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大一高数知识点总结
大一高数知识点总结
篇一：

大一高数知识点,重难点整理 第一章 基础知识部分
1.1初等函数

一、函数的概念
1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数 ，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法
（1）解析法 即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。
（2）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。
（3）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x ?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
1、单调性（单调增加、单调减少）
2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：
关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）
3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）
4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。
5、极大值、极小值
6、最大值、最小值
三、初等函数
1、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）
2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。
四、函数关系举例与经济函数关系式
1、函数关系举例
2、经济函数关系式
（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量
（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量
（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本
（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)
1.2函数的极限

一、数列的极限 对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则 lim 称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n→∞时，an→A。 n→∞n lim1lim 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C（C为 n??nn?? limn 常数）， q=0q?1) 。 n→∞ 若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况：

（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：
??1? n?1 ；
（2）数列无界，如数列{n2}。
二、当x→0时，函数f（x）的极限 如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作 lim f?x??A，或当x→∞时，f(x) →A。 x?? 单向极限定义 如果当x???或?x????时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限，记作 lim?lim? ?。 ??f?x??A?fx?A??x????n????
三、当X→X时，函数f（x）的极限
1、当X→X时，函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近X(记作X→X)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当X→X时的极限，记作 lim f?x??A，或当X→X时，f(x) →A。 n??
2、当X→X时，函数f(x)的左极限和右极限 如果当X→Xˉ（或x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X→X时的左极限（右极限）为A，记作
四、无穷大与无穷小
1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0 lim ? A??。 ? lim 如果当X→X时，f(x)→0，就称f(x)当X→X时的无穷小，记作f?x??0；如 x?x0 果当X→X时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X→X时为无穷大，记作 lim f?x???。其中，如果当X→X时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X x?x0 lim →X时为正无穷大，记作f?x????；如果当X→X时，f(x)向负的方向无限增大， x?x0 就称函数f(x)当X→X时为负无穷大，记作
2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么 lim f?x????。 x?x0 1 为无穷小；反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。
3、无穷小的性质 性质1：
有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质2：
有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质3：
有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=(b)； a =0，则称a是比b低阶的无穷小； ba
(2) 如果lim=∞, 则称a是比b高阶的无穷小； b
(1)如果lim a =c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。 b a 特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～b。 b
(3) 如果lim
1.3极限运算法则 法则一 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u±v)=lim u±lim v=A±B; 法则二 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u·v)=lim u·lim v=A·B； 法则三 若lim u=A，lim v=B，且B≠0，则 lim ulimuA== vlimvB 推论 若lim u=A，C为常数，k∈N，则
(1)lim C·u=C·lim u=C·A；
(2)lim u= (lim u)k=A 注 运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。 k k
1.4两个重要极限

一、 limsin x =1 x?0x lim?1?x
二、?1??=e x???x?
1.5函数的连续性

一、函数连续性的概念
1.函数在某点的连续性 若函数f(x)在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f(x)的连续点。 理解这个定义要把握三个要点：

（1）f(x)要在点x0及其左右有定义；
（2） lim f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0
（3） 增量 △x=x-x0 △y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，相应的函数增量△y也趋近于零，即 lim 则称函数f(x)在点x0处连续，x0?y?0， ?x?0 为f(x)的连续点。
2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数f(x)在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a，b）上连续。 如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性
1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。 设函数u?????在点x0处连续，且u0???x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数y?f(??x0?)在点x0处也连续。
2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章 微分与导数
2.1导数的概念 设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x→0时，若 ?y 得极限?x 存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点x0处的导数，记作 limf?x0??x??f?x0??y ， ?x0??f’? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作y’ ∣ x?x0或 dydy ∣x?x0 dxdx ∣ x?x0 。 ? (x0)和f?? (x0)都存在且等于A，即 函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于f? ??x0??f???x0??A。 f??x0??A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等， 该点的导数就不存在。
2.2导数的四则运算法则和基本公式
篇二：

高等数学知识点归纳 第一讲: 一. 数列函数:
1. 类型: 极限与连续
(1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an)
(2)初等函数:
(3)分段函数: *F(x)?? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)??;* ,, ?ax?x0?f2(x)x?x0
(4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x)
(5)隐式(方程): F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)?

2. 特征(几何): ?ax,x?? nnn?0 ?
(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质:
1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0?) n?? x?? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型: 0?? ,,1,???,0??,00,?0 0?
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b,, c, ) ?a?0??0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)??, lim, lim? x???x???x?0xex x xlnx?0 lim, e??x?0? n ?0x??? , ???x??? 四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?csu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x))?u(x); (1?u(x))??1??u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi

2. 泰勒公式: 12 x?(x2); 2!122
(2)ln(1?x)?x?x?(x); 2134
(3)sinx?x?x?(x); 3! 12145
(4)csx?1?x?x?(x); 2!4! ?(??1)2? x?(x2).
(5)(1?x)?1??x? 2!
(1)e?1?x? x 五. 常规方法: 前提:
(1)准确判断,
1. 抓大弃小( 0??1 ,1,?M(其它如:???,0??,00,?0);
(2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ?

2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin ? 1 ?1,x??) x

3. 1处理(其它如:0,?)
4. 左右极限(包括x???): 1 1x
(1)(x?0);
(2)e(x??); ex(x?0);
(3)分段函数: x, [x], maxf(x) x 00
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x?1x?001?x1?x v(x)
(2)幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1))
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数) n?? 六. 非常手段
1. 收敛准则:
(1)an?f(n)?limf(x) x???
(2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?
(3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f (x)?0? ?f ?fx 0( ) ?x?0?x 1112n [?)f(??)?f(??)]fxd(

3. 积分和: lif, x) 0n??nnnn

2. 导数定义(洛必达?): li
4. 中值定理: lim[f(x?a)?f(x)]?alimf (?) x??? x???
5. 级数和(数一三): ? 2nn!
(1)?an收敛?liman?0, (如limn)
(2)lim(a1?a2???an)??an, n??n??nn?? n?1n?1 ? ?
(3){an}与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kxn,(x?0)?
(1)f(0)?f (0)???f
(2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x??(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt??ktndt x

2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?lim[f(x)?ax]?f(x)?ax?b?? x??x??x 1
(2)f(x)?ax?b??,(?0) x
(1)a?lim

3. 连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:极限函数, f (x)连续性) 八. [a,b]上连续函数性质
1. 连通性: f([a,b])?[m,M] (注:?0???1, “平均”值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0))

2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数);
(2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx) ?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念:
1. 差商与导数: f (x)?lim ?x?0 f(x??x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f (x0)?lim x?x0?xx?x0
(1)f (0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f (0)?A) (注:lim x?0xx
(2)左右导: f? (x0),f? (x0);
(3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导)

2. 微分与导数: ?f?f(x??x)?f(x)?f (x)?x?(?x)?df?f (x)dx
(1)可微?可导;
(2)比较?f,df与 0 的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x)) )

2. 法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;
(3)反函数
三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h
1. 定义导:
(1)f (a)与f (x)x?a;
(2)分段函数左右导;
(3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注: f(x)??, 求:f (x0),f (x)及f (x)的连续性) , x?xa?0

2. 初等导(公式加法则):
(1)u?f[g(x)], 求:u (x0)(图形题);
(2)F(x)?
(3)y?? ? x a f(t)dt, 求:F (x) (注: (?f(x,t)dt) ,(?f(x,t)dt) ,(?f(t)dt) ) a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,,求f? (x0),f? (x0)及f (x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y,

3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2
4. 参式导(数一,二): ?, 求: dxdx?y?y(t)
5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )??ae; (n?1 a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n); (csax)(n)?ancs(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv ?Cnuv ?? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2???anx???an? n! n 四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线)

2. 物理: (相对)变化率?速度;

3. 曲率(数一二): ?? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导)
1. 判别(驻点f (x0)?0):
(1) f (x)?0?f(x)?; f (x)?0?f(x)?;
(2)分段函数的单调性
(3)f (x)?0?零点唯一; f (x)?0?驻点唯一(必为极值,最值).

2. 极值点:
(1)表格(f (x)变号); (由lim x?x0 f (x)f (x)f (x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx
(2)二阶导(f (x0)?0) 注
(1)f与f ,f 的匹配(f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由f (x)??(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.
(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

3. 不等式证明(f(x)?0)
(1)区别: *单变量与双变量? *x?[a,b]与x?[a,??),x?(??,??)?
(2)类型: *f ?0,f(a)?0; *f ?0,f(b)?0
篇三：

吉林大学高数知识点公式大全 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 平方关系：
sin^2(α)+cs^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) ct^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系：
sinα=tanα*csα csα=ctα*sinα tanα=sinα*secα ctα=csα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*ctα 倒数关系：
tanα·ctα=1 sinα·cscα=1 csα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数：
cs(α+β)=csα·csβ-sinα·sinβ cs(α-β)=csα·csβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·csβ±csα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·csβ·csγ+csα·sinβ·csγ+csα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cs(α+β+γ)=csα·csβ·csγ-csα·sinβ·sinγ-sinα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·csγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 吉林大学 高数 复习 公式 辅助角公式：
Asinα+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cst=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)cs(α-t)，tant=A/B 倍角公式：
sin(2α)=2sinα·csα=2/(tanα+ctα) cs(2α)=cs^2(α)-sin^2(α)=2cs^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cs(3α)=4cs^3(α)-3csα 半角公式：
sin(α/2)=±√((1-csα)/2) cs(α/2)=±√((1+csα)/2) tan(α/2)=±√((1-csα)/(1+csα))=sinα/(1+csα)=(1-csα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cs(2α))/2=versin(2α)/2 cs^2(α)=(1+cs(2α))/2=cvers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cs(2α))/(1+cs(2α)) 万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] csα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式：
sinα·csβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] csα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] csα·csβ=(1/2)[cs(α+β)+cs(α-β)] 吉林大学 高数 复习 公式 sinα·sinβ=-(1/2)[cs(α+β)-cs(α-β)] 和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cs[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cs[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] csα+csβ=2cs[(α+β)/2]cs[(α-β)/2] csα-csβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式 tanα+ctα=2/sin2α tanα-ctα=-2ct2α 1+cs2α=2cs^2α 1-cs2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+csα/2)^2 三角函数的角度换算 公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cs（2kπ＋α）＝csα tan（2kπ＋α）＝tanα ct（2kπ＋α）＝ctα 公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα cs（π＋α）＝－csα tan（π＋α）＝tanα ct（π＋α）＝ctα 公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα cs（－α）＝csα tan（－α）＝－tanα ct（－α）＝－ctα 吉林大学 高数 复习 公式 公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα cs（π－α）＝－csα tan（π－α）＝－tanα ct（π－α）＝－ctα 公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα cs（2π－α）＝csα tan（2π－α）＝－tanα ct（2π－α）＝－ctα 公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝csα cs（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－ctα ct（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝csα cs（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝ctα ct（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－csα cs（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－ctα ct（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－csα cs（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝ctα ct（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 (tgx)??sec2x(arcsinx)??1(ctgx)???csc2x?x2(secx)??secx?tgx(arccsx)???1(cscx)???cscx?ctgx?x2(ax)??axlna(arctgx)??1 1?x2 (lgx)??1 axlna(arcctgx)???1 1?x2 导数公式：
?tgxdx??lncsx?C ?ctgxdx?lnsinx?C?dxcs2x??sec2xdx?tgx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2 sin2x?xdx??ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a? a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ?? 22 In n??sinxdx??csnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a 2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C篇四：
高数上册知识点总结 高数重点知识总结
1、基本初等函数：
反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y?ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)
2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1
3、无穷小：
高阶+低阶=低阶 例如：
lim x?0x?0xx sinx
4、两个重要极限：

(1)lim?1 x?0x
(2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1???e x?? ?x? g(x) x 经验公式：
当x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如：
lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim??? x? ?e?3
5、可导必定连续，连续未必可导。例如：
y?|x|连续但不可导。
6、导数的定义：
lim ?x?0 f(x??x)?f(x) ?f (x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f ?x0? x?x0
7、复合函数求导：
df?g(x)??f ?g(x)??g (x) dx 例如：
y?x?x,y ? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1
8、隐函数求导：

(1)直接求导法；
(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2?y2?1 例如：
解：
法
(1),左右两边同时求导,2x?2yy ?0?y ?? x ydyx 法
(2),左右两边同时微分,2xdx?2ydy??? dxy
9、由参数方程所确定的函数求导：
若? ?y?g(t)dydy/dtg (t)??，则，其二阶导数：
dxdx/dth (t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g (t)/h (t)? dyd?dy/dx???? 2dxdxdx/dth (t) 2
10、微分的近似计算：
f(x0??x)?f(x0)??x?f (x0) 例如：
计算 sin31?
1
1、函数间断点的类型：

(1)第一类：
可去间断点和跳跃间断点；例如：
y? sinx （x=0是x 函数可去间断点），y?sgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）
(2)第二类：
振荡间断点和无穷 间断点；例如：
f(x)?sin??（x=0是函数的振荡间断点），y?断点）
1
2、渐近线：
水平渐近线：
y?limf(x)?c x?? ?1??x? 1 （x=0是函数的无穷间x limf(x)??，则x?a是铅直渐近线. 铅直渐近线：
若， x?a 斜渐近线：
设斜渐近线为y?ax?b,即求a?lim x?? f(x) ,b?lim?f(x)?ax? x??x x3?x2?x?1 例如：
求函数y?的渐近线 x2?1
1
3、驻点：
令函数y=f(x)，若f (x0)=0，称x0是驻点。
1
4、极值点：
令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。
1
5、拐点：
连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
1
6、拐点的判定定理：
令函数y=f(x)，若f (x0)=0，且x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0或x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。
1
7、极值点的必要条件：
令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f (x0)=0。
1
8、改变单调性的点：
f (x0)?0，f (x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）
1
9、改变凹凸性的点：
f (x0)?0，f (x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）
20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 2
1、中值定理：

(1)罗尔定理：
f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得f (?)?0
(2)拉格朗日中值定理：
f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f (?)
(3)积分中值定理：
f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点?，使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 2
2、常用的等价无穷小代换：
x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(?x?1)~ln(1?x)1?csx~ 12x2111 tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3 263 2
3、对数求导法：
例如，y?xx，解：
lny?xlnx? 1 y ?lnx?1?y ?xx?lnx?1? y 2
4、洛必达法则：
适用于“ 0?”型，“”型，“0??”型等。当0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f (x),g (x)皆存在，且g (x)?0，则 f(x)f (x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinx1 lim?lim 例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g (x)x?0x?0x?0x2x22 2
5、无穷大：
高阶+低阶=高阶 例如， 2
6、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法（凑微分法）
(3)第二类换元法：
哪里复杂换哪里，常用的换元：
1)三角换元：
23 ?x?1??2x?3?lim? x??? 2x5 x2?2x?lim?4 x???2x5 3 a2?x2，可令 x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换x? 1 t 2
7、分部积分法：
udv?uv?vdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如：
ecsxdx,secxdx ?? ?? 2
8、有理函数的积分：
例如：