人教版七年级下数学拔高专题(一)--平行线中的规律探究.docx

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人教版七年级下数学
拔高专题（一） 平行线中的规律探究
教学目标
1. 掌握平行线中从一般到特殊的较复杂图形问题中的规律.
2. 掌握平行线中的动点问题.
教学过程
一、基本模型构建
常见模型

图① 图② 图③ 图④

思考
上面四个图中，∠P，∠A,∠B的等量关系为：
①∠P=∠A+∠C ； ②∠P=∠C-∠A；
∠P=∠A-∠C；④∠A+∠P+∠C=360°.
AP、CP分别为角平分线，∠P的度数是_90°.
3.∠BAP1：∠BAP2=
∠DCP1：∠DCP2=
m：n，求∠P1:∠P2. = m：n.
二、拔高探究
探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关系
例1：1已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2= ______；
（2）∠1+∠2+∠3= _____；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4= ______；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ______．
解析：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EF，CD∥EF，∴ ∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+ ∠3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．
答案：（1）180°；（2）360°；（3）540°；180°（n-1）．
【变式训练】1.（2015•汉阳区期中）已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

标题：手工制作坊 2004年3月18日（2）直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系.
解：（1）过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG=∠BAE，∠DEG=∠CDE，∵∠AED=∠AEG+∠DEG，∴∠AED=∠BAE+∠CDE；
（2）同（1）可得∠AFD=∠BAF+∠CDF，∵∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF，
∴∠BAE+∠CDE=∠BAF+∠CDF，∴∠AED=∠AFD.

2003年，上海市人均GDP按户籍人口计算就达到46700元，是1995年的2.5倍；居民家庭人均月可支配收入为14867元，是1995年的2.1倍。收入不断增加的同时，居民的消费支出也在增加。2003年上海居民人均消费支出为11040元，其中服务性消费支出为3369元，是1995年的3.6倍。【教师总结】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解.

4． WWW。google。com。cn。 大学生政策 2004年3月23日探究点二 探究动态中平行线中的角度关系
类型一 点分别在两条平行线之间、一侧判断角度之间的关系

据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。例2：如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限，故也限制了我们一定的购买能力。因此在价格方面要做适当考虑：我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。一定会适合我们的学生朋友。如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

朋友推荐□ 宣传广告□ 逛街时发现的□ 上网□【教师总结】画出图形，点在两条直线之间、两侧，归根到基本模型一.

（4）牌子响类型二 点在平行线上移动
例3：如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。 据调查统计，有50% 的同学曾经购买过DIY饰品，有90% 的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

2、价格“适中化”解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°-∠C=180°-100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=1/2∠AOC=1/2×80°=40°；
（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；
（3）存在.由（1）可知∠AOC=180°，∴∠AOC+∠OAB=180°，∴OC∥AB．∴∠OBA=∠COB.又BC∥OA，∴∠OEC=∠EOA.∴要使∠OEC=∠OBA，只需∠EOA=∠COB,∴∠COE=∠AOB=1/2(∠AOC-∠EOB)=20°.∴∠OBA=∠COB=∠COE+∠EOB=60°.
【教师点拨】遇到动点问题，先从简单开始，平行线中牢记基本图形，问题就会迎刃而解，不管点如何变动，要以不变应万变的方法解决.
【变式训练】2.（2015•宜春期末）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE= ∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由.
解：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+1/2∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1/2∠MCD=90°.
【教师点拨】对于各模型中的逆命题依然成立，作辅助线的方法相同.
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