2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 16 页）2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（）A0 B1 C1，2 D0，1，2 2（5 分）（1+i）（2i）=（）A3i B3+i C3i D3+i 3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D 4（5 分）若 sin=，则 cos2=（）A B C D 5（5 分）（x2+）5的展开式中 x4的系数为（）A10 B20 C40 D80 6（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6 B4，8 C，3 D2，3 7（5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（）A B C D 8（5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）P（X=6），则 p=（）A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 9（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则 C=（）A B C D 10（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）A12 B18 C24 D54 11（5 分）设 F1，F2是双曲线 C：=1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|=|OP|，则 C 的离心率为（）A B2 C D 12（5 分）设 a=log0.20.3，b=log20.3，则（）Aa+bab0 Baba+b0 Ca+b0ab Dab0a+b 第 2 页（共 16 页）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=14（5 分）曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=15（5 分）函数 f（x）=cos（3x+）在0，的零点个数为 16（5 分）已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）等比数列an中，a1=1，a5=4a3（1）求an的通项公式；（2）记 Sn为an的前 n 项和若 Sm=63，求 m 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第 3 页（共 16 页）19（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差 21（12 分）已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 第 4 页（共 16 页）（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，求 a+b 的最小值 第 5 页（共 16 页）2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（）A0 B1 C1，2 D0，1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合【分析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：A=x|x10=x|x1，B=0，1，2，AB=x|x10，1，2=1，2 故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题 2（5 分）（1+i）（2i）=（）A3i B3+i C3i D3+i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）（2i）=3+i 故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A 故选：A【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查 4（5 分）若 sin=，则 cos2=（）A B C D 第 6 页（共 16 页）【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值【分析】cos2=12sin2，由此能求出结果【解答】解：sin=，cos2=12sin2=12=故选：B【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5（5 分）（x2+）5的展开式中 x4的系数为（）A10 B20 C40 D80 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r（）r=，由103r=4，解得 r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中 x4的系数【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r（）r=，由 103r=4，解得 r=2，（x2+）5的展开式中 x4的系数为=40 故选：C【点评】本题考查二项展开式中 x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 6（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6 B4，8 C，3 D2，3 【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆【分析】求出 A（2，0），B（0，2），|AB|=2，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，由此能求出ABP 面积的取值范围【解答】解：直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2，A（2，0），B（0，2），|AB|=2，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，sin（）1，1，d=，ABP 面积的取值范围是：，=2，6 故选：A【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 7（5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（）第 7 页（共 16 页）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：函数过定点（0，2），排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x或 0 x，此时函数单调递增，由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x或x0，此时函数单调递减，排除 C，也可以利用 f（1）=1+1+2=20，排除 A，B，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键 8（5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）P（X=6），则 p=（）A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足 XB（10，p），P（x=4）P（X=6），可得，可得 12p0即 p 因为 DX=2.4，可得 10p（1p）=2.4，解得 p=0.6 或 p=0.4（舍去）故选：B【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力 9（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则 C=（）A B C D 第 8 页（共 16 页）【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】推导出 SABC=，从而 sinC=cosC，由此能求出结果【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ABC 的面积为，SABC=，sinC=cosC，0C，C=故选：C【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）A12 B18 C24 D54 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】求出，ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后求解即可【解答】解：ABC 为等边三角形且面积为 9，可得，解得 AB=6，球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图：OC=，OO=2，则三棱锥 DABC 高的最大值为：6，则三棱锥 DABC 体积的最大值为：=18 故选：B 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 11（5 分）设 F1，F2是双曲线 C：=1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|=|OP|，则 C 的离心率为（）A B2 C D 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形 F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2O，代值化简整理可得a=c，问题得以解决【解答】解：双曲线 C：=1（a0b0）的一条渐近线方程为 y=x，点 F2到渐近线的距离 d=b，即|PF2|=b，|OP|=a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形 F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即 3a2=c2，第 9 页（共 16 页）即a=c，e=，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题 12（5 分）设 a=log0.20.3，b=log20.3，则（）Aa+bab0 Baba+b0 Ca+b0ab Dab0a+b 【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案【解答】解：a=log0.20.3=，b=log20.3=，=，aba+b0 故选：B【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出 的值【解答】解：向量=（1，2），=（2，2），=（4，2），=（1，），（2+），解得=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 14（5 分）曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=3 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可【解答】解：曲线 y=（ax+1）ex，可得 y=aex+（ax+1）ex，曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3 故答案为：3【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力 15（5 分）函数 f（x）=cos（3x+）在0，的零点个数为3 【考点】51：函数的零点菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质 第 10 页（共 16 页）【分析】由题意可得 f（x）=cos（3x+）=0，可得 3x+=+k，kZ，即 x=+k，即可求出【解答】解：f（x）=cos（3x+）=0，3x+=+k，kZ，x=+k，kZ，当 k=0 时，x=，当 k=1 时，x=，当 k=2 时，x=，当 k=3 时，x=，x0，x=，或 x=，或 x=，故零点的个数为 3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题 16（5 分）已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=2 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可求过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，可表示 x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由AMB=90，向量的数量积为0，代入整理可求 k【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0），过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1=4，M（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），AMB=90，=0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1+2+4+2=0，即 k24k+4=0，k=2 故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）等比数列an中，a1=1，a5=4a3（1）求an的通项公式；（2）记 Sn为an的前 n 项和若 Sm=63，求 m 第 11 页（共 16 页）【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=2，由此能求出an的通项公式（2）当 a1=1，q=2 时，Sn=，由 Sm=63，得 Sm=63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n1，由此能求出 m【解答】解：（1）等比数列an中，a1=1，a5=4a3 1q4=4（1q2），解得 q=2，当 q=2 时，an=2n1，当 q=2 时，an=（2）n1，an的通项公式为，an=2n1，或 an=（2）n1（2）记 Sn为an的前 n 项和 当 a1=1，q=2 时，Sn=，由 Sm=63，得 Sm=63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n1，由 Sm=63，得 Sm=2m1=63，mN，解得 m=6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【考点】BL：独立性检验菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7292 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6585 之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m=80；由此填写列联表如下；第 12 页（共 16 页）超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40（3）根据（2）中的列联表，计算 K2=106.635，能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 19（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明 MC平面 ADM 即可（2）根据三棱锥的体积最大，确定 M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可【解答】解：（1）证明：在半圆中，DMMC，正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直，AD平面 DCM，则 ADMC，ADDM=D，MC平面 ADM，MC平面 MBC，平面 AMD平面 BMC（2）ABC 的面积为定值，要使三棱锥 MABC 体积最大，则三棱锥的高最大，此时 M 为圆弧的中点，建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形 ABCD 的边长为 2，A（2，1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面 MCD 的法向量=（1，0，0），设平面 MAB 的法向量为=（x，y，z）则=（0，2，0），=（2，1，1），由=2y=0，=2x+y+z=0，令 x=1，则 y=0，z=2，即=（1，0，2），则 cos，=，则面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 sin=第 13 页（共 16 页）【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键 20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差 【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=又点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 m 的取值范围，即可得 k，（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2 由+=，可得 x31=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得 A，B 坐标再求公差【解答】解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为 M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m 将 A，B 代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0m （2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2，+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，y3=（y1+y2）=2m m0，可得 P 在第四象限，故 y3=，m=，k=1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1x2|=所以该数列的公差 d 满足 2d=|x1x2|=，该数列的公差为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a 第 14 页（共 16 页）【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用【分析】（1）对函数 f（x）两次求导数，分别判断 f（x）和 f（x）的单调性，结合 f（0）=0 即可得出结论；（2）令 h（x）为 f（x）的分子，令 h（0）计算 a，讨论 a 的范围，得出 f（x）的单调性，从而得出 a 的值【解答】（1）证明：当 a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0 f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0 当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0（2）解：由 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得 f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令 h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意 当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a=当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又 h（0）=0，当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则 h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0 xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若 a，则 h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意 综上，a=【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 第 15 页（共 16 页）【考点】QK：圆的参数方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx+，从而圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=1，进而求出或，由此能求出 的取值范围（2）设直线 l 的方程为 x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O 的参数方程为（为参数），O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx，倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=1，tan21，tan1 或 tan1，或，综上 的取值范围是（，）（2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y+），设 A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，=+2，=，=，AB 中点 P 的轨迹的参数方程为，（m 为参数），（1m1）【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，求 a+b 的最小值 第 16 页（共 16 页）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可【解答】解：（1）当 x时，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，当x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，当 x1 时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则 f（x）=对应的图象为：画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，当 x=0 时，f（0）=20a+b，b2，当 x0 时，要使 f（x）ax+b 恒成立，则函数 f（x）的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上，f（x）的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2，且各部分直线的斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，不等式 f（x）ax+b 在0，+）上成立，即 a+b 的最小值为 5 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键