QAQDOAODQO AD而，故.2,5ADQA5 12QO 在正方形中，因为，故，故，ABCD2AD 1DO 5CO 因为，故，故为直角三角形且，3QC 222QCQOOCQOCQOOC因为，故平面，OCADOQO ABCD因为平面，故平面平面.QO QADQAD ABCD（2）在平面内，过作，交于，则，ABCDO/OT CDBCTOTAD结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.QO ABCD 则，故.0,1,0,0,0,2,2,1,0DQB2,1,2,2,2,0BQBD 设平面的法向量，QBD,nx y z则即，取，则，00n BQn BD 220220 xyzxy1x 11,2yz故.11,1,2n而平面的法向量为，故.QAD1,0,0m 12cos,3312m n 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.BQDA2320.已知椭圆 C 的方程为，右焦点为，且离心率为 22221(0)xyabab(2,0)F63（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线与曲线相切证明：M，N，F 三点共线的充MN222(0)xybx要条件是|3MN【答案】（1）；（2）证明见解析.2213xy【解析】【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；3a 2b（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；3MN 充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式:,0MN ykxb kb221bk可得，进而可得，即可得解.22224131 3kkk1k 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，2c 63cea3a 又，所以椭圆方程为；2221bac2213xy（2）由（1）得，曲线为，221(0)xyx当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；MN:1MN x 当直线的斜率存在时，设，MN1122,M x yN xy必要性：若 M，N，F 三点共线，可设直线即，:2MN yk x20kxyk由直线与曲线相切可得，解得，MN221(0)xyx2211kk1k 联立可得，所以，22213yxxy 246 230 xx12122,3243xxxx所以,212121 143MNxxxx 所以必要性成立；充分性：设直线即，:,0MN ykxb kb0kxyb由直线与曲线相切可得，所以，MN221(0)xyx211bk221bk 联立可得，2213ykxbxy2221 36330kxkbxb所以，2121222633,1 31 3kbbxxxxkk 所以 2222212122263314141 31 3kbbMNkxxxxkkk，2222411 3kkk3化简得，所以，22310k 1k 所以或，所以直线或，12kb 12kb:2MN yx2yx 所以直线过点，M，N，F 三点共线，充分性成立；MN(2,0)F所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP Xip i（1）已知，求；01230.4,0.3,0.2,0.1pppp()E X（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：的230123pp xp xp xx一个最小正实根，求证：当时，当时，；()1E X 1p()1E X 1p（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得.()E X（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.10f f x（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）.()0 0.4 1 0.32 0.23 0.11E X （2）设，3232101f xp xp xpxp因为，故，32101pppp 32322030f xp xp xpppxp若，则，故.1E X 123231ppp2302ppp，23220332fxp xp xppp因为，20300fppp 230120fppp故有两个不同零点，且，fx12,x x1201xx 且时，；时，；12,xxx 0fx12,xx x 0fx故在，上为增函数，在上为减函数，f x1,x2,x 12,x x若，因为在为增函数且，21x f x2,x 10f而当时，因为在上为减函数，故，20,xx f x12,x x 210f xf xf故 为的一个最小正实根，1230123pp xp xp xx若，因为且在上为减函数，故 1 为的一个最小正实根，21x 10f20,x230123pp xp xp xx综上，若，则.1E X 1p 若，则，故.1E X 123231ppp2302ppp此时，20300fppp 230120fppp故有两个不同零点，且，fx34,x x3401xx且时，；时，；34,xxx 0fx34,xx x 0fx故在，上为增函数，在上为减函数，f x3,x4,x 34,x x 而，故，10f40f x又，故在存在一个零点，且.000fp f x40,xp1p 所以为的一个最小正实根，此时，p230123pp xp xp xx1p 故当时，.1E X 1p（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.22.已知函数 2()(1)xf xxeaxb（1）讨论的单调性；()f x（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点()f x；21,222eaba 10,22aba【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：，2xfxx ea当时，若，则单调递减，0a,0 x 0,fxf x若，则单调递增；0,x 0,fxf x当时，若，则单调递增，102a,ln 2xa 0,fxf x若，则单调递减，ln 2,0 xa 0,fxf x若，则单调递增；0,x 0,fxf x当时，在上单调递增；12a 0,fxf xR当时，若，则单调递增，12a,0 x 0,fxf x若，则单调递减，0,ln 2xa 0,fxf x若，则单调递增；ln 2,xa 0,fxf x(2)若选择条件：由于，故，则，2122ea 212ae 21,010bafb 而，210bfbb eabb 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.,0,0 2ln 22ln 21ln 2faaaaab 22ln 21ln 22aaaaa 22 ln 2ln 2aaaa，ln 22ln 2aaa由于，故，2122ea 212aeln 22ln 20aaa结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.0,综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于，故，则，102a21a 01210fba 当时，0b 24,42ea 2240feab而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.0,0,当时，构造函数，则，0b 1xH xex 1xHxe当时，单调递减，,0 x 0,HxH x当时，单调递增，0,x 0,HxH x 注意到，故恒成立，从而有：，此时：00H 0H x 1xex，22111xf xxeaxbxxaxb211a xb当时，11bxa2110a xb取，则，0111bxa00f x即：，100,101bffa而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.0,0,2ln 22ln 21ln 2faaaaab 22ln 21ln 22aaaaa 22 ln 2ln 2aaaa，ln 22ln 2aaa由于，故，102a021aln 22ln 20aaa结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.,0综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用