一种结合勾股模糊相似度的多属性决策方法_蔡香香.pdf

第 59 卷 第 1 期2023 年 1 月南京大学学报（自然科学）（NATURAL SCIENCE）Vol.59,No.1Jan.,2023JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY一种结合勾股模糊相似度的多属性决策方法蔡香香1,王磊1,2*,王冲1,刘斌1（1.南昌工程学院信息工程学院，南昌，330099；2.江西省水信息协同感知与智能处理重点实验室，南昌工程学院信息工程学院，南昌，330099）摘要：为了解决现有勾股模糊相似度度量中由于忽略犹豫度而造成度量不精确的问题，提出一种新的相似度的度量方法.首先，在属性值为勾股模糊数的条件下，将勾股模糊相似度定义结合灰色关联分析的思想应用于多属性决策，提出一种新的结合勾股模糊相似度的灰色关联分析多属性决策方法，并设计了该方法的算法.通过一个翔实的算例分析证实了提出方法的正确性和有效性，证明其为多属性决策的一种新的可行方法.通过两组实验结果的对比，提出的方法比其他方法的决策更贴近实际结果，验证了该方法的可靠性.该算法还避免了人工计算，具有高效性.关键词：多属性决策，勾股模糊集，犹豫度，相似度，灰色关联分析中图分类号：TP183，TP391 文献标志码：AA multiattribute decisionmaking approach with pythagorean fuzzy similarityCai Xiangxiang1,Wang Lei1,2*,Wang Chong1,Liu Bin1(1.School of Information Engineering，Nanchang Institute of Engineering，Nanchang，330099，China；2.Jiangxi Rrovince Key Laboratory of Water Information Cooperative Sensing and Intelligent Processing，School of Information Engineering，Nanchang Institute of Engineering，Nanchang，330099，China)Abstract:In order to solve the problem of inaccuracy of the existing Pythagorean fuzzy similarity measure due to the neglect of hesitation degree，a new measure of similarity is proposed.First，a new multiattribute decision making method is proposed by combining the definition of Pythagorean fuzzy similarity with the idea of grey relational analysis under the condition that the attribute values are Pythagorean fuzzy numbers，and the algorithm of this method is designed.The correctness and validity of the proposed method are confirmed by an informative case study，and it is proved to be a new feasible method for multiattribute decision making.By comparing the results of the two sets of experiments，the proposed method is closer to the actual results than the decisions of other methods，and the reliability of the proposed method is verified.The algorithm also avoids manual computation and is more efficient.Key words:multiattribute decisionmaking,pythagorean fuzzy set,hesitation,similarity，grey relational analysis多属性决策1是在已有决策信息的基础上，通过一定的方式对备选方案进行择优或排序的决策，它的理论和方法在风险投资决策、项目评估、产业部门的发展排序等多个领域中都有广泛的应用.目前，多属性决策在复杂环境和模糊信息背景 下 的 研 究 已 经 引 起 了 国 内 外 学 者 的 极 大 关DOI：10.13232/ki.jnju.2023.01.004基金项目：国家自然科学基金（61562061），江西省教育厅科技项目（GJJ170995）收稿日期：2022-09-28*通讯联系人，Email：南京大学学报（自然科学）第 59 卷注2，然而，由于复杂的现实环境及其不确定性的增加以及人们的思维存在一定程度的主观随意性的问题，传统的多属性决策方法存在一定的局限.为了更好地描述不确定信息，1965年 Zadeh3提出模糊集的概念，主要通过对事物的隶属度函数来表征信息.为了进一步对具有模糊性的决策问题进行有效的决策，1986年 Atanassov4提出直觉模糊集，在已有的隶属度和非隶属度的基础上增加了犹豫度，要求集合中元素的隶属度和非隶属度之和小于等于 1.直觉模糊集可视为模糊集的拓展，和模糊集相比，直觉模糊集能够更加客观地描述不确定性问题并有效地处理不确定性信息.然而在某些情况下，专家在实际决策中给出的隶属度和非隶属度之和往往大于 1.为了解决这个问题，2013 年 Yager5-6提出勾股模糊集，它能很好地描述元素的隶属度与非隶属度之和大于1但其平方和却小于或等于 1的问题，在处理模糊信息上有更大的优势，在决策问题的求解7过程中更能反映人的主观信息的准确性.因 此，勾 股 模 糊 集 引 起 了 学 者 们 的 关 注.Yager and Abbasov7定义了多种勾股模糊集合成算 子，并 与 实 际 决 策 问 题 相 结 合.Peng and Yang8-9研究了勾股模糊集的除法和减法运算、开发了优势劣势排序方法，提出区间值勾股模糊集，应用到多属性群决策问题中.Zhang et al10-11定义了基于分数函数的比较方法和距离测度，运用 topsis 方法确定最佳决策.李德清等12讨论了勾股模糊数排序方法的不足，提出距离公式并借助理想点法进行多属性决策.Liang et al13给出勾股模糊决策问题的理想解法，提出勾股模糊信息的三支决策模型.距离度量和相似度度量14-15是数据分析、数据挖掘、模糊集理论中两个重要的研究内容，因此，在勾股模糊集背景下研究两个勾股模糊数间的距离和相似度很有必要，但目前针对勾股模糊相似度的研究很少，并且在运算中往往会忽略犹豫度参数对决策的影响，且有部分研究是结合 topsis16-18方法来实现方案的选择.灰色关联分析19能很好地阐述数据曲线的变化趋势，是数据相似性的重要衡量指标，即，若某个方案子序列与正理想母序列的灰色关联度越大且与负理想母序列的灰色关联度越小，则该方案就越优，能更客观地进行方案的选择.因此，本文首先引入勾股模糊距离以及相似度的度量方法并分析其性质，然后运用灰色关联分析20方法，计算每个方案子序列与正、负理想母序列的灰色关联相似度.随后，计算每个方案对正理想母序列的加权相似度，构造结合勾股模糊相似度的灰色关联分析方法，最后通过实例和对比分析验证该方法的有效性.本文的主要工作：（1）集成了勾股模糊集三个参数的特性，参照欧氏距离定义并结合勾股模糊集的几何意义，提出一种新的适用于勾股模糊数的距离定义，揭示了其三个重要性质.（2）在模糊数据背景下研究距离度量和相似度度量很有必要.针对现有勾股模糊相似度忽略犹豫度的情况，基于欧式距离定义提出一种新的勾股模糊数相似度度量方法，给出并证明了其中的一些重要性质.（3）对于多属性决策问题，集成了勾股模糊和灰色关联分析两者的优势，提出一种新的结合勾股模糊相似度的灰色关联分析方法，并设计了该方法的算法.通过对不同方法的对比分析，表明提出的方法可以有效地实施多属性决策问题.1 相关理论 1.1勾股模糊集定义 15 设论域X是一个有限且非空的集合，则定义论域X上的勾股模糊集A可以表示为A=|x，A(x)，A(x)x X.其 中，A：X 0，1表示集合X上元素x属于A的隶属度，A：X 0，1表 示 集 合X上 元 素x属 于A的 非 隶属 度，且 勾 股 模 糊 集A的 隶 属 度 和 非 隶 属 度满 足0()A()x2+()A()x2 1，x X.定义A()x=1-()A()x2-()A()x2为勾股模糊集A中元素x的犹豫度，也称为不确定度.1.2勾股模糊数定义 210 设论域X上的勾股模糊集A，A中的每一个元素称为勾股模糊数，Zhang10把勾股模糊数记为P=()P，P，且每一个勾股模糊数满 36第 1期蔡香香等：一种结合勾股模糊相似度的多属性决策方法足0 P2+P2 1，P=1-()P2+P2.1.3勾股模糊数间的距离勾股模糊数间的距离可以度量两个勾股模糊数之间的差异，在勾股模糊背景下研究勾股模糊数间的距离很有意义.分析勾股模糊集中隶属度、非隶属度、犹豫度间的关系2+2+2=1，0，1，可将勾股模糊集形象地表示在单位球位于第一卦限的 1/8球面 上，如 图 1 所 示.任 取 1/8 单 位 球 上 的 两 点()1，1，1，D()2，2，2，当 A 点取坐标轴与球的交点，D 点取在弧 BC 上时，其欧式距离有最大值2.因此，两个勾股模糊数间的距离在0，2，为了使勾股模糊数间的相似度在0，1，需要对距离进行归一化处理.由此，基于欧氏距离的定义，提出一种新的勾股模糊数间的距离定义以及勾股模糊数间的相似度定义.定义 3 设P1=()1，1和P2=()2，2为任意两个勾股模糊数，则P1和P2的距离定义为：d()P1,P2=12()1-22+()1-22+()1-22(1)其中，1和2分别为勾股模糊数P1和P2的犹豫度.显然，上述勾股模糊数的距离是在欧氏距离的基础上给出的，满足距离的三个性质：（1）非负性：由式（1）可知，d()P1，P2 0成立，当且仅当1=2，1=2时，d()P1，P2=0.（2）对 称 性：由 式（1）可 知，d()P1，P2=d()P2，P1成立.（3）三 角 不 等 式：设P1=()1，1，P2=()2，2，P3=()3，3为任意三个勾股模糊数，可知满足三角不等式d()P1，P2 d()P1，P3+d()P2，P3.1.4勾股模糊数间的相似度定义 4 设P1=()1，1和P2=()2，2为任意两个勾股模糊数，则P1和P2的相似度为：s()P1,P2=1-12()1-22+()1-22+()1-22(2)其中，1和2分别为勾股模糊数P1和P2的犹豫度.由于上述勾股模糊数的相似度定义是在距离的基础上给出的，显然满足以下性质：（1）0 s()P1，P2 1；（2）s()P1，P2=s()P2，P1；（3）s()P1，P2=s()Pc1，Pc2（其中Pc为P的补集）；（4）s()P1，P2=1 P1=P2.证 明（1）首 先，由 式（1）和 式（2）可 知s()P1，P2 0；其次，要证s()P1，P2 1，只需证d()P1，P2的最大值为 1.由式（1）的勾股模糊数间的距离，得证.（2）由式（2）可知：s()P1,P2=1-12()1-22+()1-22+()1-22=1-12()2-12+()2-12+()2-12=s()P2,P1得证.（3）由P1=()1，1，Pc1=()1，1，P2=()2，2，Pc2=()2，2可知：s()P1,P2=1-12()1-22+()1-22+()1-22=1-12()1-22+()1-22+()1-22=s()Pc1,Pc2得证.（4）s()P1，P2=1，即d()P1，P2=0，当 且 仅 当1=2，1=2时，即P1=P2，反之亦然.图 1两个勾股模糊数间距离的图示Fig.1 Diagram of distance between two pythagorean fuzzy numbers 37南京大学学报（自然科学）第 59 卷2 结合勾股模糊相似度的灰色关联分析多属性决策方法 2.1问题描述勾股模糊多属性决策问题可描述为：有m个方案Ai(i=1，2，m)，决策者根据n个属性Cj(j=1，2，n)对每个方案进行评估，方案Ai在属性Cj下的评估值为勾股模糊数i j=()ij，ij(i=1，2，m；j=1，2，n).各个属性的权重分别为1，2，n（0 j 1且j=1nj=1）.在如上没有决策属性的勾股模糊信息系统中，决策者需给出最优方案.为解决此问题，本节提出一种结合勾股模糊相似度的灰色关联分析多属性决策方法.2.2结合勾股模糊相似度的灰色关联分析方法在勾股模糊信息背景下，灰色关联分析方法克服了采用数理统计方法所得结果不精确的缺憾，且其结果与定性分析结果比较吻合.结合本文提出的勾股模糊数间的相似度定义以及灰色关联分析法的优势，提出一种新的结合勾股模糊相似度的灰色关联分析方法.算法框架如图 2 所示，分析方法的步骤如下.步骤 1.对于勾股模糊集多属性决策问题，对每 个 方 案Ai(i=1，2，m)关 于 每 个 属 性Cj(j=1，2，n)进行评估，得到每个方案关于属性的勾股模糊值，故在勾股模糊信息系统中可以表示为如下的勾股模糊决策矩阵：=11121n21222nm1m2mn步骤 2.确定每个属性Cj下的正理想母序列和负理想母序列，有正理想母序列：+=()+1，+2，+n其中，+j=()+j,+j=()max ij,min iji=1,2,m;j=1,2,n(3)负理想母序列：-=()-1，-2，-n其中，-j=()-j,-j=()min ij,max iji=1,2,m;j=1,2,n(4)步骤 3.求出每个方案子序列Ai在属性Cj下的与正、负理想母序列间的灰色关联相似度：+ij=m+M+ij+M,()0,1,i=1,2,m;j=1,2,n(5)其中，+ij是+j和ij间的相似度S()+j，ij，m=min+ij，M=max+ij，是分辨系数，通常取默认值 0.5.-ij=m+M-ij+M,()0,1,i=1,2,m;j=1,2,n(6)其 中，-ij是-j和ij间 的 相 似 度S()-j，ij，m=min-ij，M=max-ij，是分辨系数，通常取默认值 0.5.各个方案子序列与正理想母序列间的灰色关联相似度矩阵为：+ij=+11+12+1n+21+22+2n+m1+m2+mn各个方案子序列与负理想母序列间的灰色关联相似度矩阵为：-ij=-11-12-1n-21-22-2n-m1-m2-mn图 2勾股模糊相似度的灰色关联分析法流程图Fig.2Flowchart of the grey relational analysis with the pythagorean fuzzy similarity 38第 1期蔡香香等：一种结合勾股模糊相似度的多属性决策方法步骤 4.计算属性加权下每个方案子序列与正、负理想母序列间的相似度：+i=jn+ijj,i=1,2,m(7)-i=jn-ijj,i=1,2,m(8)步骤 5.计算每个子序列的灰色关联相似度相对正理想母序列的相似度：i=+i+i+-i,i=1,2,m(9)步骤 6.根据相似度，对每个方案进行排序.2.3算法根据提出的结合勾股模糊相似度的灰色关联分析方法，设计算法如下.算法 结合勾股模糊相似度的灰色关联多属性决策算法（An algorithm of multiattribute decisionmaking with grey relational analysis and Pythagorean fuzzy similarity，MDAGRAPFS）输入：一个勾股模糊信息系统，包括方案集和属性集；输出：最佳方案.Step 1.根据评审小组对每个方案关于每个属性的评估值构造勾股模糊决策矩阵，且每个评估值是勾股模糊数，以二维矩阵的形式输入数据；Step 2.通过式（3）和式（4）确定各个属性下的正、负理想母序列；Step 3.根据式（2）、式（5）和式（6），计算每个方案子序列与正、负理想母序列间的灰色关联相似度矩阵；Step 4.根据式（7）和式（8），计算属性加权下每个方案子序列与正、负理想母序列间的加权相似度；Step 5.根据式（9）计算每个子序列的灰色关联相似度相对正理想母序列的相似度；Step 6.根据相似度对方案进行排序，得到最优方案.3 算例分析 3.1算例计算例 某高校下属某学院的某班级通过客观的排序来确定优秀毕业生，经过前期的调研和筛选后共有五名学生A=A1，A2，A5符合条件.但只有一个评优名额，为了确定最佳人选，评审小组对五名候选人分别从六个属性C=C1，C2，C3，C4，C5，C6进行评价，评价结果以勾股模糊信息的形式给出，如表 1 所示.其中，六个属性的属性 权 重 向 量 分 别 为=(0.2，0.1，0.3，0.15，)0.15，0.1.根据本文所提出的方法进行求解.步骤 1.根据评审小组对属性的评估值，构造如下勾股模糊决策矩阵：=()0.2,0.5()0.3,0.5()0.4,0.3()0.4,0.7()0.6,0.8()0.8,0.4()0.3,0.8()0.8,0.5()0.7,0.7()0.6,0.8()0.4,0.7()0.6,0.5()0.6,0.8()0.5,0.6()0.6,0.7()0.4,0.7()0.7,0.4()0.7,0.4()0.3,0.7()0.5,0.6()0.5,0.8()0.7,0.5()0.3,0.4()0.5,0.8()0.2,0.4()0.4,0.7()0.5,0.8(0.5,0.7()0.5,0.6()0.4,0.7步骤 2.通过式（3）和式（4）计算每个属性下的正理想母序列和负理想母序列：+=()0.6,0.4,0.8,0.5,0.7,0.3,0.7,0.5,0.7,0.4,0.8,0.4-=()0.2,0.8,0.3,0.7,0.4,0.8,0.4,0.8,0.3,0.8,0.4,0.8步骤3.通过式（2）、式（5）和式（6），得到每个学生子序列与正、负理想母序列间的灰色关联相似度矩阵：表 1五名学生的评价结果Table 1Evaluation results for five students学生A1A2A3A4A5C1P()0.2,0.5P()0.3,0.8P()0.6,0.8P()0.3,0.7P()0.2,0.4C2P()0.3,0.5P()0.8,0.5P()0.5,0.6P()0.5,0.6P()0.4,0.7C3P()0.4,0.3P()0.7,0.7P()0.6,0.7P()0.5,0.8P()0.5,0.8C4P()0.4,0.7P()0.6,0.8P()0.4,0.7P()0.7,0.5P()0.5,0.7C5P()0.6,0.8P()0.4,0.7P()0.7,0.4P()0.3,0.4P()0.5,0.6C6P()0.8,0.4P()0.6,0.5P()0.7,0.4P()0.5,0.8P()0.4,0.7 39南京大学学报（自然科学）第 59 卷+ij=0.84000.93650.82400.82400.95100.78660.86700.78660.91360.89360.83640.80861.00000.83840.85450.82400.78660.79500.83700.83840.90430.78660.85300.86230.84230.86330.90430.80800.80860.8643,-ij=0.88870.85940.97850.84770.95460.94000.84300.96500.89750.91260.84670.88771.00000.85400.85450.84770.94240.92330.84670.85400.84600.89450.92600.84600.92200.84330.8460.84600.86600.8477步骤 4.通过式（7）和式（8）得到属性加权下每个学生子序列与正、负理想母序列间的相似关联度：+i=0.85390.86670.86130.85470.8550-i=0.92160.88700.90260.86630.8642步骤 5.通过式（9）得到每个学生子序列的灰色关联相似度相对正理想母序列的相似度：i=0.48100.49420.48830.49660.4973步骤 6.最后通过相似度比较，学生的排序为5 4 2 3 1.综上所述，利用本文的结合勾股模糊相似度的灰色关联分析多属性决策方法，依据表 1 中的数据，可以客观地得到评选学生的排序.班级也可以根据优秀毕业生指标进行选择，若只有一个名额，则选择5.3.2实验及结果分析通过两组实验验证提出方法的科学性和可靠性，采用文献 12，18 中不同的应用案例进行两组对比，对不同决策方法得出的排序结果进行比较.实验搭载的硬件环境为Intel（R）Core（TM）i77500U CPU 2.70 GHz 2.90 GHz，在 python 3.8软件平台上编程实现.为了方便比较，采用李德清等12的投资决策问题的数据：某培养机构经过考察，选定五个学生作为投资对象，投资者通过调研和咨询有关专家从六个方面对每个学生进行评估，评估结果由勾股模糊数表示.运用本文方法与其他两种方法进行决策并比较，三种方法的排序结果如表 2所示，三种方法的贴近相似度折线图如图 3所示.由表 2 和图 3 可知，虽然运用三种方法计算得到的决策结果相同，都是A3，本文方法与李德清等12的方法排序结果一致，但与 Yager6的排序结果略有不同，主要体现在A2和A5，因决策方法的不同而引起排序结果的不同是可以接受的.为了进一步验证本文方法的可靠性，采用彭守镇18的高校招标案例数据：高校为了解决师生需求，准备发行一个校园软件，经过前期调研和筛选，最后从五家软件公司中优选一家进行合作.专家们从四个方面对公司进行评估，评估结果由勾股模糊数表示.运用本文方法与其他两种不同方法进行比较，排序结果如表 3所示，三种方法的贴近相似度柱状图如图 4所示.由表 3和图 4可知，本文方法与彭守镇18的方法排序结果一致，与 Wei and Wei17的结果略有不同，但三种方法的排序结果大体一致，排名第一的都是A2，差异主要是A4和A5.一方面，根据评估信息可知，专家们对软件公司A4的评价在不同指标下均高于A5；另一方面，Wei and Wei17在决策表 2三种方法对投资决策数据6,12的排序结果Table 2 Sorting results for decision data6,12 by three methods方法Yager6的模糊函数法李德清等12的 topsis方法本文的方法排序结果A3 A2 A5 A4 A1A3 A5 A2 A4 A1A3 A5 A2 A4 A1图 3三种方法对投资决策数据6,12得到的贴近相似度比较Fig.3 Close similarity for investment decision data6,12 by three methods表 3三种方法对高校招标案例数据17-18的排序结果Table 3 Sorting results for university bidding case data17-18 by three methods方法Wei and Wei17的余弦勾股函数法彭守镇18的勾股模糊熵方法本文的方法排序结果2 5 4 3 12 4 5 3 12 4 5 3 1 40第 1期蔡香香等：一种结合勾股模糊相似度的多属性决策方法过程中只计算了勾股模糊集三个参数的最大差异性，可能导致信息丢失.比较两组实验的排序结果可知，采用不同的排序方法得出的排序结果略有不同.本文提出的方法与其他方法的排序结果大体一致，但本文方法在融合勾股模糊集三个元素参数关系的基础上，结合了灰色关联分析方法的优势来进行多属性决策，因此本文提出的方法更贴近实际的决策背景，更可靠，其决策结果也更有客观性.另外，本文提出的方法具有普遍适用性，只需导入评估数据，运行程序即可得出灰色关联相似度，避免了人工计算过程中的错误.4 结论 本文整合了勾股模糊集和灰色关联分析理论在不确定性、不精确性以及模糊性信息处理上的优势，从新的角度研究了勾股模糊数间的距离和相似度，提出一种新的多属性决策方法.最后，通过一个算例和实验对比分析，证明了本文方法的有效性.今后的研究工作拟将本文方法应用到更复杂的场景的多属性决策中，例如在勾股模糊背景且属性权重未知的情况下与多粒度粗糙集等结合来确定属性权重.参考文献1彭定洪，杨扬.毕达哥拉斯模糊 Heronian 算子的多属性决策方法.计算机应用研究，2020，37(1)：153-157.(Peng D H，Yang Y.Multi attribute decision making method for Pythagorean fuzzy Heronian operators.Application Research of Computers，2020，37(1)：153-157.)2Liu Y T，Sun Z W，Liang H M，et al.Ranking range model in multiple attribute decision making：A comparison of selected methods.Computers&Industrial Engineering，2021(155)：107180.3Zadeh L A.Fuzzy sets.Information and Control，1965，8(3)：338-353.4Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets.Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1)：87-96.5Yager R R.Pythagorean fuzzy subsetsProceedings of 2013 Joint IFSA World Congress and NAFIPS Annual Meeting.Edmonton，Canada：IEEE，2013：57-61.6Yager R R.Pythagorean membership grades in multicriteria decision making.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22(4)：958-965.7Yager R R，Abbasov 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Decision，2017，32(10)：1817-1823.)13 Liang D C，Xu Z S，Liu D，et al.Method for threeway decisions using ideal TOPSIS solutions at 图 4三种方法对高校招标案例数据17-18得到的贴近相似度比较Fig.4 Close similarity for university bidding case data17-18 by three methods 41南京大学学报（自然科学）第 59 卷pythagorean fuzzy information.Information Sciences，2018（435）：282-295.14 Hatzimichailidis A G，Papakostas G A，Kaburlasos V G.A novel distance measure of intuitionistic fuzzy sets and its application to pattern recognition problems.International Journal of Intelligent Systems，2012，27(4)：396-409.15 胡平，秦克云.基于模糊等价的毕达哥拉斯模糊集相似度构造方法.计算机科学，2021，48(1)：152-156.(Hu P，Qin K Y.Similarity construction method for pythagorean fuzzy set based on fuzzy equivalence.Computer Science，2021，48(1)：152-156.)16 Li H M，Su L M，Cao Y C，et al.A pythagorean fuzzy topsis method based on similarity measure and its application to project delivery system selection.Journal of Intelligent&Fuzzy Systems，2019，37(5)：7059-7071.17 Wei G W，Wei Y.Similarity measures of pythagorean 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