中国石油大学高等数学(2-1)-期末试题.doc

Ａ卷
2006—2007学年第一学期
《本科高等数学(上)》试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室
考试日期

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1.本试卷正文共6页。
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则答案无效。

一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)

1. 设, 则 .

2. 设函数连续，则 ， .

3．极限 .

4．设 ,且在连续,则= .

5．设方程确定函数, 则= .

6．设, 则= .

7．抛物线在其顶点处的曲率为 .

8．设可导，，则 .

9． .

10．微分方程的通解是 .

二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）
(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；
(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.

2．极限（ ）

(A) 2; (B) 3; (C) ; (D) 5;
3．设常数，则函数 在内零点的个数为（ ）

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
4．设, 则是的( ).
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
5．设函数二阶可导，且，令，当时，则( ).

(A) (B)
(C) (D)

6．若，在内，，则在内( ).
(A) (B)
(C) (D)

7．设在处二阶可导, 且,则( ).
(A) 是的极大值点; (B) 是的极小值点;
(C) 是曲线的拐点; (D) 以上都不是.

8．下列等式中正确的结果是 ( ).

(A) (B)
(C) (D)

9．下列广义积分收敛的是( ).

(A) (B)
(C) (D)

10．设在的某个领域内有定义，则在处可导的一个充分条件是 ( ).

(A) (B)
(C) (D)

三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
1. 求不定积分
2. 计算定积分

3．求微分方程的通解.

四．解答题：（本题共6小题，共37分。）
1．（本题5分）求摆线在处的切线的方程.
2.（本题6分）求曲线的渐进线.

3．（本题6分）求由曲线及直线,所围成图形面积。

4．（本题6分）证明：对任意实数，恒有

5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?

6.（本题8分）设对任意实数

五．（本题8分）设函数在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件,
证明：．

Ａ卷

2007—2008学年第一学期
《高等数学》（上）期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2008年1月7日

页 码
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1本试卷正文共 页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).
1. = .
2. 设函数，其中在内可导，则= .
3. 设，则=____________.
4. =__________.
5. = __________.
6. 微分方程 的通解是 .

二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).
1．设为可导的奇函数，且，则（ ）.
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
2. 设函数在点的某邻域有定义，则在点处可导的充要条件是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）函数在点处连续.
3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数，一条是汽车的速度函数，一条是汽车的加速度函数，则（ ）.
a

b

c

t

y

O

（A） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（B） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（C） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（D） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形.
4. 设是内的可导函数，、是内任意两点，则( ).
（A），其中为内任意一点　；　
（B）至少存在一点，使；
（C）恰有一点，使;
（D）至少存在一点，使.

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

2. 求极限 .
3. 求定积分 .
4. 求广义积分 .

四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1. 设函数是由方程 所确定的函数，求.
2．设函数，求的原函数.
3．求微分方程的通解．
4．判断曲线的凸性与拐点.

五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
1.曲线，及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.
2.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.

3．有一半径为的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面的地方，求薄板一侧所受的水压力.

六、证明题（本题4分）.
证明方程在内必有唯一实根，
并求.

2008—2009学年第一学期
《高等数学》期末考试试卷
(理工科类)

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2009年1月5日

页 码
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1本试卷正文共6页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） =________________.
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________________.
（3）已知，且, 则_____________ .
（4）曲线的斜渐近线方程为 ______________.
（5）微分方程的通解为___________________.
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ ）.
(A)都是极值点.
(B) 都是拐点.
(C) 是极值点.，是拐点.
(D) 是拐点，是极值点.
（3）函数满足的一个微分方程是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（ ）.
(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.
(A) (B)
(C) (D)
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限.
2.方程确定为的函数，求与.
3.计算不定积分 .
4.计算定积分.

四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程.
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力．

3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且，
试求.
4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.
求D的面积A;
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.

五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数，.

答案
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） =_____________.
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________.
（3）已知，且, 则___________ .
（4）曲线的斜渐近线方程为 _________

（5）微分方程的通解为_________
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.
(A)都是极值点.
(B) 都是拐点.
(C) 是极值点.，是拐点.
(D) 是拐点，是极值点.
图1-1
（3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（ A ）.
(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.
(A) (B)
(C) (D)

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限.

解 =-------1分
=-------2分
= -------1分
= -------2分

2.方程确定为的函数，求与.
解 ----------------------------（3分）
---------------------（6分）
计算不定积分 .

4.计算定积分.
解 --------- --------------- （3分）
----------------------------------------- ---------------------（6分）
（或令）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程.

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图
x

y

3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且，
试求.

4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.
求D的面积A;
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是
----1分
由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为
----1分
平面图形D的面积
----2分
（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 ----2分
曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为
， ----1分
因此所求旋转体的体积为
----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数，.
解法一：
解法二：设则------------------------1分
因为------------------------—————— 1分
当时，单调增加，------------------------2分
当时，单调增加，------------------------2分
所以对于任意的实数，即。------------------------1分
解法三：由微分中值定理得，
，其中位于0到x之间。------------------------2分
当时，，。------------------------2分
当时，，。------------------------2分
所以对于任意的实数，。------------------------1分

A卷

2009—2010学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 基础数学系
考试日期 2010年1月11日

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

注 意 事 项
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1． .
2． .
3．设函数由方程确定，则 .
4. 设可导，且，，则 .
5．微分方程的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数，则函数在内零点的个数为（ ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
2． 微分方程的特解形式为（ ）.
（A）; （B）;
（C）; （D）.
3．下列结论不一定成立的是（ ）.
（A）若,则必有;
（B）若在上可积,则;
（C）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4. 设, 则是的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.

三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）
1．计算定积分.

2．计算不定积分.

3．求摆线在处的切线的方程.

4. 设，求.

5．设，求.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
2．设平面图形由与所确定，试求绕直线
旋转一周所生成的旋转体的体积.
3. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.

五．证明题（7分）
设函数在上连续，在内可导且
试证明至少存在一点, 使得

答案
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． .
2．.
3．设函数由方程确定，则.
4. 设可导，且，，则.
5．微分方程的通解为.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数，则函数 在内零点的个数为（ B ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
2． 微分方程的特解形式为 （ C ）
（A）； （B）；
（C）； （D）
3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
若,则必有;
若在上可积,则;
若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;
若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4. 设, 则是的（ C ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
三．计算题（每小题6分，5题共30分）：
1．计算定积分.
解： -------2
-------2
--------2
2．计算不定积分.
解： --------3
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即. -------2

4. 设 ，则.
5．设，求.
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
解：
设切点为，则过原点的切线方程为，
由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-----3
过原点和点的切线方程为-----------------------------3
面积=-------------------3

或

2．设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.

解： 法一：
-------6
--------3
法二：V=
------------------ 5
------------- 4

3. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.
解: --------------- 3
------------3
-----2
故--------------1
五．证明题（7分）
设函数在上连续，在内可导且
试证明至少存在一点, 使得
证明：设，在上连续在可导，因,
有,--------------- 2
又由，知在上用零点定理，
根据，--------------- 2
可知在内至少存在一点，使得,
由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得即，证毕. --------------3

A卷

2010—2011学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 基础数学系
考试日期 2011年1月4日

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
本页满分
36
12
12
12
12
16
本页得分

阅卷人

注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

自制饰品一反传统的饰品消费模式，引导的是一种全新的饰品文化，所以非常容易被我们年轻的女生接受。3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；
4. 本试卷正文共6页。

5、就业机会和问题分析
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

3、竞争对手分析1．已知则 1 .
2．定积分 .
3．函数的图形的拐点是 .
4. 设则 .
5．曲线的渐近线方程为 .

500元以上 12 24%

（五）DIY手工艺品的“价格弹性化”二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

附件（二）：调查问卷设计1．设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数( D ) .
A. 在处左极限不存在; B. 在处右极限不存在;

5、就业机会和问题分析C. 有跳跃间断点; D. 有可去间断点.

我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。2．设当时，是的( B ).

据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。A. 等价无穷小; B. 同阶但非等价无穷小;
C. 高阶无穷小; D. 低阶无穷小.
3. 下列广义积分发散的是( A ).
A.; B. ;

精明的商家不失时机地打出“自己的饰品自己做”、“DIY(Do It Yourself)饰品、真我个性”的广告，推出“自制饰品”服务，吸引了不少喜欢标新立异、走在潮流前端的年轻女孩，成为上海的时尚消费市场。其市场现状特点具体表现为：C. ; D. .
4.方程的待定特解的形式可设为( B ).
A.; B. ;
C. ; D. .

三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）
1． 求极限.
解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长，再将中的一个因子分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。于是,有

2．设在上连续，且求
解:

而

所以

3．求微分方程的通解.
解：所给方程为一阶线性微分方程，且
故原方程的通解为
4. 试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
解
，
又，，
为极大值.
5．求由方程所确定的隐函数的导数.
解：两边对求导得
整理得
所以
6．已知求常数的值.
解：左端=
右端=

所以

0

7．设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为R米，水的比重为，
求薄板一侧所受的水压力(其中表示水的比重).
Y
解：建立坐标系如图，
X
1) 取x为积分变量，
2) 压力微元
或

3）水对薄板的压力

=

8．求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：法一：选为积分变量，则

法二：选为积分变量，则

四．证明题（共2小题，每小题8分，共计16分）
1．叙述并证明牛顿莱布尼茨公式.
设在闭区间上连续，为的一个原函数，那么

证明：由已知为的一个原函数，也是的一个原函数，因此，在区间上，其中为某一个常数.
在上式中令得
得
两式相减得
由于
所以
2．设在区间上连续, 为偶函数, 且满足(为常数).
(1) 证明：
(2) 计算：
证明：（1）

（2）令则在上连续，为偶函数.由于

所以
令得
因此满足等式

于是，利用（1）的结论得