2019年浙江省高考数学（含解析版）.pdf

20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式：参考公式：若事件互斥，则 ,A B()()()P ABP AP B若事件相互独立，则 ,A B()()()P ABP A P B若事件在一次试验中发生的概率是,则次Apn独立重复试验中事件恰好发生次的概率Ak()(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，表12,S Sh示台体的高 柱体的体积公式 VSh其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 Sh锥体的体积公式 13VSh其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 Sh球的表面积公式 24SR球的体积公式 343VR其中表示球的半径 R 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（UA）B（）1,0,1,2,3U 0,1,2A 1 0 1B ,A.B.10,1C.D.1,2,31,0,1,32.渐近线方程为的双曲线的离心率是（）0 xyA.B.1 22C.D.2 23.若实数满足约束条件，则的最大值是（）,x y3403400 xyxyxy32zxyA.B.1 1C.10 D.12 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的VSh柱体Sh体积是（）A.158 B.162 C.182 D.32 5.若，则“”是“”的（）0,0ab4ab4ab A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）11,log(02axyyxaa0)a A.B.C.D.7.设，则随机变量的分布列是：01aX 则当在内增大时（）a0,1A.增大 B.减小 D XD XC.先增大后减小 D.先减小后增大 D XD X8.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线VABCPVAPB所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）ACPBABCPACBA.B.,C.D.,9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则,a bR32,0()11(1),032x xf xxaxax x()yf xaxb（）A.B.1,0ab 1,0ab C.D.1,0ab 1,0ab 10.设，数列中，a1=a，an+1=an2+b，,则（）,a bR nanNA.当 B.当 101,102ba101,104baC.当 D.当 102,10ba 104,10ba 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.复数（为虚数单位），则_.11zii|z 12.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_，C(0,)mr230 xy(2,1)A m _.r13.在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.9(2)x14.在中，点在线段上，若，则_；VABC90ABC4AB 3BC DAC45BDCBD _.cosABD15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，22195xyFPxPFO为半径的圆上，则直线的斜率是_.OFPF16.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.aR3()f xaxxtR2|(2)()|3f tf ta17.已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6)ii的最小值是_；最大值是_.123456|ABBCCDDAACBD 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数.()sin,f xx xR（1）已知函数是偶函数，求的值；0,2),()f x（2）求函数 的值域.22()()124yf xf x19.如图，已知三棱柱，平面平面,，111ABCABC11A AC C ABC90ABC分别是的中点.1130,BACA AACAC E F11,AC AB（1）证明：；EFBC（2）求直线与平面所成角的余弦值.EF1ABC20.设等差数列的前项和为，数列满足：对每nannS34a 43aS nb成等比数列.12,nnnnnnnSb Sb SbN（1）求数列的通项公式；,nnab（2）记 证明：,2nnnaCnbN12+2,.nCCCn nN21.如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛(10)F，22(0)ypx pFF,A BC物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面VABCGxACxQQF,AFGCQG积为.12,S S（1）求的值及抛物线的标准方程；p（2）求的最小值及此时点的坐标.12SSG22.已知实数，设函数 0a()=ln1,0.f xaxxx（1）当时，求函数的单调区间；34a ()f x（2）对任意均有 求的取值范围.21,)ex(),2xf xaa注：为自然对数的底数.e2.71828.20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式：参考公式：若事件互斥，则 ,A B()()()P ABP AP B若事件相互独立，则 ,A B()()()P ABP A P B柱体的体积公式 VSh其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 Sh若事件在一次试验中发生的概率是,则次Apn独立重复试验中事件恰好发生次的概率Ak()(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，表12,S Sh示台体的高 锥体的体积公式 13VSh其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 Sh球的表面积公式 24SR球的体积公式 343VR其中表示球的半径 R 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（UA）B（）1,0,1,2,3U 0,1,2A 1 0 1B ,A.B.10,1C.D.1,2,31,0,1,3【答案】A【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则=1,3UC A 1UC AB 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为的双曲线的离心率是（）0 xyA.B.1 22C.D.2 2【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算1ab能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.0 xy=1a b222cab2cea【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数满足约束条件，则的最大值是（）,x y3403400 xyxyxy32zxyA.B.1 1C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域(-1,1),(1,-1),(2,2)（包 含 边 界），由 图 易 得 当 目 标 函 数经 过 平 面 区 域 的 点时，取 最 大 值=3+2zxy(2,2)=3+2zxy.max3 22 210z 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体VSh柱体S积是（）A.158 B.162 C.182 D.32【答案】B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为.264633616222【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若，则“”是“”的（）0,0ab4ab4ab A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定,a b必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成0,0ab2abab4ab24abab4ab 立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“=1,=4ab4ab=54a+b4ab4ab”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,a b 6.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）11,log(02axyyxaa0)a A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.a题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数01axya(0,1)1xya(0,1)过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则1log2ayx1(,0)21a xya(0,1)函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综1xya(0,1)1log2ayx1(,02）上，选 D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.a 7.设，则随机变量的分布列是：01aX 则当在内增大时（）a0,1A.增大 B.减小 D XD XC.先增大后减小 D.先减小后增大 D XD X【答案】D【解析】【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与aa期望的关系，将方差表示为的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基a础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法 1：由分布列得，则 1()3aE X，则当在内增大时，2222111111211()01333333926aaaD Xaaa(0,1)先减小后增大.()D X方法 2：则 222221(1)222213()()03399924aaaaD XE XE Xa故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线VABCPVAPB所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）ACPBABCPACBA.B.,C.D.,【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法 1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作GACVABCOPDAOD垂 直，易 得，过作交于，过作，交于，则DEAE/PEVGP/PFACVGFD/DHACBGH，则，即，,BPFPBDPED coscosPFEGDHBDPBPBPBPB，即，综上所述，答案为 B.tantanPDPDEDBD y 方法 2：由最小角定理，记的平面角为（显然）VABC 由最大角定理，故选 B.法 2：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得 VABCPVA，故选 B.33322 2cossin,sin,sin6633 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则,a bR32,0()11(1),032x xf xxaxax x()yf xaxb（）A.B.1,0ab 1,0ab C.D.1,0ab 1,0ab【答案】D【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.【详解】原题可转化为与，有三个交点.()yf xyaxb当时，且，则 BCAP 2()(1)()(1)fxxaxaxa x(0)0,(0)ffa（1）当时，如图与不可能有三个交点（实际上有一个），排除 A，B 1a ()yf xyaxb（2）当时，分三种情况，如图与若有三个交点，则，答案选 D 1a ()yf xyaxb0b 下面证明：时，1a 时，则BCAP 3211()()(1)32F xf xaxbxaxb2()(1)(1)F xxaxx xa，才能保证至少有两个零点，即，若另一零点在(0)0,(+1)F a310(1)6ba 0【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类,a b讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10.设，数列中，a1=a，an+1=an2+b，,则（）,a bRnanNA.当 B.当 101,102ba101,104baC.当 D.当 102,10ba 104,10ba【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项 B：不动点满足时，如图，若，2211042xxx1110,22naaa排除 如图，若为不动点则 a1212na 选项 C：不动点满足，不动点为，令，则，22192024xxxax122a 210na 排除 选项 D：不动点满足，不动点为，令，则221174024xxx17122x 17122a，排除.1711022na 选项 A：证明：当时，12b 2222132431113117,12224216aaaaaa处理一：可依次迭代到；10a处理二：当时，则则 4n 221112nnnaaa，则.12117(4)16nnan62641021716464 6311114710161616216a 故选 A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可a能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.复数（为虚数单位），则_.11zii|z【答案】22【解析】【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算.容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.z【详解】.112|1|22zi【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则C(0,)mr230 xy(2,1)A m _，_.r【答案】(1).(2).2m 5r【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代AC(0,)m入后求得，计算得解.m【详解】可知，把代入得，此时.11:1(2)22ACkAC yx (0,)m2m|4 15rAC【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.9(2)x【答案】(1).(2).16 25【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.x【详解】的通项为 9(2)x919(2)(0,1,29)rrrrTCx r可得常数项为，0919(2)16 2TC因系数为有理数，有共 5 个项 1,3,5,7,9r=246810T,T,T,T,T【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在中，点在线段上，若，则_；VABC90ABC4AB 3BC DAC45BDCBD _.cosABD【答案】(1).(2).12 257 210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入，在CDx、中应用正弦定理，建立方程，进而得解.BDCABD【详解】在中，正弦定理有：，而,ABDsinsinABBDADBBAC34,4ABADB，所以.22ACABBC534sin,cos55BCABBACBACACAC12 25BD 7 2coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆22195xyFPxPFO心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.OFPF【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法 1：由题意可知，|=|2OFOM|=c=由中位线定理可得，设可得，12|4PFOM(,)P x y22(2)16xy联立方程 22195xy可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，321,22xx Px求得，所以 315,22P1521512PFk 方法 2：焦半径公式应用 解析 1：由题意可知，|2OF|=|OM|=c=由中位线定理可得，即 12|4PFOM342ppaexx 求得，所以.315,22P1521512PFk【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.aR3()f xaxxtR2|(2)()|3f tf ta【答案】max43a【解析】【分析】本 题 主 要 考 查 含 参 绝 对 值 不 等 式、函 数 方 程 思 想 及 数 形 结 合 思 想，属 于 能 力 型 考 题.从 研 究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函2(2)()23642f tf tatt23641,)mtt 数图象，观察得解.【详解】使得，222(2)()2(2)(2)223642f tf tatt ttatt使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图 23641,)mtt 11,|1|3mam 只需，即，即的最大值是 113a 43a a43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6)ii的最小值是_；最大值是_.123456|ABBCCDDAACBD 【答案】(1).0 (2).2 5【解析】【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】12345613562456ABBCCDDAACBDABAD 要使的最小，只需要 123456ABBCCDDAACBD ，此时只需要取 135562460 1234561,1,1,1,1,1 此时 123456min0ABBCCDDAACBD 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。1356,2456,比如 1234561,1,1,1,11 则.123456max202 5ABBCCDDAACBD 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数.()sin,f xx xR（1）已知函数是偶函数，求的值；0,2),()f x（2）求函数 的值域.22()()124yf xf x【答案】（1）；（2）.3,2 2331,122【解析】【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.sinyaxb【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，sinf xx函数为偶函数，则当时，即，结合可取0 x 2xkkZ2kkZ0,20,1k，相应的值为.3,2 2(2)由函数的解析式可得：22sinsin124yxx 1 cos 21 cos 26222xx 11cos 2cos 2226xx 1311cos2sin2sin2222xxx 1331cos2sin2222xx.31sin 226x 据此可得函数的值域为：.331,122【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，已知三棱柱，平面平面,，111ABCABC11A AC C ABC90ABC分别是的中点.1130,BACA AACAC E F11,AC AB（1）证明：；EFBC（2）求直线与平面所成角的余弦值.EF1ABC【答案】（1）证明见解析；（2）.35【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结，11,AE B E 等边中，则，1AACAEEC3sin0sin2BA，平面 ABC平面，且平面 ABC平面，11A ACC11A ACCAC由面面垂直的性质定理可得：平面，故，1AE ABC1AEBC由三棱柱的性质可知，而，故，且，11ABABABBC11ABBC1111ABAEA由线面垂直的判定定理可得：平面，BC 11AB E结合平面，故.EF11AB EEFBC(2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC,方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系1EA.Exyz 设，则，,，1EH 3AEEC112 3AACA3,3BCAB据此可得：，1330,3,0,0,0,0,3,0,3,022ABAC由可得点的坐标为，11ABAB 1B13 3,3,32 2B利用中点坐标公式可得：，由于，3 3,3,34 4F0,0,0E故直线 EF 的方向向量为：3 3,3,34 4EF 设平面的法向量为，则：1ABC,mx y z，13333,33022223333,002222m ABx y zxyzm BCx y zxy 据此可得平面的一个法向量为，1ABC1,3,1m 3 3,3,34 4EF 此时，64cos,53 552EF mEF mEFm 设直线 EF 与平面所成角为，则.1ABC43sincos,cos55EF m 【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.设等差数列的前项和为，数列满足：对每nannS34a 43aS nb成等比数列.12,nnnnnnnSb Sb SbN（1）求数列的通项公式；,nnab（2）记 证明：,2nnnaCnbN12+2,.nCCCn nN【答案】（1），；（2）证明见解析.21nan1nbn n【解析】【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计 na na算即可确定数列的通项公式；nb(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不 nc等式.【详解】(1)由题意可得：，解得：，111243 2332adadad102ad则数列的通项公式为.na其前 n 项和.02212nnnSn n则成等比数列，即：1,1,12nnnn nb n nbnnb，21112nnnn nbn nbnnb据此有：，2222121112121nnnnnnnn nbbn nnnnnbn nbb故.22112121(1)(1)(1)(2)nnnn nnbn nnnnnn nn(2)结合(1)中的通项公式可得：，112221211nnnanCnnbn nnnnnn则.12210221212nCCCnnn【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛(10)F，22(0)ypx pFF,A BC物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面VABCGxACxQQF,AFGCQG积为.12,S S（1）求的值及抛物线的标准方程；p（2）求的最小值及此时点的坐标.12SSG【答案】（1）1，；（2），.1x 3122,0G【解析】【分析】(1)由焦点坐标确定 p 的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点 G 的坐标.12SS【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.12p2,24pp24yx1x (2)设，1122,A x yB xy设直线 AB 的方程为，与抛物线方程联立可得：1,0yk xk24yx，故：，2222240k xkx k2222242,1kxxx x，1212121242,444yyk xxy yxxk 设点 C 的坐标为，由重心坐标公式可得：33,C xy，1233Gxxxx321423xk1233Gyyyy31 43yk令可得：，则.即，0Gy 34yk 233244yxk222144123382Gkxkk由斜率公式可得：，131322311313444ACyyyykyyxxyy直线 AC 的方程为：，33134yyxxyy令可得：，0y 231331331334444Qyyyyyyyy yxx 故，11112218121323118223GFySxxyykk且，32213311822423QGyy ySxxyk 由于，代入上式可得：，34yk 12222833ySkkk由可得，则，12124,4yyy yk 1144yyk12144yky则 2211122121112281233222284433yySySyykkkyk212142488168yy.2121432124828168yy 当且仅当，即，时等号成立.21214888yy2184 3y 162y 此时，则点 G 的坐标为.121424yky281223Gxk2,0G【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知实数，设函数 0a()=ln1,0.f xaxxx（1）当时，求函数的单调区间；34a ()f x（2）对任意均有 求的取值范围.21,)ex(),2xf xaa注：为自然对数的底数.e2.71828.【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.f x3,0,3204a【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当时，函数的定义域为，且：34a 3ln14f xxx 0,，343313124214141 312xxxxfxxxx xx xxx 因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.f x3,0,3(2)构造函数，ln12xaxgaxx注意到：，221112102gaeaee 注意到时恒成立，满足；0a 21112212aaeee221112102gaeaee 当时，不合题意，0a 221112102gaeaee 且，解得：，故.11202ga24a 204a下面证明刚好是满足题意的实数 a 的取值范围.204a分类讨论：(a)当时，1x 2ln1ln1224xaxxxxxag x令，则：2ln124xxxx 1112 22 12xxxx 122(1)2 21xxxxxx 22 212312 21(122(1)xxxxxxxxxx，322148512 21122(1)2 21231xxxxxxxxxxxxxx易知，则函数单调递减，满足题意.0 x x 10g xx(b)当时，等价于，211xe 0g x 21ln102axxax 左侧是关于 a 的开口向下的二次函数,a其判别式，112ln4lnxxxxxxxx 令，注意到当时,，tx1te221414ln0tttttt 于是在上单调递增,而，x21,1xe152ln2044于是当时命题成立,211,4xe而当时,此时的对称轴为随着递增,1,14x a12lnxaxx于是对称轴在的右侧,而成立，(不等式等价于).58ln2a 528ln245ln28因此.2104au综上可得：实数 a 的取值范围是.204a【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用