总体参数假设检验的研究性教学——以非正态总体为例_姜培华.pdf

第 43 卷 第 3 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0077-07 总体参数假设检验的研究性教学 以非正态总体为例 姜培华（安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000）摘要：非正态总体参数的假设检验是数理统计中的一个难点问题，其处理方法灵活多变，技巧性强，教师难于讲授，学生难于掌握系统研究了在处理非正态总体参数假设检验时检验统计量的构造问题，给出几种常用的构造方法通过实例展示了使用这些方法构造检验统计量的思路和技巧，使学生便于理解和掌握所给的处理方法和技巧具有一定的方法论意义，在数理统计研究性教学中值得推广使用 关键词：研究性教学；非正态总体；假设检验；检验统计量；拒绝域 中图分类号：O211.1G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.016 Research teaching on hypothesis testing of population parameters Taking a non-normal population for example JIANG Peihua （School of Mathematics-Physics and Finance，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）AbstractAbstract：Hypothesis testing of parameters for non-normal population is a difficult problem in mathematical statisticsIts processing method is flexible and skillful,which is difficult for teachers to teach and students to masterThe construction of test statistics was systematically studied when dealing with the hypothesis test of non-normal population parameters，and several common construction methods was givenThrough examples，the ideas and skills of using these methods to construct test statistics are shown，which is easy for students to understand and masterThe processing methods and techniques have certain methodological significance and are worth popularizing in the research teaching of mathematical statistics Key wordsKey words：research teaching；non-normal population；hypothesis testing；test statistics；rejection region 统计推断是数理统计的基本问题之一，而总体参数的假设检验是统计推断的一项重要内容在样本来自正态总体的情形下，对总体参数的假设检验有多种经典的检验方法，各类概率论与数理统计教材中都有非常详尽的介绍1-2 但是对于非正态总体情形下参数的假设检验问题讨论较少，很多教材中都是简单提及，没有进行深入讨论在实际问题中经常会遇到总体服从非正态情形下未知参数的假设检验问题，文献3研究了伽玛分布尺度参数的（形状参数已知）最优区间估计和最佳双边检验；文献4中研究了瑞利分布未知参数的最佳双边检验；文献5研究了威布尔分布尺度参数（形状参数已知）的最佳双边检验研究发现，收稿日期：2022-04-07 基金项目：教育部产学研合作协同育人项目（202102218020）；数理统计省级示范课项目（2020SJJXSFK0310）；概率论与数理统计 省级线上线下混合式课程项目（2021xsxxkc039）；安徽工程大学重点教学研究项目（2022jyxm31）；数理统计校级课程思政优 质课项目（2021szyzk52）作者简介：姜培华（1979-），男，山东曹县人，副教授，博士，从事数理统计和应用统计研究E-mail： 78 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 解决非正态总体下未知参数的假设检验问题并非易事，主要因为对于不同的非正态总体，如何恰当构造参数的检验统计量是一个难点本文基于教学实践，对非正态总体下构造未知参数假设检验的常用方法进行了全面梳理和总结，通过实例展示如何使用这些方法来对未知参数进行假设检验，以方便学生系统掌握处理非正态总体参数假设检验的常见方法和技巧，也为教师系统讲授该内容提供教学参考 1 引言及预备知识 引理 11112 若随机变量X的分布函数()XFx为严格单调的连续函数，其反函数1()XFy-存在，则()XYFx=服从均匀分布()0,1U 引理 21115 若随机变量X服从均匀分布()0,1U，则随机变量()212ln(2)ZX=-，随机变量()222ln 1(2)ZX=-引理 36 若随机变量,XY分别服从二项分布(),b np和负二项分布(),NB rp，即()P Xk=(1)(0,1,)kn knppknk-=，()1(1)(0,1,)rkrkP Ykppkk+-=-=，则,XY的分布函数满足(1)1().XYFrF nr-=-引理 47 设p为二项分布中事件发生的概率，为泊松分布的强度参数，则下列恒等式成立：（1）10!(1)(1)d(1)!()!npkn kjn jkjnnppuuukjnj-=-=-；（2）1110!(1)(1)d(1)!()!jkn kjn jpknnppuuukjnj-=-=-；（3）01ee d!(1)jkkujuujk+-=+定理 1 设总体X具有分布函数();F x，12,nxxx为来自该总体的简单随机样本，则有()()2112ln;(2)niiYF xn=-，()()2212ln 1;(2)niiYF xn=-证明 因12,nxxx为来自总体();F x的简单随机样本，由引理 1 可知，()();0,1iF xU，()()1;0,1iF xU-，利用引理 2 和卡方分布的可加性可知结论成立 证毕 定理 2 设总体X的密度函数为()f x，px为其p分位数，()f x在px处连续且()0pf x，则当n +时，样本p分位数pm的渐近分布为()2(1),pppppmN xnfx-近似服从 特别地，对于样本中位数，当n +时，有()0.50.520.51,4mN xnfx 近似服从 定理的证明可参见文献1，此处不再赘述 处理假设检验问题，首先要明确总体的分布函数或概率函数的表达式是否为已知若已知时，还要明确哪些参数是已知的，这是正确进行假设检验的前提 假设检验的一般步骤：Step1 根据问题的要求恰当地提出原假设0H和备择假设1H Step2 在总体分布的表达式为已知时，选取一个合适的检验统计量()12,nTT xxx=，并在原假设0H成立的条件下确定该统计量T的精确分布或渐近分布 Step3 由检验统计量T的分布及给定的显著性水平，以及()0HPTW=或()0HPTW，通过查有关分布的分位数值表求得检验的临界值，从而确定出检验的拒绝域W Step4 将 实测 样 本值()12,nxxx代 入 检验 统 计量T中 计 算，得到 统 计量 的 实测 值()12,nt xxx Step5 根据统计量的实测值()12,nt xxx是否落入拒绝域W中而就拒绝0H或接受0H做出判断，进而结合问题实际给出结论 第 3 期 姜培华：总体参数假设检验的研究性教学以非正态总体为例 79 2 检验统计量的构造方法 对未知参数进行假设检验的关键在于构造合适的检验统计量并确定其所服从的概率分布，然后根据备择假设1H和问题实际确定拒绝域W的形式，基于给定的显著性水平求出检验的临界值（或分位数），从而确定出检验的拒绝域 2.1 基于充分统计量构造检验统计量 例 1 设总体X服从拉普拉斯分布，其密度函数为()1;e,02xfxx-=R，为未知参数，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 样本的联合密度函数为()11121,e,02niinxnf xxx=-=由因子分解定理可知，1niiTx=为的充分统计量计算可得随机变量12YX-=的概率分布为221 Exp(2)2XY=，由卡方分布的可加性可知，212(2)niiGXn=在0=时，有22102(2)niiXn=，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：20102niix=为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 例 2 设总体X服从幂分布，其密度函数为()1;,01,0f xxx-=，为未知参数，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 样本的联合密度函数为()()()11ln12,e,0niixnnf xxx=-=由因子分解定理可知，()1lnniiTx=为的充分统计量计算可得随机变量()2 lnYX=-的概率分布为()212 ln Exp(2)2YX=-=，利用卡方分布的可加性可知，()212ln(2)niiGXn=-在0=时，有22012ln(2)niiXn=-，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：()20012lnniix=-是由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 2.2 基于顺序统计量构造检验统计量 例 3 设总体X服从双参数指数分布，其密度函数为()()1;,e,0 xf xx-=，参数已知，参数未知，给定样本12,nxxx，考虑关于未知参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平80 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 令,1,2,iiXYin-=，则12,nYYY独立同分布于指数分布Exp(1)，从而可知其最小顺序统计量(1)Y仍然服从指数分布，密度函数为()e,0nyg yny-=，进一步可知，()(1)2(1)22(2)n XnY-=.在0=时，有()(1)0222(2)n X-=成立，又因参数已知，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)的 分 位 数 建 立 检 验 的 拒 绝 域 22221/2/2(2)(2)W-=，检 验 的p值 为()()2222002min,pPP=，式中：()(1)0202n x-=为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2的卡方分布的随机变量 例 4 设总体()0,XU，参数(0)未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 令,1,2,iiXYin=，则12,nYYY独立同分布于均匀分布()0,1U可以求得最大顺序统计量()nY的概率密度函数为1(),01nnfynyy-=在0=时，统计量()0nXZ=具有概率密度函数1(),01nzfznzz-=，于是可用Z作为检验统计量，且相应的分位数a和b满足11d2nanzz-=，10d2bnnzz-=，从而解得10.5na=-，0.5nb=检验的拒绝域为 10.50.5nnWZZ=-，检验的p值为()()002min,1nnnnxxp=-2.3 基于分布函数构造检验统计量 处理非正态总体参数假设检验问题的最大困难是如何构造合适的检验统计量，利用充分统计量和顺序统计量来构造检验统计量对概率统计基础要求较高，技巧性强，比较灵活，作为学生不容易理解和掌握，普遍感到学习比较困难如果一个统计总体X，其分布函数()F x具有比较简洁的显式表达式，且仅含有待检验的参数而不含有其它未知参数，这时利用分布函数法构造检验统计量比较方便，会达到事半功倍的效果 例 5 利用分布函数法构造检验统计量解决例中的问题 解 总体X的分布函数为();,01,0F xxx=，由定理 1 可知，()()12ln;2niiF X=-=-()21ln(2)niiXn=所以，在0=时，有()2212ln(2)niiXn=-成立，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：22012lnniix=-为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 例 6 利用分布函数法构造检验统计量解决例中的问题 解 总体X的分布函数为()();,1 e,0 xF xx-=-，由定理 1 可知，()()12ln 1;niiF X=-=()212(2)niiXn=-在0=时，有()22012(2)niiXn=-成立，又因参数已知，于是可用第 3 期 姜培华：总体参数假设检验的研究性教学以非正态总体为例 81 2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：()20012niix=-为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 例 7 利用分布函数法构造检验统计量解决例 4 中的问题 解 总体X的分布函数为();,0 xF xx=，由定理 1 可知，()()112ln;2lnnniiiiXF X=-=-2(2)n在0=时，有22102ln(2)niiXn=-，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：20102lnniix=-为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 综上，对比充分统计量法和分布函数法，不难发现在某些情况下分布函数法和充分统计量法在构造检验统计量方面具有一致性，二者是等价的如例 2 和例 5 中关于幂分布参数的假设检验问题，充分统计量法和分布函数法最终所获得的结果是一致的，但分布函数法明显优于充分统计量法，过程简洁，易于理解在有些场合，分布函数法和顺序统计量法所获得的检验统计量具有本质的不同，拒绝域的优劣也有差别如例 3 和例 6，例 4 和例 7，顺序统计量法是仅依赖于样本的极端顺序统计量，而分布函数法则依赖于全样本数据 2.4 基于大样本近似构造检验统计量 在有些情形下，寻找检验的统计量比较困难，分布函数法也很难凑效，这时经常可采用渐近正态分布来构造检验统计量，获得大样本检验其一般思路为：设12,nxxx是来自某总体分布();F x的样本，又设该总体均值为，方差为的函数，记为2()对于双侧检验0010:HH=，在样本容量n充分大时，利用中心极限定理可知，2(),xNn 近似服从，故在0=时，可采用检验统计量()()02n xu-=（近似服从()0,1N），其中为的极大似然估计，并由此近似地确定拒绝域为1/2.Wuu-=例 8（中心极限定理近似）设12,nxxx是来自泊松分布()P的简单随机样本，参数未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 当样本容量n充分大时，由中心极限定理可知，,xNn 近似服从，故在0=时，可构造检验统计量()00n xu-=（近似服从()0,1N），从而可得检验的拒绝域为1/2Wuu-=，检验的p值为2p=()()01u-，式中：()000n xu-=为由样本计算得到的检验统计量的值；()为标准正态分布的概率分布函数 例 9（样本中位数正态近似）设总体X服从柯西分布，其密度函数为()21;1()f xx=+-，,xR，参数未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水82 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 由于柯西分布期望不存在，但其密度函数关于x=对称，故是总体中位数由定理 2 可知，所给柯西分布的样本中位数0.5m近似于正态分布，即20.5,4mNn 近似服从，故在0=时，可构造检验统计量()0.502n mu-=（近似服从()0,1N），从而可得检验的拒绝域为12Wuu-=，检验的p值为()()02 1pu=-，式中：()0.5002n mu-=为由样本计算得到的检验统计量的值；()为标准正态分布的概率分布函数 综上可知，一般在样本容量足够大的情况下，根据中心极限定理，非正态总体的抽样分布与正态总体的抽样分布差异较小，因此在大样本条件下，可以把非正态总体问题转化为正态总体问题，并近似地应用正态总体条件下导出的抽样分布，进而作出各类统计推断，这就是大样本统计推断原理，在非正态总体参数的假设检验中也遵循这一原则 3 两点分布、泊松分布和几何分布的假设检验问题 两点分布、泊松分布和几何分布是概率统计中个重要的离散型分布，文献8-9对这类分布未知参数的区间估计方法进行了系统讨论，而有关这类分布未知参数的假设检验问题却研究较少本节基于两点分布、泊松分布和几何分布对其参数的假设检验方法进行再讨论（两点分布和泊松分布在一般教材中有过简单探讨），给出一些更为精确的结论通过讨论二项分布与贝塔分布的关系，以及泊松分布与卡方分布的关系对其总体参数的假设检验问题给出了更加深刻的结果，只需利用统计软件计算贝塔分布和卡方分布的分位数值就可以确定出假设检验拒绝域的临界值 例 10 设总体X服从两点分布()1,bp，参数p未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数p的检验问题0010:HppHpp=，在显著性水平下给出检验的拒绝域 解 记1niiTX=，则()1,niiTXb np=在0pp=时，检验的拒绝域应具有形式：1WTk=212,Tkkk 考虑到等尾概率，有()()122P TkP Tk=由引理 4 可知，()()1100011!1!(1)!kn iiininP TkC ppknk-=-=-011110111011!(1)d1(1)d!(1)!2pkn kkn kpnuuuuuuknk-=-=-，()()()()220022!11!nn iiini knP TkC ppknk-=-=-02210(1)d2pkn kuuu-=，从而0111011!(1)d1!(1)!2pkn knuuukn k-=-，()()0221022!(1)d1!2pkn knuuuknk-=-所以1k，2k为方程组()()1/2110/22201,1,1knkpknkp-+-=-+=的解，式中：(),ab是参数为,ab的贝塔分布的下侧分位数 例 11 设总体X服从泊松分布()P，参数未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域 解 记1niiTX=，则()1niiTXP n=在0=时，检验的拒绝域应具有形式12WTkTk=，12kk=+()()()()()020201222021e1e d22!2jnkunj knP TkuuPknjk+-=-=从而可得()()()()2210202221,2222PknPkn+=-=所以1k，2k为方程组1/2/2210220(22)2(2)2knkn-+=的解，式中：2()n是自由度为n的卡方分布的下侧分位数 例 12 设总体X服从几何分布Ge()p，即()(1),0,1,2,kP Xkppk=-=，参数p未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数p的检验问题0010:HppHpp=，在显著性水平下给出检验的拒绝域 解 记1riiTX=，则()1,riiTXNB rp=在0pp=时，检验的拒绝域应具有形式12WTkTk=，12kk 考虑到等尾概率，有()()122P TkP Tk=，利用引理 3 可知()()()111112P TkP ZnkP Znk=-=-，()()()220,2P TkP ZnkZb np=-利用引理 4 可得()()()01111110011!(1)d,1(1)!2pn kknP ZnkuuuPnkkpnkk-=-=-+=-()()()()()22011222022!(1)d1,!1!2n kkpnP ZnkuuuPnkkpnkk-=-=-+=-从而有()()()()110220,1,1,22PnkkpPnkkp-+=-+=所以1k，2k为方程组()()/21101/2220,11,nkkpnkkp-+=-+=的解，式中：(),ab表示参数为,ab的贝塔分布的下侧分位数 4 结语 非正态总体参数的假设检验是概率统计中一个重点和难点内容，其处理方法灵活，技巧性强，学生难于掌握本文系统研究了在非正态总体情形下构造检验统计量的几种常用方法，如充分统计量法、顺序统计量法、分布函数法和大样本方法其中充分统计量法、顺序统计量法和分布函数法推导给出的检验拒绝域都是精确的，大样本方法获得的检验拒绝域都是近似的通过具体的典型实例展示了使用这些方法构造检验统计量的思路和技巧，使学生便于掌握和接受文中的处理方法和技巧在数理统计研究性教学中值得参考和使用，不仅能够让学生系统掌握处理非正态总体参数假设检验问题的常用方法和技巧，而且对于拓宽学生学习思路，培养其创造性思维都是大有裨益的 参考文献：1 茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计M3 版北京：高等教育出版社，2019 2 戴朝寿数理统计简明教程M北京：高等教育出版社，2009 3 姜培华伽玛分布参数的最优区间估计和最佳双边检验J安庆师范学院学报（自然科学版），2010，16（2）：34-37 4 姜培华瑞利分布参数的最佳双边检验J长春大学学报，2012，22（8）：972-974 5 姜培华威布尔分布尺度参数的最佳双边检验J重庆工商大学学报（自然科学版），2014，31（8）：1-4，19 6 Casella G，Berger R LStatistical inferenceM2nd edBeijing：China Machine Press，2002 7 郑明，陈子毅，汪嘉冈数理统计讲义M上海：复旦大学出版社，2005 8 姜培华两种非正态总体参数的区间估计J安庆师范学院学报（自然科学版），2011，17（1）：87-89 9 姜培华，范国良负二项分布参数的两种区间估计J科学技术与工程，2012，12（2）：387-389