2004年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2004年重庆高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）函数的定义域是：A，BCD2（5分）设复数，则AB3CD3（5分）圆的圆心到直线的距离为：A2BC1D4（5分）不等式的解集是A，B，C，D，5（5分）等于ABCD6（5分）若向量的夹角为，则向量的模为A2B4C6D127（5分）一元二次方程，有一个正根和一个负根的充分不必要条件是ABCD8（5分）设是的二面角内一点，平面，平面，为垂足，则的长为：ABCD9（5分）若数列是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是A4005B4006C4007D400810（5分）已知双曲线，的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为ABC2D11（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：ABCD12（5分）若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是：ABCD二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）若在的展开式中的系数为，则 14（4分）曲线与在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）15（4分）如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形、，记纸板的面积为，则 16（4分）直线：与椭圆：恰有一个公共点，则取值是 三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在，上的单调递增区间18（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（）的概率的分布列及期望；（）停车时最多已通过3个路口的概率19（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，（1）证明是异面直线与的公垂线；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值20（12分）设函数，（1）求导数并证明有两个不同的极值点，；（2）若不等式成立，求的取值范围21（12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点、，以线段为直径作圆为圆心）试证抛物线顶点在圆的圆周上；并求圆的面积最小时直线的方程22（14分）设数列满足：，（）证明：对恒成立；（）令，判断与的大小，并说明理由2004年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）函数的定义域是：A，BCD【解答】解：要使函数有意义：，即：可得 解得故选：2（5分）设复数，则AB3CD【解答】解：复数，故选：3（5分）圆的圆心到直线的距离为：A2BC1D【解答】解：圆的圆心，它到直线的距离：故选：4（5分）不等式的解集是A，B，C，D，【解答】解：法一： 得 即可得 可得或法二：验证，、不满足不等式，排除、故选：5（5分）等于ABCD【解答】解：原式故选：6（5分）若向量的夹角为，则向量的模为A2B4C6D12【解答】解：，故选：7（5分）一元二次方程，有一个正根和一个负根的充分不必要条件是ABCD【解答】解：一元二次方程，有一个正根和一个负根的充要条件是，即，而的一个充分不必要条件是故选：8（5分）设是的二面角内一点，平面，平面，为垂足，则的长为：ABCD【解答】解：设平面与二面角的棱交于点，连接、可得直线平面，所以是二面角的平面角，故中，由余弦定理得：，所以，故选：9（5分）若数列是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是A4005B4006C4007D4008【解答】解：解法1：由，知和两项中有一正数一负数，又，则公差为负数，否则各项总为正数，故，即，故4006为的最大自然数故选解法2：由，同解法1的分析得，为中的最大值是关于的二次函数，如草图所示，到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点的左侧，4007，4008都在其右侧，的最大自然数是4006故选：10（5分）已知双曲线，的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为ABC2D【解答】解：设，由焦半径得，化简得，在双曲线的右支上，即双曲线的离心率的最大值为故选：11（5分）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：ABCD【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：将一班的3位同学“捆绑”在一起，有种方法；将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有种方法；在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有种方法根据分步计数原理（乘法原理），共有种方法一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：故选：12（5分）若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是：ABCD【解答】解：设二面角的大小为，如图作面于，于，于，则，且由条件，为小于1的常数，故选：二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）若在的展开式中的系数为，则【解答】解：展开式的通项为令的展开式中的系数为展开式中的系数为故答案为14（4分）曲线与在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）【解答】解：由得，两曲线只有一个交点，又，当时，两曲线在交点处的切线斜率分别为、3，夹角为故答案为：15（4分）如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形、，记纸板的面积为，则【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则故：故答案为：16（4分）直线：与椭圆：恰有一个公共点，则取值是0【解答】解：椭圆：化成标准方程为直线恒过，而点，在椭圆上且为上定点，则直线：与椭圆：恰有一个公共点即，故答案为0三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在，上的单调递增区间【解答】解：故该函数的最小正周期是；最小值是；单调递增区间是，18（12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（）的概率的分布列及期望；（）停车时最多已通过3个路口的概率【解答】解：由题意知的所有可能值为0，1，2，3，4用表示“汽车通过第个路口时不停（遇绿灯）”，则独立故，从而有分布列：即停车时最多已通过3个路口的概率为19（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，（1）证明是异面直线与的公垂线；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【解答】证明：因底面，有，又知，故面，推得，又，且，证得是矩形，故又因，故面，而，得面，故，因此是与的公垂线解：连接交于，连接，过作的垂线，垂足在上易知面，故，又，故，因此面连接，则是所要求的线与面所成的角设，则，因，故，从而在中20（12分）设函数，（1）求导数并证明有两个不同的极值点，；（2）若不等式成立，求的取值范围【解答】解：（1）令得方程因，故方程有两个不同实根，不妨设，由可判断的符号如下：当时，；当时，；当时，因此是极大值点，是极小值点（2）因，故得不等式即又由知代入前面不等式，两边除以，并化简得解不等式得或（舍去）因此，当时，不等式成立21（12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点、，以线段为直径作圆为圆心）试证抛物线顶点在圆的圆周上；并求圆的面积最小时直线的方程【解答】解：由题意，设直线的方程为，设，则其坐标满足消去的，则因此，故必在圆的圆周上，又由题意圆心是的中点，故，由前已证应是圆的半径，且；从而当时，圆的半径最小，也使圆的面积最小22（14分）设数列满足：，（）证明：对恒成立；（）令，判断与的大小，并说明理由【解答】解：（1）证法一：当时，不等式成立，假设时，成立（2分），当时，（5分）时，时成立综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立（6分）证法二：由递推公式得，（2分）上述各式相加并化简得（4分）又时，显然成立，故（6分）（2）解法一：（8分）（10分）又显然，故成立（12分）解法二：（8分）（10分）故，因此（12分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/23 23:08:05；用户：15217760367；邮箱：15217760367