行列式在解析几何中的应用问题--毕业设计论文.doc

行列式是数学中的一个重要计算工具,在解析几何中有着广泛的应用,它不仅形式优美,而且便于记忆.本文较系统的总结了行列式在解析几何中一些重要方程中的应用,并且用行列式的形式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式.1.行列式在解析几何中一些重要方程的表示中的应用1.1 平面上过已知两点的直线方程定理1.1 平面上过两个已知点(),()的直线方程是 =0 (1-1)推论 平面上三点 (i=1,2,3)共线的充要条件是 (1-2)由于,共线的充要条件即为在,所决定的直线上,而,所决定的直线的方程是 =0 (1-3) 从而在上的充要条件为 即为(1-2)式.很自然的我们会问,空间三点共线的充要条件是什么呢？我们做一下推广.空间三点 (i=1,2,3)共线充要条件是 事实上 =() 从而有= =+ =而,共线的充要条件是=，由此得证.1.2 平面上三点所确定的圆的方程定理1.2 平面上不共线的三点 (i=1,2,3)所确定的圆的方程可用下面四阶行列式表示 (1-4) 证明 设所求的圆的方程为依题意得 把以上四式看成是关于1,A,B,C的齐次方程组,这个方程组显然有非零解.根据有非零解得充要条件得 推论 平面上四点 (i=1,2,3,4)共圆的必要条件是 (1-5)但需要注意的是(1-5)式不是四点共圆的充分条件.例如,当四点共线时(1-5)仍然成立,但是如果已知四点不共线,(1-5)式就是四点共圆的充分条件.因此我们可以得到不共线四点共圆的一个充分必要条件.我们已经知道,空间不共面四点可以确定一个球面方程,下面我们将给出与(1-5)相仿形式的行列式表示.1.3 空间中不共面的四点所确定的球面方程定理1.3 空间中不共面的四点(i=1,2,3,4)所确定的球面的方程可以用下面的五阶行列式表示 (1-6)其证明的过程同定理1.2. 由定理1.3可以得到空间五点共球面的必要条件,即推论 空间中五点 (i=1,2,3,4,5)共球面的条件是 (1-7)其中,(i=1,2,3,4,5)同样应该注意,条件(1-7)不是五点共球面的充分条件.例如,当五点共线(或者共面)时,条件(1-7)也是成立的.1.4 空间中不共线的三点确定的平面方程定理1.4 空间中不共线的三点 (i=1,2,3)所确定的平面方程为 (1-8)或者为 (1-9) (1-8)或者(1-9)称为平面的三点式方程. 事实上,将(1-8)或者(1-9)中的行列式按照第一行展开可以知道,(1-8)或者(1-9)表示平面,又由行列式的性质知道, (i=1,2,3)均满足(1-8)或者(1-9)式,从而(1-8)或者(1-9)表示过的平面.推论 空间中任意四点 (i=1,2,3,4)共面的充分必要条件是 (1-10)1.5 两条异面直线所确定的公垂线的方程定理1.5 空间两条异面直线的方程如下 它们所确定的公垂线方程为 (1-11)其中 事实上,(1-11)中第一个式子即为与异面直线所确定的平面方程,(1-11)中第二个式子即为与异面直线所确定的平面方程,二者的交线即为公垂线.我们还可以知道为公垂线的方向.我们将中的x, y, z代入(1-11)中的第二个行列式;中的x, y, z代入第一个行列式,可以得到两个异面直线与公垂线的交点,从而得到与间的距离.1.6 平面上不共线五点确定的二次曲线的方程平面上不共线的五点 (i=1,2,3,4,5)所确定的二次曲线的方程可以用六阶行列式表示 (1-12)将(1-12)式中的行列式按照第一行展开,即知(1-12)式表示的二次曲线,又由行列式的性质知道,此二次曲线显然过 (i=1,2,3,4,5)诸点.2.行列式在向量中的应用2.1 行列式在向量外积的坐标表示中的应用定理2.1 设,在右手坐标系中的坐标分别是则的坐标是 (2-1)事实上= = =从而结论成立.因此,为了便于记忆,我们可以写作 =2.2 行列式在混合积中的应用定理2.2 任意取定一个仿射标架,设向量,的坐标分别是(),(),(),则有 (2-2)事实上= = = 从而以上结论成立. 由此很容易看出,若为右手直角标架,则=1从而可知推论 设向量,的坐标分别是(),(),(),则,共面的充分必要条件是 =0 (2-3) 事实上,由的几何意义可以知道,共面的充分必要条件是从而可以得到结论. 由推论(2-3)我们可以得到四点共面的另外一个证明方法. 设四个点的仿射坐标分别为 (i=1,2,3,4),则共面的充分必要条件是 事实上共面也就是共面. 从而,其充分必要条件为 即 =0从而得到以上结论.2.3 两向量共线的条件定理2.3 两向量,在空间仿射标架中的坐标分别为()和(), 则,共线的充要条件是 =0 (2-4)证明 必要性 设,共线.若=,则结论显然成立. 若设,于是有实数使得,所以 (i=1,2,3), 从而有 =0同理也可以证明其余两个行列式也等于零.充分性由已知条件知 即 因此,共线.2.4 拉格朗日恒等式定理2.4 对任意四个向量,有 事实上,由向量混合积的有关性质易证 3.行列式在求多边形或多面体的面积或体积中的应用3.1 过空间中不共线三点的平行四边形的面积定理3.1 对不共线的三点 (i=1,2,3),则以,为邻边的平四边形的面积是 其中 , , 事实上,因为,所以, 所以,等于的模,即为 推论1 以 (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为 (3-1)推论2 以 (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为 (3-2)需要注意的是,此处形成逆时针方向的回路,否则,(3-2)右边的行列式前边应该加负号.3.2 已知各顶点的坐标,求多边形的面积 如果已知平面上n边形各顶点的坐标(i=1,2,n)则此多边形的面即可以表示为n个行列式之和,即 定理3.2 多边形(假定形成按逆时针方向旋转的回路)的面积是 + (3-3)三角形的面积公式(3-2)也可以写成 用数学归纳法不难证明(3-3)式.注1 定理3.2所说的多边形不必是凸的,即对一般的多边形面积公式(3-3)均成立； 注2 公式(3-3)可以表示成复数形式 其中 () 3.3 已知三角形三边所在直线的方程,求三角形的面积假设三边所在的直线的方程分别是 ：=0 (i=1,2,3) 则有下面的定理成立: 定理3.3 令三边所在直线方程的系数和常数项所构成的行列式为 ,分别是元素 ,在中的代数余子式则的面积是 (3-4)事实上,的三个顶点(),(),()可以通过解方程组求得 其中,分别是,在行列式中的代数余子式.其余可以类推. 将所得的坐标代入(3-2)式得 注 上面的推导过程中应用了公式,是一个n阶方阵.推论 三条直线： (i=1,2,3)共点的必要条件是=0 (3-5)请注意,上述条件(3-5)不是三线共点的充分条件.例如,当三条直线中至少有两条平行时,上述公式也成立.3.4 平行六面体的体积定理3.4 已知空间中不共面的四点 (i=1,2,3,4),则以,为棱的平行六面体的体积为 (3-6)此结论的证明可以根据三个向量的混合积.推论1 已知空间四面体的四个顶点的坐标是 (i=1,2,3,4),则此空间四面体的体积为 (3-7)推论2 空间四点 (i=1,2,3,4),共面的充分必要条件是 =0 (3-8)此结论的证明是显然的.3.5 已知空间四面体四个侧面的方程,求四面体的体积定理3.5 若已知空间四面体四个侧面的方程为 （i=1,2,3,4） 令 则此四面体的体积为 (3-9)其中分别是在中的代数余子式.此定理为定理(3-4)在空间中的推广,其证明亦与定理(3-4)的证明类似,此处不再赘述.推论 四个平面 (i=1,2,3,4)这四个平面共点的必要条件是 (3-10)注1 (3-11)只是必要条件,不是充分条件.如 (i=1,2,3,4)中至少有两个平面重合或者三个平面平行时,(3.5-2)也成立.注2 如果和的交线是,和的交线是,则(3-11)可以看作与共面的充分必要条件.注3 若已知四面体的六棱长分别是a, b, c, x, y, z, 则此四面体体积的平方是3.6 用行列式表示平面上三角形外接圆的面积平面上已知的三个顶点分别为 (i=1,2,3) 由(1-4)式知的外接圆方程为 令 从而三角形的外接圆方程为亦即 又 于是,的外接圆的面积是4.解析几何中一些重要距离公式的行列式表示4.1两异面直线间的距离方程设两异面直线L1,L2的方程分别为： 则它们之间的距离为 4.2点到空间直线的距离公式在空间直角坐标系下,给定空间一点M0（x0,y0,z0)与直线L：点M到直线L的距离 结束语通过这一段时间的努力,几经周折,本文终于完成，基本达到了预期目的,即系统的总结行列式在解析几何中的应用问题；系统的总结了行列式在向量中一些重要结论中的应用；并且用行列式的形式给出了一些多边形或多面体的面积或体积的计算公式.我想这些对于读者学习解析几何,深化对解析几何的认识,以及对行列式在解析几何中的应用有更加深刻的认识,这些都会对学习解析几何有一定的帮助.但由于受个人水平的限制,在论文中肯定存在一些不妥的地方,敬请各位老师指教. 20 参考文献1丘维声.解析几何M.北京:北京大学出版社,1988.2朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何学M.北京:北京师范大学出版社,1984.3陈志杰,咸平.高等代数与解析几何习题精解M.北京:科学出版社,2002.4黄宣国.空间解析几何与微分几何M.上海:复旦大学出版社,2003.5李养成,郭瑞芝.空间解析几何M.北京:科学出版社,2004.6江苏师院数学系编.解析几何(第二版)M.北京:高等教育出版社,1982.7陈抚良,张振兰,解析几何M.北京:科学出版社,2005.8吴光磊,田畴.解析几何简明教程M.北京:高等教育出版社,2001.9帅绪之.解析几何M.武汉:华中师范大学出版社,1990.10朱德祥,朱维宗.新编解析几何学M.重庆:西南师范大学出版社,1989.11杨文茂,李全英.空间解析几何(修订版)M.武汉:武汉大学出版社,2003.12吕林根,张紫霞.解析几何M.北京:高等教育出版社,1998.13潘晏仲,李洪军.高等代数与几何M.西安:西安交通大学出版社,1999. 14张元明,许延功.行列式在解析几何中的表示J.昌潍师专学报,1992,11(2):55-61. 15罗增儒.行列式的简单应用J.数学通报,1983(7):4-7. 致谢 屈指数来,我的学生生涯已经走过15个年头了.古人常道：“十年寒窗苦”,但我却感到莫大的幸福,因为在这15年的学生生涯中,从乡村到城镇,再从县城到地市,我摆脱了祖祖辈辈面朝黄土背朝天的宿命,并且一直都在进步.但我也时常问自己,在这15年里我有什么收获呢？或者说,读书有什么用呢？我想答案是很明确的.它首先使我学会独立的思考,而不是盲从.读书可以治愚,我明白了任何时候都不能放弃独立思考的权利的重要性.其次,它让我不再偏执,学会了宽容地看待这个世界,并具有了可贵的反思精神,这一点让我受用无穷.最后,数学与信息科学学院系对理性思维的强调,使我较早地有了生命的感觉,人也活得比较清醒.在对人生的体悟中,总是获得了极大的满足. 我能取得这些收获,与周围老师和同学的帮助是分不开的.不过我首先还是得感谢自己的父亲和母亲.即便家境不佳,他们仍然坚持让我读完大学,而不是早早地工作赚钱,为此背负了巨大的压力.母亲的勤劳和开朗对我影响很大,每次接到我的电话,她总是说：“家里挺好的,你不用挂念.”我知道这不是实情,但仍然会得到极大的宽慰.现在,二老都已逾不惑之年,我到此时方能尽孝,实在是愧为人子. 我要感谢我的指导老师张元明老师.张老师继承了潍坊学院优秀的学术传统,对学术极为尊重,治学非常严谨.高山仰止,景行行止,在踏入工作岗位之后,我一定会尊重自己的职业,并且也一定会严格要求自己.在论文撰写过程中,张老师提出了诸多建议,为我的论文付出了大量的心血,对此我只有用好好工作来报答了. 张元明老师对我大学毕业时期所进行的小研究进行了诸多指导,并鼓励我投身学术.我的任课老师和同学对我的学习和生活都给予了诸多帮助,在此一并致谢! 1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. 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MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. 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