形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性_卢美华.pdf

收稿日期：基金项目：国家社会科学基金（）和江西省文化科学规划课题（）资助项目作者简介：卢美华（），女，江西都昌人，副教授，主要从事决策理论、模糊数学等研究：卢美华，高晓波 形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性 江西师范大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：文章编号：（）形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性卢美华，高晓波（江西科技学院理科部，江西 南昌；江西农业大学计算机与信息工程学院，江西 南昌）摘要：该文采用集映射刻画偏好序，并采用拓扑交运算刻画标度偏好序的共识、一致性等概念，以及刻画其基本特征 在序理论的广阔体系上，聚焦于偏好序构造的基本体系，即共识运算存在性、偏好序完全性、拓扑交严格性特征、偏好序分解的拓扑交，并获得了基本结论，在基础层面上为序拓扑理论及其构造性应用提供了逻辑支撑 同时，严格采用拓扑交以体系化编撰偏好序的重要方面，将为偏好序的“一致性研究”后续拓扑加载提供广阔的空间关键词：无约束运算；择优映射；共识形式运算中图分类号：文献标志码：引言中国拓扑学自身发展尤有特点，甚至可以说，拓扑学在中国的发展达到了一种自为的状态 拓扑在技术特征上粗糙性和可精细性能够灵活协调，从而在社会科学理论构造中具有十分突出的作用序拓扑的发展已经具有体系化成果 事实上，正是由于交叉发展的需要，所以序拓扑受到了多个国家自然科学基金项目的支持 序拓扑空间能超越一般度量并更适用于弱性空间，序拓扑空间在选择理论中的基础性地位也更为突出 序方法在决策理论甚至物理社会理论、结构社会理论中都有广泛的应用 当然，在决策理论中的一些基本概念正是运用序方法才得以开拓 如理性是决策理论的基础，运用序方法给出了有限理性的构造方式另外，在结构上的序拓扑性质显然独立于其刻画方式 但是，序的结构性拓扑加载却因序刻画方式的不同而产生不同的便利性，因此序刻画方式在决策理论约束公理的配置中甚为重要 文献表明：群决策共识和一致性的研究同样在系列国家自然科学基金的资助下获得了深度研究，但一致性公理化有待于进一步推进 然而，若引入集值映射来刻画序，则一致性可表现为某种无条件运算，序的集映射刻画的便利性十分明显，后续约束公理的加载更灵活广阔 当然，由于序拓扑的性质在结构上显然独立于刻画方式，所以其共识、一致性未必存在，这将在运算上有所表现，即表现为全局交空、定点交空，进而一致性（共识运算）失效 即使这样，交运算为形式刻画一致性构造了一个普适性框架，这将给出一致性研究的一种新路径 当然，一致性是美国国家工程院院士 于 年从权重比例的相容性提出的；该“一致性”概念、一致性度量在层次分析法和统计决策中应用最为广泛，但最初的目的是从群决策方向上解决社会选择的 不可能问题 从而，融合序拓扑和决策具有重要的理论和实践意义本文采用集映射来刻画偏好序，基于标度空间考察标度偏好序的共识运算、一致性运算的拓扑交形式刻画；拓扑交是一种无条件运算，从而能形成在基底层面上的结论 在序理论的广阔体系上，本文聚焦于偏好序构造的基本体系，即共识运算存在性、偏好序完全性、严格性拓扑交特征、偏好序分解的拓扑交，并获得了基本结论，为序拓扑理论及其构造性应第 卷 第 期 江西师范大学学报（自然科学版）年 月 （）用在基底层面上形成了逻辑支撑 同时，严格采用拓扑交以体系化编撰偏好序的重要方法，将为偏好序的“一致性研究”后续拓扑加载提供广阔的空间 当然，本文所言及的共识和一致性是同一个概念，仅仅是要因袭不同文献而同时采用 基本概念和集序框架设（，）中“”关系满足传递性，称“”为偏序；一般地，当（，）中传递性关系“”还满足自反性时，可记：为择优映射，其中（）另外，传递自反性偏序集（，）可以分解，在（，）中记“且 ”，记“且 ”显然（，）也是偏序集，是（，）严格化，由此可导出严格择优 当偏序集（，）中偏序满足传递性、非自反性时，称之为严格偏序 记：为（），称之为严格择优映射，也称之为 导出的严格择优映射 另外，可定义“”“”，“”“”等，其含义是能自明的 再者，在仅仅满足传递性的偏好集（，）中，偏好关系不是完全的；但一些完全性偏好集（，）集结后会部分丧失“”的完全性，不过依然保持上界关系，这就是偏好格虽然后续“一致性”概念以数值测算广泛应用于量化决策理论和实践之中，但 最初却是通过“解决其群体基础偏好的相容性和一致性”来解决 不可能性问题 徐玖平等系列研究提出了各种复杂偏好信息的表征与处理策略，并且在一定程度上突破了共识（一致性）成本和共识（一致性）决策行为过程难以刻画的瓶颈，吴志彬从多种结构提出了“共识（一致性）”测度 但是，这些研究特别是文献 的各种结构下“共识（一致性）”需要纳入统一框架，并且这本身也在寻求某种共识（一致性）显然，从无条件运算上构造界定“一致性”的框架将具有最广泛的容纳性为此，通过集映射刻画偏好序并用集值交运算刻画一致性、共识就十分便利，这是一个新框架，不妨称之为集序框架 当然，集映射刻画偏好序和集值交未必能达到数值测算一致性，但若增加拓扑结构则可以达到 另外，无论是在何种映射空间上定义度量，或者加载拓扑，虽然可以测算“映射对”之间的差异，但均无法测算“映射族”上的差异，而集映射刻画偏好序和集值交在强拓扑结构下测算“映射族差异性”却十分便利 因此，集映射序和集值交在共识测度上比在度量测度上更具适应性刻画集序框架，可知该框架具有普适性、可精细性、一致性 参照文献 的方式，设 为备择物（）集，对于其中决策群体，可简化为标度性集 ，对每个 ，在 中装载偏好序记为（，），并以集映射：刻画择优映射，其中（）同时，导出的严格择优映射为，其中（）基于偏好序组合（，）形成（，），为此，按照偏好序的传递性、自反性可直接定义如下问题空间定义对于备择物集 ，、标度集 ，及每个 ，称集值映射：为择优映射，若 ，则 （），且（），于是（）（）同时，称 ：为择优映射 为择优映射空间，被简称为择优空间 对 ，为择优空间，则称 为 标度择优空间 称：为共识映射，（，），其中：为（）（）显然，共识映射是一种社会选择函数，若：刻画了某个偏好，则共识映射就集结了偏好更一般地，共识映射结合约束公理还解决了从个体偏好到群体偏好的可集结问题 当然，：是非空的；不过，共识映射未受任何规范约束；再者，在集序上也可以加载约束公理，在强约束公理下，如何保障：的非空性是公理配置机制的核心，也是协调规则的关键之处 为后续方便，记集序框架为（，）主要结果在集值映射刻画偏好中和在以共识映射确定标度集序的共识中，并没有施加规范约束公理，共识运算也是粗糙的，甚至不能保证共识存在 当然，无论是按照社会选择理论加载规范约束公理，还是按文献 测算共识，集序框架都是普适的，且共识存在也均是弱性条件的 另外，通过共识运算及其强弱化过程可以刻画框架（，）的整体特征 共识运算存在性定理在（，）中，共识运算 存在第 期卢美华，等：形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性且是非空的 若（，）恰为恒等映射，则（，）（）（），即共识运算是冗余的证 在（，）中，对每一 ，在 中装载偏好序为：，其必然满足 有 （）共识映射：为（，），其中（）（），那么，（），显然有（），即（）从而 有 （），这保证了共识映射在（，）中的非空性 从而，要证 存在且非空，即证明 为 证 明 ，任 取 （），则（）从而对于每个 ，（），且，按照择优映射空间定义，必有（）（）因此对于必有（）（）由（，）确定（）（），也就是（）（）（）（）综上可知，有 （），且（），则（）（），即证明了 于是，本定理余下部分只需证明当（，）为恒等映射时运算的冗余性，冗余性除去单点分解性外就是（，）（）（）显然，当（，）为恒等映射时，均有（）而，按择优映射空间定义，均有 （），从而 （），（）（），即证明了当（，）为恒等映射时共识运算的冗余性定理 得证注 定理 表明：集值映射刻画偏好序，对于标度集上的偏好序可以做集值映射交运算，这一运算是无条件的，从而具有广泛适应性 这也说明标度偏好序集值映射交运算直接就完成了偏好集结 当然，这一交运算在粗偏好上总可进行集结，但可能是冗余性集结 若对标度偏好序进行严格化，则这一交运算未必能真实实现 一般地，在群决策中，协调个体偏好加总的规范原则形式化为约束公理，这就是相当于将：施加公理约束，某些情况需要重构、个空间 另外，若在共识映射（，）集结后 为恒等映射，则其中的集结是冗余的 本质上，考虑在各个 严格化的 上偏好集结更具有实质意义另外，若序集（，）满足完全性、传递性、自反性，则其：为择优映射必满足、，必有（）（）若在中每个标度偏好序 都是完全的，则在每个，经过适当重排为，后，可保证标度 有（）（）（），但（）、（）、（）却未必有包含链 不过，严格序在交运算后仍然可以判断当任何 个（）与（）交不空时要么为包含关系（即（）（）或（）（），要么集合相等关系（）（）为此，定义 ：为完全偏好序的择优映射 显然，为一般择优空间的子集，称 为全序择优空间 对于 ，若为全序择优空间，则称 为 标度全序择优空间 但是，把共识映射限制在 标度全序择优空间 上，其映像未必是在全序择优空间 中，从而在 上的共识运算未必是内射的，故仍然为：标度全序择优空间的框架为（，），并且在此框架中 仍保留着偏好序的自反性，从而有如下推论成立推论 当 标度全序择优空间的框架为（，）时，共识运算 存在且是非空的 完全性、严格择优特征在考察完全偏好序中，在全序择优空间上共识运算仍然能存在且非空，毕竟全序择优空间是择优空间的子集 但是，在严格偏好序构造的择优空间上，共识运算的非空存在性并不直接得到保证，毕竟严格偏好序是一般偏好序的分解而不是分类 考察在严格偏好序上共识运算特性，需要考察严格择优特征，需要在（，）中严格化每个 为，即为 导出的严格择优映射；为此，在（，）的中分解出，其中 ，称：为传递非自反偏好序的择优映射 为严格择优空间，并形成框架（，）按照择优映射导出严格择优映射的逻辑，框架（，）显然是（，）的严格化定理 在（，）中，共识运算 非空，则 能保持偏好序的严格性，从而：；若江西师范大学学报（自然科学版）年 进一步限制到完全偏好序 中，其中 （，），是完全严格偏好序空间，仍然是：；同时，对于任何 个、，（）（）并 且（）（），则 处于偏好格中证 在（，）中 分解出，对于任何（，），证明共识运算 能保持偏好序的严格性需要考虑（，），：为（）（）一方面，在任何一个（）中，有 （），从而必有（），即（），：满足非自反性，共识运算 能保持偏好序的严格性另一方面，显然可证明：满足传递性 任取（），则（）于是，对于每个，（），且 ，按严格择优映射空间 定义，必有（）（）从而对于 有（）（）由（，）确 定（）（），也 就 是（）（）（）（）这即证明：满足传递性 因此，有 ，即证明：共识映射在（，）中为：，并在（，）中为：那么，在一系列的分类限制后，限制 为，仍然有：并且，显然有反例可证明：并不一定成立 如部分孔多塞循环的集结即可表明：不能成立为证明当（）（）并且（）（）时 处于偏好格中，虽然在标度集 ，中，并非是数值标度，但对的标度进行数值排序能提供证明的方便 由于（）（），即（）（）（）（），所以（）（），从而必存在某个 使得（）（），为证明方便可对标度集 进行标度重排，并保证此处 处于数字标度的 另外，由于（）（），所以（）（）那么，依据标度进行（）（）既然每个 是完全严格偏好序空间，（）（），则（）（）、（）（）、（）（）者必居其一；并且由于（）（）即（）（）与（）（）同时成立，所以为方便总可以把（）（）归类到（）（）之中 并且在保证处于数字标度的重排标度集过程中，总可以保持（）（）的标度 是从 依次后继到，并且（）（）的标度 是从 依次后继到，并且在 依次后继到 的标度下为（）（）这里（）（）和（）（）将标度集划分 其中可能并不出现从 依次后继到，从而（）（）的标度直接从 依次后继到，并且在 依次后继到 的标度下为（）（）其中也可能并不出现（）（），而是（）（）的标度 是从 依次后继到，且在 依次后继到 的标度下为（）（）综合以上所有情况，（）（）以及具有传递性的证明保持了集结后偏好序的上界性，由此 处于偏好格中注 定理 的证明过程是基于共识运算 具有非空交的条件，这一条件在无限连续备择物集条件下是平凡的，但有限离散备择物集的 却未必能无条件地存在非空交 按文献 考察的公理，局部共识运算能存在非空交，从而整体共识运算能存在非空交，但在 公理中从局部到整体的机制还未厘清 关于无限连续备择物构造，考虑齐齐尼尔斯基的连续性备择物空间即可，胡卫群确实也肯定了连续性备择物空间的现实性 而戈登塔洛克在美国军费预算方案表决局势的研究中已经提炼了无限连续备择物的实例注 定理 表明：若交运算在严格偏好序集上或者在完全偏好序集上构造逐点构造共识，则在集结方向上必然有格序偏好，这说明标度偏好的一些特征并不能在集结中得到保持 在完全性、严格偏好序的集结中，标度集 的调整、划分形成标度分类第 期卢美华，等：形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性说明分类性的交运算具有更好的一致性，文献中的格序上、下界的运算能通过“分类一致性”指导化解这里的集结一致性 分解构造特征完全性偏好序是一般偏好关系集（，）的加强，为全序择优空间，则 为一般择优空间的子集，并且有 ，即组合全序择优空间也是组合择优空间的子集 但是，严格择优空间并不是择优空间 的子集，从而组合严格择优空间也不是组合择优空间 的子集 毕竟，和 都给予了“”“”分解 在分解的严格择优空间上共识映射已经获得了初步结果，如下分析作为分解的“”的特征；同时，对“”的特征分析仍然采用择优映射运算在框架（，）中再次考虑：，记（）（），并记（）（）（），称之为 导出的等价映射 由此，对于（，）中任何一个 可作（）（）（），在标度空间 ，下的（）可形成（，）显然，在（，）上可以施加共识映射由此获得（）（），即（，）定理 在（，）中任何 导出的 都可通过最小非空映像集交对 作划分，并且 也对 作了划分，并且 形成划分是每一个形成划分的加细证 为证明定理，先做一些回顾 按定义（）（），（）（）（），从而满足（），即在一般形式上，导出的映射 是 的集值映射 于是，对 中任何的映射，其导出的 都为 的集值映射 定理 的结论只需在某个固定的 上考察，在 上成立的结论必然在的其他任何剖面上成立，在 一般化空间上也成立要证明通过最小非空映像集交对备择物集作划分，即要证明备择物集 可以划分为形式（）（）（），并且（）（）（）是该形式下的最小非空子集；为此，可考虑所有（）（）（）形式的集合数，并由于该形式由 的子集，标定，所以该形式的 个子集必然穷尽了所有的“映像集交”，其中 为 的范数 为区别空集形式，记 的空子集为（），显然 的空子集（）的形式交为空，即（）（）故（）（）交形式可排除在“非空映像集交”之外 再考虑 的任何单元子集 的映像集交（）（），如下可以证明（）必然非空，但未必是最小非空映像集交，而又可以通过加载映像集交趋小化 不过，后续证明过程将表明这一趋小化仅仅是形式趋小化 另外，在标度 对应的某个 已经形成的划分下，另一个标度 对应的某个进行开加细确实会形成实质性加细为此，先证明（）非空，然后再证明（）可以通过加载映像集交趋小化 注意到（）（）的事实，再注意到（）（）（），于是可分别考察（）、（）很明显，按照择优空间 的定义，显然有（），同时按（）（）有 （）从而有 （）（），即（）从而（）（）非空再证明（）可以通过加载映像集交趋小化 事实上，对于任何不同于的，由以上证明过程可知 （）现在可分 种情况研究（）（）第 种情况，若（）（），则（）（）排除在映像集交非空之外，从而无需考察 第 种情况，若（）（），则可证明（）（）（）事实上，中任何备择物，只要 （），即可证明 （），从而 （）（）现证（）必有（）首先拆解（），即 （）（），即 （）且（），后续将组合这些条件其次，考虑条件（）（），总可取某个 （）（）；显然有 （），即（）（），有 （）且 江西师范大学学报（自然科学版）年（），并且同样有（）且（）重新组合各式，考察一个组合 （）及（）形 成 条 件，则 （）获 得 （），从而有 （）及 （）同时成立，由 定义即可得 （）结合 （）及拆解获得的条件（）由定义可得 （）（），从而得到 （）再考察另一个组合（）及（）形成条件，由（）获得（），从而有 （）及 （）同时成立，由 定义可得（），即（）结合（）以及拆解获得的条件（），由（）及 （）同时获得 （）及 （），由 定义可得 （）（）这就说明（），也就说明 （）再结合上一个组合获得的 （），即有 （）及 （），（）（），也就是 （）综合以上条件拆解和条件组合所得结论，可以判断“（）必有 （）”获证 并立即证明了判断“若（）（），则（）（）（）”成立；同时判断“若（）（），则（）（）”成立 同时，基于以上结论，在（）（）条件下进一步施加拓扑交；也就是说，若对某个，（）（）（），作（）（）（），则仍然只有种情况：（）（）（），或者（）（）（）在（）（）（）下，立即可得（）（）（）（）（）（）综上所述，若在备择物集 中任何备择物 都有 （），则（）（）为最小非空映像集交，或者（）（）（）是最小非空映像集交，但任何形式都包含 从而备择物集 必能用最小非空映像集交形成的划分表示 至此，定理 结论基本已证，余下待证：“形成划分是每一个 形成划分的加细”而这只需在 形成划分的每个子集上考察某个 再形成划分即可，必然是加细性方向 从而，定理 得证依据定理 的证明，若深入考虑某个 以拓扑交对备择物集 作划分，则在个“映像集交”形式中，除去（）（）及（）（）形式交以外，其他 个“映像集交”除去“映像集交空”外，最小非空映像交就是非空交：（）（）（）（）（）（）从而有如下推论推论 在（，）中，当任何 导出的 通过最小非空映像集交对 作划分时，只可能是 种情况，即某个（）是单点集，或者（），则（）（）（）（）（）（）推论 即为文献 中的重要定理，这也说明拓扑交的适用广度注 显然，在定理 中的（）表达了无差异偏好，（，）可表达无差异偏好组合，全体无差异偏好形成单点集或者非单点集，这 类集合一起构成了备择物集 的划分注 这里等价性通过交运算来构造；备择物集能通过任何 个择优映射做交运算能形成“最小非空映像集交”本文全部是用基本的交运算形成构造性分析，虽然通过分解形成“”“”，“”“”等关系对相关定理进行证明更为简便，但是，在形式公理化体系下相关结论要依据基本公理形成定理方式予以体系化编撰 而本文所有概念、判断、定理都落到交运算上予以刻画，能形成更为严密的公理编撰体系 讨论文献指出：在国家自然科学基金的资助下，群决策共识和一致性的研究同样在系列国家自然科学基金中获得了深度研究，但一致性、共识的公理化刻画有待于进一步推进 不过，若引入集值映射来刻画序，则一致性可表现为一种无条件运算，序的集映射刻画的优势就十分明显，后续约束公理的加载是广阔的 同时，若回到基本的拓扑交运算予以构造共识、一致性等概念，则在公理系统的系统编撰中结构化逻辑是严格的和层次化的 当然，采用拓扑交形成的编撰体系逻辑严格，层次清晰；事实上，拓扑交是一种无条件运算，本文诸结论基本涵盖了偏好序构造的基本体系，为序拓扑理论及其构造性应用在基底层面上形成了逻辑支撑，但也存在些许缺陷，即全第 期卢美华，等：形式无约束下偏好集映射、拓扑交和一致性局交空、定点交空，一致性（共识）在运算层面上失效 参考文献 陈克胜 中国拓扑学家谱系与学术传统 自然辩证法研究，（）：王则柯，左再思，李志强 经济学拓扑方法 北京：北京大学出版社，徐晓泉 序与拓扑 北京：科学出版社，师维学，高卯珠，侯吉成，等 序拓扑空间和广义度量空间若干问题的研究 南京：南京大学，俞建，贾文生 有限理性研究的博弈论模型 中国科学：数学，（）：徐玖平，董玉成，吴志彬 复杂群决策共识一致性理论与方法 成都：四川大学，：，（）：吴志彬 群体共识决策理论与方法 北京：科学出版社，肖莉娜，卢美华 偏好、强序刻画和社会选择形式空间等价 江西师范大学学报（自然科学版），（）：高晓波，卢美华 社会选择函数集结中的对影判别和性质 南昌大学学报（理科版），（）：，（）：胡卫群 选举几何学 北京：科学出版社，戈登塔洛克 论投票 成都：西南财经大学出版社，郭春香 不确定格序决策方法 成都：西南交通大学出版社，（）：，（，；，）：，：；（责任编辑：曾剑锋）江西师范大学学报（自然科学版）年