2004年内蒙古高考理科数学真题及答案(1).doc

2004年内蒙古高考理科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合，，，，，，则集合中元素的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
3．（5分）设数列是等差数列，，，是数列的前项和，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）圆在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
5．（5分）函数的定义域是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（5分）设复数的幅角的主值为，虚部为，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率　　
A．5 B． C． D．
8．（5分）不等式的解集为　　
A． B．，，
C． D．，，
9．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
10．（5分）在中，，则边上的高为　　
A． B． C． D．
11．（5分）设函数则使得的自变量的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．（5分）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有　　
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　 　．
14．（4分）函数在区间的最小值为　 　．
15．（4分）已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　 　
16．（4分）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是 　 　．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知为锐角，且，求的值．
18．（12分）解方程．
19．（12分）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

20．（12分）三棱锥中，侧面与底面垂直，．
（1）求证；
（2）如果，求与侧面所成角的大小．

21．（12分）设椭圆的两个焦点是，，，且椭圆上存在点，使得直线与直线垂直．
求实数的取值范围．
设是相应于焦点的准线，直线与相交于点．若，求直线的方程．
22．（14分）已知数列的前项和满足：，．
（1）写出求数列的前3项，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有．

2004年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合，，，，，，则集合中元素的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，，，，，
将代入，
得，△，
所以方程组有两组解，
因此集合中元素的个数为2个，
故选：．
2．（5分）函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，，
函数是函数轴上方的图象不动将轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故，
故选：．

3．（5分）设数列是等差数列，，，是数列的前项和，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
得，

故选：．
4．（5分）圆在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：法一：

．
该二次方程应有两相等实根，即△，解得．
，
即．
法二：
点在圆上，
点为切点，从而圆心与的连线应与切线垂直．
又圆心为，．
解得，
切线方程为．
故选：．
5．（5分）函数的定义域是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：
或．
的定义域为，，．
故选：．
6．（5分）设复数的幅角的主值为，虚部为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：复数的幅角的主值为
设复数
虚部为

故选：．
7．（5分）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率　　
A．5 B． C． D．
【解答】解：依题意可知，求得

故选：．
8．（5分）不等式的解集为　　
A． B．，，
C． D．，，
【解答】解：
即即，
解得，即，，
解法二：
解得，，
故选：．
9．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，
所以此三棱锥的体积为
故选：．
10．（5分）在中，，则边上的高为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由点向作垂线，交点为．
设，则，
，解得

故选：．
11．（5分）设函数则使得的自变量的取值范围为　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解答】解：等价于解得：或．
或解得：
综上所述，或．
故选：．
12．（5分）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有　　
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【解答】解：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，
只有一种结果1，1，2，
首先从4个人中选2个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
共有种结果，
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）用平面截半径为的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　　．
【解答】解：小圆半径是：，小圆的面积是：，
球的表面积是；
截得小圆的面积与球的表面积的比值为：
故答案为：
14．（4分）函数在区间的最小值为　1　．
【解答】解：

，
，
，
，
最小值为1，
故答案为：1．
15．（4分）已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　　
【解答】解：法一：当时，，由已知．
又是奇函数，
，即．
．

．
法二：当时，，由已知．
又是奇函数，
，即．
．根据反函数定义
令 得，即：
答案为：
16．（4分）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是 　　．
【解答】解：的图象是以轴为准线，为焦点的抛物线，当点为点与点的连线与抛物线的交点时，距离和最小，
最小值为：．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知为锐角，且，求的值．
【解答】解：，为锐角
．
18．（12分）解方程．
【解答】解：当时，有：，
化简得：，
解之得： 或（舍去）．
又得 ，故不可能舍去．
当时，有：，
化简得：，
解之得：或（舍去）
，，
综上可得，原方程的解为．
19．（12分）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

【解答】解：设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则．
蔬菜的种植面积

．
所以
当且仅当，即，时，
．
答：当矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为．
20．（12分）三棱锥中，侧面与底面垂直，．
（1）求证；
（2）如果，求与侧面所成角的大小．

【解答】解：（1）证明：取中点，连接、．

又侧面底面
底面
又
为直角三角形
（2）解：取的中点为，连接，，所以有，

由（1）有平面，，由三垂线定理得
平面平面，又．
是等腰直角三角形，取的中点，连接，
则，又平面平面，且交线是，平面
即为与平面所成的角
．
故与平面所成的角为．

21．（12分）设椭圆的两个焦点是，，，且椭圆上存在点，使得直线与直线垂直．
求实数的取值范围．
设是相应于焦点的准线，直线与相交于点．若，求直线的方程．
【解答】解：（1）直线直线
以为圆心以为半径的圆：与椭圆：有交点．即有解
又

（2）设，，直线方程为：，
直线的方程为：，
准线的方程为，
设点的坐标为，，则，
②
解可得，从而，，，
则或，
得到的方程或．

22．（14分）已知数列的前项和满足：，．
（1）写出求数列的前3项，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有．
【解答】解：（1）当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知，，；
（2）由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．
故
数列的通项公式为：．
（3）由已知得：

故．
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