专题07-一元二次方程根的判别式--备战中考数学典例精做题集(教师版).docx

※知识精要
1.掌握一元二次方程的解法；
2.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
※要点突破
熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
※典例精讲
例．已知关于的方程x2-(2k+1)x+4k-2=0
（1）求证：不论k取何值，这个方程总有实数根
（2）若等腰△ABC一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）10.

（2）解：当a为底边时，b=c，
∴△=（2k-3）2=0，解得：k=，
∴b+c=2k+1=4=a，
∴此种情况不合适；
当a为腰时，将x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，
解得：k=．
∴b+c=2k+1=6，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．
点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，等腰三角形的计算，三角形三条边的关系及分类讨论的数学思想，本题的易错点是有些同学未把a的值分两种情况讨论.
※课堂精练
一、单选题
1．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　
A． 有一个实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 没有实数根
【答案】C

2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【解析】
∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：D．
3．已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为　　
A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 任意三角形
【答案】C

4．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x﹣m的图象不经过（　　）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
【答案】C
【解析】根据判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质求解．
解：根据题意得：m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，解得：m＜﹣1，所以一次函数y=（m+1）x﹣m的图象第一、二、四象限．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数的性质．
5．已知a，b，c为常数，且点Q（b，a）在第三象限，则关于x的方程bx2﹣cx﹣a=0的根的情况是（　　）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D． 无法确定
【答案】A
【解析】由点Q在第三象限可得出b＜0以及ab＞0，再根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=c2+4ab＞0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根．
解：∵点Q（b，a）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴ab＞0．
∵△=（﹣c）2﹣4b（﹣a）=c2+4ab＞0，∴关于x的方程bx2﹣cx﹣a=0有两个不相等的实数根．
故选A．
6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=o（a≠0）满足a﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（　　）
A． b=c B． a=b C． a=c D． a=b=c
【答案】C

7．设a、b、c为三角形的三边长，则关于x的方程a、b、c为三角形的三边长b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2=0的根的情况是（　　）
A． 无实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 无法确定
【答案】A
【解析】因为,

根据三角形三边关系可得: 所以,所以方程没有实数根,故选A.
8．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①b=a+c时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
②若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
③b2﹣5ac＞0时方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
④若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根．
其中正确的是（　　）
A． ①②③④ B． 只有①②③ C． 只有①②④ D． 只有②④
【答案】B

二、填空题
9．关于x的方程有两个相等的实根，则______．
【答案】
【解析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
∵方程x2+mx+16=0有两个相等的实根，
∴△=m2-4×1×16=m2-64=0，
解得：m=±8．
故答案为：±8．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【答案】且
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则非正整数k的值是______．
【答案】-1
【解析】根据判别式的意义及一元二次方程的定义得到，且，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．
解：根据题意知，且，
解得：且，
则非正整数k的值是，
故答案为：．
12．已知方程组有两组不相等的实数解，则的取值范围_________．
【答案】且
【解析】把方程组解的问题转化为一元二次方程解的问题:消去y得到关于x的方程,然后根据根的判别式的意义得到且,再求出两不等式的公共部分即可.
解：,把①代入②得,
整理得,当且时,方程有两个不相等的根,解得k<1且k≠0,所以当k<1且k≠0时,方程组有两组不相等的实数解.
故答案为：且.
13．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b2＋4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；
③若a－b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；
④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有两个实数根．
其中正确的有________(填序号)．
【答案】①②

①∵a+c=0，
∴a=-c，
∴b2-4ac=b2+4c2≥0，
故方程ax2+bx+c=0有实数根，故①正确；
②∵b2+4ac＜0，
∴4ac＜0，
∴-4ac＞0
∴b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0一定有实数根，故②正确；
③∵a-b+c=0，
∴b=a+c，
∴b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，
故方程有实数根，但不一定有两个实数根，故③错误.
④若方程ax2+bx+c=0有两个实数根，但c可能等于0.
当c=0时，方程cx2+bx+a=0为一元一次方程，此时只有一个实数根，故④错误.
综上所述：正确的说法是①②.
故答案为：①②．
三、解答题
14．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．
【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析

15．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
【答案】(1)≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
求k的取值范围；
设方程两实数根分别为，，且满足，求k的值．
【答案】（1）；（2）．

由根与系数的关系可得，，
，
，
，解得，或，
，
舍去，
．
17．已知：关于x的一元二次方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m>3)．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1<x2．
①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；
②若mx1<8-4x2，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①x1=1，x2=；②．

（2）①由求根公式得x=，
∴x=1，或x=，
当x1=1，x2=2-，
②则mx1＜8-4x2，
即m＜8-8+，
∴3＜m＜2；
当x1=2-，x2=1，
则2m-3＜4，
∴3＜m＜.
综上所述，3＜m＜2．
18．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式．
【答案】（1）证明见解析（2）y=a-4

点睛：解答本题有两个要点：（1）熟记“一元二次方程的求根公式：在一元二次方程中，当△=时，方程的根为：”；（2）由得到，由此结合得到， .
19．已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）为等腰三角形，理由见解析；（2）为直角三角形，理由见解析；（3）． 
【解析】(1)、将x=－1代入方程得出a=b，从而得出三角形的形状；(2)、根据△=得出a、b、c之间的关系，从而得出三角形的形状；(3)、将a=b=c代入方程，从而得出方程的解．
解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，，
方程化为，解得．
点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的解与三角形之间的关系，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是利用方程的性质来进行求解．
20．设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0.
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根，求m的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）m1=0，m2=-12.

（2）∵a、b相等，
∴x2+mx-3m=0有两个相等的实根，
∴△=0，即△=m2+4×1×3m=0，
即m1=0，m2=-12，
.∵a、b为正数，
∴m1=0(舍)，故m=-12.
21．已知关于的一元二次方程．
（）求证：无论取何实数时，原方程总有两个实数根．
（）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）

22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，Rt△ABC和Rt△BED是两个全等三角形，三边长分别为a，b，c，易知AE=c，这里我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC的面积.

【答案】（1）答案不唯一，如.（2）证明见解析；（3）1.
【解析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；

23．已知：二次函数y1=x2+bx+c的图象经过A（-1,0），B（0，-3）两点.

(1)求y1的表达式及抛物线的顶点坐标;
(2)点C（4，m）在抛物线上，直线y2=kx+b(k≠0)经过A， C两点，当y1 >y2时，求自变量x的取值范围;
(3) 将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.
【答案】见解析
【解析】

24．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于、两点（点与点在y轴异侧），且,求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线向上平移个单位长度后,所得到的图象与直线没有交点，请直接写出的取值范围.
【答案】见解析

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