MATLAB教程2012a第3章习题解答张志涌.doc

第3章 数值阵列及其运算
习题3及解答

1 在MATLAB中，先运行指令A=magic(3), B=[1,2,1;3,4,3;5,6,7]生成阵列，，然后根据运行结果回答以下问题：
〖目的〗
l 体验矩阵乘法次序不可交换；
l 体验矩阵左除、右除的不同；
l 体验数组乘法次序可交换；
l 体验数组左除、右除的相同性；
l 体验矩阵乘法与数组乘法的根本性差别
l 体验矩阵求逆的两种方法；
l 体验数组“逆”概念

〖解答〗
A=magic(3), B=[1,2,1;3,4,3;5,6,7] %创建阵列
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
B =
1 2 1
3 4 3
5 6 7

（1）
C1amb=A*B %相乘矩阵的次序不可交换
C1bma=B*A
C1amb =
41 56 53
53 68 67
41 56 45
C1bma =
18 20 22
48 50 52
86 98 86

（2）
C2adb=A\B %矩阵左除和右除根本不同
C2bda=B/A
C2adb =
0.0333 0.1000 0.1611
0.5333 0.6000 0.7444
0.0333 0.1000 -0.1722
C2bda =
0.0056 0.0889 0.1722
0.1389 0.2222 0.3056
0.2333 0.7333 0.2333

（3）
C3amb=A.*B %数组乘法不分左、右乘，因为是“元素对元素的运算”
C3bma=B.*A
C3amb =
8 2 6
9 20 21
20 54 14
C3bma =
8 2 6
9 20 21
20 54 14

（4）
C4adb=A.\B %数组除法不分左、右除，因为是“元素对元素的运算”
C4bda=B./A
C4adb =
0.1250 2.0000 0.1667
1.0000 0.8000 0.4286
1.2500 0.6667 3.5000
C4bda =
0.1250 2.0000 0.1667
1.0000 0.8000 0.4286
1.2500 0.6667 3.5000

（5）
C5ada=A\A %相当于inv(A)*A，所以得到“单位阵”
C5adda=A.\A %相当于“数组逆”乘数组，得到“单位数组”
C5ada =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C5adda =
1 1 1
1 1 1
1 1 1

（6）
C6ade=A\eye(3) %矩阵求逆的代数方程法
C6inv=inv(A) %直接利用求逆指令。两者结果相同
C6ade =
0.1472 -0.1444 0.0639
-0.0611 0.0222 0.1056
-0.0194 0.1889 -0.1028
C6inv =
0.1472 -0.1444 0.0639
-0.0611 0.0222 0.1056
-0.0194 0.1889 -0.1028

（7）
A
C7add1=A.\1 %求“数组逆”
C7ade=A\eye(3) %求“矩阵逆”
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
C7add1 =
0.1250 1.0000 0.1667
0.3333 0.2000 0.1429
0.2500 0.1111 0.5000
C7ade =
0.1472 -0.1444 0.0639
-0.0611 0.0222 0.1056
-0.0194 0.1889 -0.1028

2 在MATLAB中，先运行A=[1, 2; 3, 4],b=0.5,C=[4, 2; 1, 0.5], 然后根据计算结果回答以下问题：
（提示：根据对计算结果的目测回答问题）
〖目的〗
l 数组运算和矩阵运算的不同。
l 如何判断两个双精度数组是否相等。
l norm指令的应用。
〖解答〗
A=[1, 2; 3, 4],b=0.5,C=[4, 2; 1, 0.5] %创建数据
A =
1 2
3 4
b =
0.5
C =
4 2
1 0.5

（1）
F1=A^b %平方根矩阵，可用F1*F1验算
F1a=A.^b %平方根数组，可用F1a.*F1a验算
F1 =
0.55369 + 0.46439i 0.80696 - 0.21243i
1.2104 - 0.31864i 1.7641 + 0.14575i
F1a =
1 1.4142
1.7321 2

（2）
F2=b^A %标量底矩阵指数的求幂
F2a=b.^A %标量底数组指数的求幂
F2 =
0.99095 -0.44225
-0.66337 0.32759
F2a =
0.5 0.25
0.125 0.0625

（3）
F3a=A.^C %数组底数组指数的求幂
F3a =
1 4
3 2

F3=A^C %矩阵底矩阵指数的求幂运算不存在
??? Error using ^
Inputs must be a scalar and a square matrix.
To compute elementwise POWER, use POWER (.^) instead.

3 在MATLAB中，先运行rng default, A=randn(3,3)+1j*randn(3,3)生成的复数矩阵A，然后根据计算结果回答以下问题：
（提示：判断本题计算结果是否相同，用目测法即可）
〖目的〗
l 体验共轭转置、非共轭转置、共轭运算的产别；
l 建立起MATLAB数据的基本处理单元是“复数阵列（包括矩阵、数组）”的概念。

〖解答〗
rng default %为保证计算结果可重复
A=randn(3,3)+1j*randn(3,3) %创建（3*3）复数数组
A =
0.53767 + 2.7694i 0.86217 + 0.7254i -0.43359 - 0.20497i
1.8339 - 1.3499i 0.31877 - 0.063055i 0.34262 - 0.12414i
-2.2588 + 3.0349i -1.3077 + 0.71474i 3.5784 + 1.4897i

（1）
C11=A' %复数矩阵的共轭转置
C12=A.' %复数数组的非共轭转置
C13=conj(A) %复数数组的共轭运算
C14=conj(A.') %复数矩阵共轭转置的另一种指令形式。结果与C11相同
C11 =
0.53767 - 2.7694i 1.8339 + 1.3499i -2.2588 - 3.0349i
0.86217 - 0.7254i 0.31877 + 0.063055i -1.3077 - 0.71474i
-0.43359 + 0.20497i 0.34262 + 0.12414i 3.5784 - 1.4897i
C12 =
0.53767 + 2.7694i 1.8339 - 1.3499i -2.2588 + 3.0349i
0.86217 + 0.7254i 0.31877 - 0.063055i -1.3077 + 0.71474i
-0.43359 - 0.20497i 0.34262 - 0.12414i 3.5784 + 1.4897i
C13 =
0.53767 - 2.7694i 0.86217 - 0.7254i -0.43359 + 0.20497i
1.8339 + 1.3499i 0.31877 + 0.063055i 0.34262 + 0.12414i
-2.2588 - 3.0349i -1.3077 - 0.71474i 3.5784 - 1.4897i
C14 =
0.53767 - 2.7694i 1.8339 + 1.3499i -2.2588 - 3.0349i
0.86217 - 0.7254i 0.31877 + 0.063055i -1.3077 - 0.71474i
-0.43359 + 0.20497i 0.34262 + 0.12414i 3.5784 - 1.4897i

（2）
C21=A*A' %生成埃米特矩阵（复数共轭对称阵），其对角元一定为正实数
C22=A*A.' %对称的复数数组，非共轭，对角元不保证是正实数
C23=A.*conj(A) %正实数数组，每个元素是原因子数组对应元素的模平方
C21 =
9.4584 -2.6464 + 5.9662i 4.7246 - 9.5399i
-2.6464 - 5.9662i 5.4237 -7.6601 - 3.6165i
4.7246 + 9.5399i -7.6601 + 3.6165i 31.558
C22 =
-7.0176 + 4.4067i 4.871 + 4.5135i -12.512 - 6.3357i
4.871 + 4.5135i 1.7406 - 5.0763i 0.99354 + 8.9913i
-12.512 - 6.3357i 0.99354 + 8.9913i 7.6765 - 4.9187i
C23 =
7.9589 1.2696 0.23001
5.1853 0.10559 0.1328
14.313 2.2209 15.024

4 在时间区间 [0,10]中，绘制曲线。要求分别采取“标量循环运算法”和“数组运算法”编写两段程序绘图。（注意：体验数组运算的简捷。）
〖目的〗
l 加强理解数组运算的机理和应用。
l 初步使用subplot, plot, xlabel, ylabel等指令绘图。
〖解答〗
%标量循环运算法
t=linspace(0,10,200);
N=length(t);
y1=zeros(size(t));
for k=1:N
y1(k)=1-exp(-0.5*t(k))*cos(2*t(k));
end
subplot(1,2,1),plot(t,y1),xlabel('t'),ylabel('y1'),grid on
%数组运算法
y2=1-exp(-0.5*t).*cos(2*t);
subplot(1,2,2),plot(t,y2),xlabel('t'),ylabel('y2'),grid on

5 要求在闭区间 上产生具有10个等距采样点的一维数组。试用两种不同的指令实现。
〖目的〗
l 数值计算中产生自变量采样点的两个常用指令的异同。
〖解答〗
%方法一
t1=linspace(0,2*pi,10)
%方法二
t2=0:2*pi/9:2*pi %要注意采样间距的选择，如这里的2*pi/9.
t1 =
Columns 1 through 7
0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888
Columns 8 through 10
4.8869 5.5851 6.2832
t2 =
Columns 1 through 7
0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888
Columns 8 through 10
4.8869 5.5851 6.2832

6 由指令rng('default'),A=rand(3,5)生成二维数组A，试求该数组中所有大于0.5的元素的位置，分别求出它们的“全下标”和“单序号”。
〖目的〗
l 数组下标的不同描述：全下标和单序号。
l sub2ind, int2str, disp的使用。
l 随机发生器的状态控制：保证随机数的可复现性。
〖解答〗
rng('default')
A=rand(3,5)
[ri,cj]=find(A>0.5);
id=sub2ind(size(A),ri,cj);
ri=ri';cj=cj';
disp(' ')
disp('大于0.5的元素的全下标')
disp(['行号 ',int2str(ri)])
disp(['列号 ',int2str(cj)])
disp(' ')
disp('大于0.5的元素的单下标')
disp(id')
A =
0.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9572
0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.4854
0.1270 0.0975 0.9575 0.9706 0.8003

大于0.5的元素的全下标
行号 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3
列号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

大于0.5的元素的单下标
1 2 4 5 8 9 10 12 13 15

7 采用默认全局随机流，写出产生长度为1000的“等概率双位（即取-1，+1）取值的随机码”程序指令，并给出 -1码的数目。
〖目的〗
l 两种基本随机发生器的使用。
l 关系运算产生逻辑数组——可用于数组的元素的标识和寻访。
l 逻辑数组的应用。
l 如何判断两个整数数组是否相等。
〖解答〗
（1）运用均匀随机数解题法——解法1
rng default %为以下结果重现而设；产生默认随机流。详见第4.3.2节
A=rand(1,1000);
a=2*(A>0.5)-1;
Na=sum(a==-1)
Na =
512
（2）运用正态随机数解题法——解法2
randn('state',123)
B=randn(1,1000);
b=2*(B>0)-1;
Nb=sum(b==-1)
Nb =
462

（3）直接发生法——解法3
c=randsrc(1,1000,[-1,1]);
Nc=sum(c==-1)
Nc =
482

8 先运行clear,format long,rng('default'),A=rand(3,3)，然后根据A写出两个矩阵：一个对角阵B，其相应元素由A的对角元素构成；另一个矩阵C，其对角元素全为0，而其余元素与对应的A阵元素相同。
〖目的〗
l 常用指令diag的使用场合。
〖解答〗
clear,
format long
rng('default')
A=rand(3,3)
B=diag(diag(A))
C=A-B
A =
0.814723686393179 0.913375856139019 0.278498218867048
0.905791937075619 0.632359246225410 0.546881519204984
0.126986816293506 0.097540404999410 0.957506835434298
B =
0.814723686393179 0 0
0 0.632359246225410 0
0 0 0.957506835434298
C =
0 0.913375856139019 0.278498218867048
0.905791937075619 0 0.546881519204984
0.126986816293506 0.097540404999410 0

9 先运行指令x=-3*pi:pi/15:3*pi; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); warning off; Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y; 产生矩阵Z。（1）请问矩阵Z中有多少个“非数”数据？（2）用指令surf(X,Y,Z); shading interp观察所绘的图形。（3）请写出绘制相应的“无裂缝”图形的全部指令。
〖目的〗
l 初步感受三维曲面的绘制方法。
l 非数NaN的产生，非数的检测，和对图形的影响。
l sum的应用。
l eps如何克服“被零除”的尴尬。
〖解答〗
x=-3*pi:pi/15:3*pi;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
warning off
Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y;
NumOfNaN=sum(sum(isnan(Z))) %计算“非数”数目
subplot(1,2,1),surf(X,Y,Z),shading interp,title('有缝图')
%产生无缝图
XX=X+(X==0)*eps;
YY=Y+(Y==0)*eps;
ZZ=sin(XX).*sin(YY)./XX./YY;
subplot(1,2,2),surf(XX,YY,ZZ),shading interp,title('无缝图')
NumOfNaN =
181

10 下面有一段程序，企图用来解决如下计算任务：有矩阵，当依次取10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1时，计算矩阵“各列元素的和”，并把此求和结果存放为矩阵Sa的第k行。例如时，A阵为，此时它各列元素 的和是一个行数组，并把它保存为Sa的第3行。问题：该段程序的计算结果对吗？假如计算结果不正确，请指出错误发生的根源，并改正之。
〖目的〗
l 正确理解sum的工作机理。
l reshape的应用。
〖解答〗
（1）企图用以下程序完成题目要求。
for k=10:-1:1
A=reshape(1:10*k,k,10);
Sa(k,:)=sum(A);
end
Sa
Sa =
55 55 55 55 55 55 55 55 55 55
3 7 11 15 19 23 27 31 35 39
6 15 24 33 42 51 60 69 78 87
10 26 42 58 74 90 106 122 138 154
15 40 65 90 115 140 165 190 215 240
21 57 93 129 165 201 237 273 309 345
28 77 126 175 224 273 322 371 420 469
36 100 164 228 292 356 420 484 548 612
45 126 207 288 369 450 531 612 693 774
55 155 255 355 455 555 655 755 855 955

（2）正确性分析
除k=1外，计算所得Sa所有行的结果都正确。但k=1时，，Sa的第1行应该与相同。
上述程序的错误是对sum理解不正确。sum对二维数组，求和按列施行；而对一维数组，不管行数组或列数组，总是求那数组所有元素的和。
正确的程序应该写成
for k=10:-1:1
A=reshape(1:10*k,k,10);
Sa(k,:)=sum(A);
if k==1
Sa(k,:)=A;
end
end
Sa
Sa =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 7 11 15 19 23 27 31 35 39
6 15 24 33 42 51 60 69 78 87
10 26 42 58 74 90 106 122 138 154
15 40 65 90 115 140 165 190 215 240
21 57 93 129 165 201 237 273 309 345
28 77 126 175 224 273 322 371 420 469
36 100 164 228 292 356 420 484 548 612
45 126 207 288 369 450 531 612 693 774
55 155 255 355 455 555 655 755 855 955

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