专题：立体几何大题中有关体积的求法.docx

专题：立体几何大题中有关体积的求法

专题：立体几何大题中有关体积的求法
角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法
1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ．
2如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（　　　）．
　A． B．　C． 　　D．
练习
3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.
4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [来
二、转换法
当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
例　在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，（如图1），试求三棱锥的体积．

三、割补法
分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．
7例已知三棱锥，其中,,
求：三棱锥的体积。

8练习　如图2，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分，
已知，
求几何体的体积。

10四面体的三组对棱分别相等，且依次为，
求四面体的体积。

巩固练习
11 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1) 求四棱锥的体积；（2）求截面的面积。

12. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，点D是AB的中点.
求多面体的体积.

图3
13. 如图3，直四棱柱的底面是菱形，
，其侧面展开图是边长为的正方形。、分别是侧棱、上的动点，．
问多面体的体积是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求的取值范围．

14. 如图，已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
(1)求证：不论为何值，总有EF⊥平面；
(2)若，求三棱锥的体积．

15. 如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．
试求四棱锥体积的最大值；

16. 如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面
和圆所在的平面互相垂直，且，.

设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．

专题一：立体几何大题中有关体积的求法
1-4略
5解：
．
6

7解：作的中点，连接、，
过作，垂足
易证即为三棱锥的高，
由棱锥体积公式
即得 三棱锥的体积。
8设棱柱的底面积为，高为，其体积．
则三角形的面积为．
由于，
则剩余不规则几何体的体积为，
所以两部分的体积之比为．

9首先通过梯形的中位线重合，我们可以求得,
分别延长到,使得,
则我们可得
故长方体的体积是几何体的二倍。
故
10 把四面体补形成一个长方体，
三度分别是则

11

13

14

15