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全国流行的艾滋病分析
摘要
本文全面的考虑了那些患艾滋病最严重的国家。利用短期的阻滞微分方程模型，建立了可控的生命期望值，在数值上定义了各个国家的严重程度。最后得到结论：艾滋病情况最严重的国家是：博茨瓦纳、泰国、汤加、乌克兰、巴哈马群岛、圭亚那(拉丁美洲)。
本文运用了通用的计算机模拟方式，通过建立微分方程模型分析了那些艾滋病情况最严重的国家来直接处理不同人群的艾滋病情况。
治疗分析包括 2055年国际援助估算总量，对治疗效果的预测，研发出预防艾滋病疫苗的可能性。同时，本文还考虑了药物所带来的副作用。
本文最后提出了一系列如何最优分配资源的建议，即在短期艾滋病的项目研究以及疫苗的发展上投入较高的资金，同时要较好的确定维持药物有效条件下的全球覆盖率。
严重程度的定义
方法
严重性是由什么导致的？最明显的答案就是一个国家庞大的艾滋病感染人数，或者说是艾滋病感染人群在所有人口中所占的较高比例，但是，这并不是一个完整的分析。存在一种严重的情况便意味着要寻找解决的方案。基于这点，对艾滋病感染患者，我们能做的就只有是治疗。而有着高治疗率的国家能为被感染的人群做很多，所以这些国家并不能被认为是情况最严重的。严重性还包括行动的迫切性，因为艾滋病病毒在短期内得不到抑制也是十分有害的，我们相信对艾滋病患者最有效的方法是测定预测出每年由于感染而艾滋病而失去生命的增长人数。
必要的假设
l 接受治疗的患者都是100%的坚持治疗——要么接受治疗，要么就不接受，没有所谓的中间状态。
l 在未来5年内，各方面因素没有受到干涉。
l 接受治疗的比例是一个定值。
l 在本文所做的短期预测的这段时间内，没有其他的能引起人口重大死亡的事件发生，如自然灾害，战争，全国流行性疾病等一些能够对人口产生重大影响的事件。
l People-year ：一个人一年的时间，所有人口一年的时间等于所有个人一年时间的总和。
l 为了预测在在未来5年内没有其他因素影响下艾滋病对人口的直接影响程度，本文定义了艾滋病的严重性程度：
绝对严重：在未来5年内，因为感染艾滋病病毒而失去的总的寿命值
相对严重：在未来5年内，每个人因为感染艾滋病病毒而失去的平均寿命值。

扩展
我们用一个数学表达式来反映各因素对严重程度的影响。相对严重程度可表示为：

其中：
：受感染，没接受治疗所减少的平均生命期望，
：受感染，接受治疗所减少的平均生命期望，
：当前没接受治疗的人数除以当前总人口，
：在未来5年内，感染后没接受治疗的人数除以当前总人数，
：在未来5年内，感染后接受治疗的人数除以当前总人数，
绝对危险程度表示为：

其中表量示这个国家的人口数。
由此可以推断，如果某个国家的生命期望原本低，从而把它看成“严重程度小”的国家，这显然是不合理的。最好的做法是应尽量使花费在病毒上的资金比花费在其他死亡因素上的要少。
模型：调整生命期望
方法
为了确定病毒对人口的影响，我们假设本身病毒不存在进而确定生命期望。然后我们可以确定生命期望是关于一个人出生时间的函数。
假设
l 生命期望在未来5年内不会有巨大的变化，所以可以假设每5年年龄段的年龄是相同的。
l 由于1950年之前的生命期望数据无法查找，所以可以假设出生在1950年之前的人的生命期望就等于出生在1950的人的生命期望。
l 假设不发生迁入和迁出的情况。
扩展
利用2005年的人口数据，乘以每个年龄段对应出生时间的人口寿命期望，得到了总人口寿命值，再除以未来5年后的人口总数就得到了自然时间控制的人口寿命期望。
进一步，我们可以确定患者的寿命期望。在世界范围内，我们预计感染艾滋病的患者的平均年龄是23岁。本文假设采用艾滋病治疗的患者会持续接受治疗。在发达国家，感染艾滋病但未接受治疗的患者寿命可延长12年，也就是说该种患者的平均年龄为（23+12=35）35岁。少部分接受艾滋病治疗的患者会短时间内死去；但是这是在10年前艾滋病治疗不是很流行的条件下发生的。本文预计发达国家中接受艾滋病治疗的艾滋病患者在接受治疗后寿命会延长20年，也就是说该种患者的平均年龄为（23+20=43）43岁。通过分析，本文给出了艾滋病患者的平均寿命期望公式：

是当前接受艾滋病治疗的患者所占总人口的比例。上述这个公式引进了治疗和未治疗患者的生命期望，本文用平均年龄乘以该年龄段所对应的人口比例求和后除以70，（本文假定的发达国家的平均年龄为70岁）来描述寿命期望的不同。
为了得到一个艾滋病调控寿命期望的表达式，本文采用了更进一步的方法。利用总人口的总寿命值、已知的艾滋病患者数目和艾滋病患者的平均寿命期望，得到了艾滋病患者的寿命总数。如果这些人未感染艾滋病，则其平均寿命会使总体平均寿命增加。因此，把感染了艾滋病的患者由于提前死亡所减少的寿命的数量与总人口寿命的随机数量相加，就得到了一个艾滋病调节的人口寿命期望。艾滋病调节的人口寿命期望公式为：

预期结果
如果我们建立的模型合理，则会得出下述一些结果：
l 调节艾滋病的寿命期望总比未调节的寿命期望大。
l 调节艾滋病的寿命期望与未调节艾滋病的寿命期望的差值与感染艾滋病的患者的数量成比例。
在采用了-调控之后，没有任何国家出现生命期望减少的现象；并且用-调控后的生命期望与未经过-调控的生命期望的差值除以感染的人数比例，可以很容易的验证这个结果。
模型B：阻滞增长模型
方法
为了确定本文定义的严重性，我们必须预计未来五年内感染/的病人（包括治疗的和没有治疗的）数量。阻滞增长模型很容易预计这一数量，并且其中包含一个人口数量的最大值。
假设
l 在未来五年内出生率与死亡率基本保持不变。
l 在12个代表地区内的每一个地区中感染/的概率是固定的，既使实际中/病人的增长率有微小的变化。十二个国家包括：非洲、东南亚/中亚、北/东亚、大洋洲、巴西、南美洲排除巴西、加拿大、美国、墨西哥、拉丁美洲/美国中部、加勒比海、以及欧洲。
扩展
阻滞增长模型依据目前的人口规模描述了人口的增长率，而且其中有一个承载量也就是感染艾滋病病人的最大承载量。微分方程的基本形式是：

其中：
是感染/的人数，
是最大的人口增长率，
是感染艾滋病病人的最大承载量。

随着人数不断的接近最大承载量，它的最大人口增长率就会变得越来越小，解上述微分方程可以得到：

其中是由最初条件决定的常数。我们必须采用过去5年到20年的实际病人数量来确定和，我们改变一下微分方程的形式得到：

可以得出：，。然后我们可以画出连续曲线图

将实际数据采用最小二乘法进行拟和，可以精确得到斜率和截距，我们可以得到每一点的切线斜率。
综合两个模型进行分析
根据-调控后的生命期望我们可以确定每一个国家的和的值：

依据阻滞增长模型求得每个地区的感染人数，我们可以推断出未来五年内出现的病人数量。然后我们作进一步的假设。
假设补充
l 在未来五年内，接受治疗的病人比例将保持不变。
l 每个国家各个地区内的/的人数比例为将保持不变。

最后，根据我们所给的病人数据，可以得到：

结论
我们确定了108个国家（所有需要的数据在这些国家都是可用的）的绝对严重性和相对严重性。然后使用相对严重性来挑选出最严重的国家，这些国家是：博茨瓦纳，泰国，汤加，乌克兰，巴哈马群岛和圭亚那(拉丁美洲)。全球范围内15个最严重的地区中有十四个在非洲。
尽管发达国家感染/的情况相对较轻，但是，使用绝对严重性还是会带来误差。
增长率的确定
模型C：一个感染/病毒国家的仿真模拟
方法
我们想要一个更精确、更全面的模型来预测/病毒的长期变化行为。我们选择一个个体之间相互作用的离散型计算机模拟。这个模型能更好的处理复杂的人口流动群体，因为它的对象是具体的个人而不是人口数。这个模型的缺点是：用这种方式直接模拟一个国家全部的人口是不可行的。
假设
l 一个能够被模拟的完整的国家，是通过模拟这个疾病在一小部分典型群体中的传播过程（人口要求1000人）。

l 允许这个模拟在引入之前先运行十年，这是为了能够形成一个存在着的关系基础。
l 除了在出生之前或出生之时的感染情况，所有传播的途径都是通过两人交流（吸毒或性关系）而产生的。
l 一个人的自然死亡率是和年龄成正比的。
l 影响的繁殖有以下几个因素,它不包括一个人因其它原因而死亡的可能性，这只单独地取决于这个人是否有病毒。其它因素包括由于被病毒感染而不必考虑的时间。
l 人的性行为取决于搭档的数量、性爱的频率等，不管性取向如何，在本质上是一样的。唯一的不同是只有妇女可能是性的工作者，并且只有男人可能是性的工作者的客户。
l 女性的同性恋和两性人的人数可能被忽略。
l 随着年龄的增长，人的性格不能变，除非是在从婴儿长到二岁这个阶段和从孩子长到16岁成人这个阶段内改变。
l 只有成年人有性关系或者享受静脉注射毒品。
l 一个共享的注射器或性关系在遇到已经感染上病毒的人时就会自动地导致病毒感染。
扩展
关系
我们模拟疾病的传播所使用的基本方法是关系和事件，两个人之间的关系的发生是由于其中的一个人，但是另一个人也必须允许。一个事件的发生基于一种关系并且导致了病毒的传播，或是增加了病毒的种类，像一个关系和一个事件可能是由于其中一个人产生的，但另一个人也必须允许。不同的人会倾向参与不同种类的关系和事件，因此，可能会被分类到相关的人口统计组里。我们所用到的关系的种类包括性关系、母子关系和社会上通过静脉注射毒品的这种关系。
模型可行性
关系的形成是基于模型的可行性，根据他们的特点和存在的关系，为了特殊的关系需要，人们由于特殊的关系而被用于模型中，一个人通过选择合理可行的模型以及决定寻找的搭档来确定一种关系。该可行性模型采用了一个运算测试图保持数据结构有效性的数学结构模式，然而，如果任意选取方法，并且被选中的人可以接受或拒绝提供关系。甚至人们可以选择结束关系。

结果
一个加入了这种关系的人有这个数据的实际期望比率。接受一个事件或者在给定的条件内得到一个事件的机会是基于这个人是否达到了所给事件的条件限制点。
[编者注：针对机制药物的使用作者提供进一步的细节，例如母婴和性的关系，禁欲，一夫一妻，伤亡，以及卖淫的，我们必须予以忽略。]
出生率和死亡率
对每一个未孕成年妇女，一次意外性遇都有一个确定的概率导致怀孕（更年期的妇女不做考虑）。每次怀孕就意味着经过九个月的妊娠后就有一个新生儿的诞生，除去母亲意外死亡的情况。假设自然原因导致死亡的可能性直接和年龄成比例。另外，没有母亲的孩子（特别是婴儿）和母亲的可能死亡的概率是一样。当病毒出现时，为了使问题简单，假定未来的可能的死亡概率一直确定并保持不变；在一定程度上，病毒降低了一个人的“死亡抵抗力”。
资料和参数值
一个婴儿在妊娠期内感染病毒并且出生了的概率在15%到30%之间，在出生两年内由于母乳喂养而感染的概率又增加了10%到15%。本文取其概率的一半作为每年由于母乳喂养而感染病毒的概率。
人口统计数据主要来自中央情报局[2001]。
我们假定总人口中使用药物的人的比例和周围地区比例相等[联合国药物和犯罪局2005]。为了确定接受药物、开发药物和戒毒之间的比例关系，我们在了解典型地区药物滥用者的基础上做出合理假设。我们也运用这种方法来确定每年使用药物的最大数量和药物比例的关系[联合国药物和犯罪局2005]。
病毒的脆弱性参数直接取自-调控生命期望模型，它只是适用于-调控的生命期望和那些未经-调控的生命期望之间的比例关系。
我们从Francoeur et al[2004]和Mackay[2000]可以看出几乎所有有关两性参数的关系。
联系我们的假设，即一个人的死亡可能性直接和年龄成比例，我们需要解决基于生命期望建立的成比例的常数。死亡的可能性可以表示如下：

其中表示一个人在时刻活着的概率（从另一个标准来看，是在同一年出生的所有人在时间后依然活着的人数）。求解，我们得到：

从中我们可以得到出乎意料的结果（如果已经熟悉了这个人类年龄模型我们就不会出乎意料了）：概率正好是高斯分布的一半。
为了使这个等式与生命期望能够吻合，考虑到时间的微分值，本文设定代表死亡率，表达式表示在年龄时死亡的人的数量的微分值。因而，平均的死亡年龄或者说是生命的期望值是：

我们把它看作的函数进行完整的数值计算。[编者注：实际上，准确的值是]。根据我们了解的国家的其它数据计算出值，其结果等于生命的期望值。

结果和讨论
经过对50年人数的若干次累计计算，我们注意到几乎所有国家的病例在最开始的几年内急增，几年后速率就会逐渐减慢，这可能是由于假设每个感染者会导致病毒传播的结果；因为这个，会以很快的速度在最初的50年内通过关系在某个地区内快速传播。
另外，随着时间的发展，/感染人数开始接近一个稳定状态，或者影响携带能力。根据我们模型的结构，大多数成年人感染后会导致死亡；而只有一小部分比例的小孩感染病毒，而且其稳定状态值几乎是成年人群稳定状态的较高比例。
模型D：治疗流行病
方法
我们将在2005-2055年期间情况严重的国家和整个世界获得的援助基金可作为一个整体。然后我们给计算机模拟模型增加另外的参数，来确定由于抗艾滋病的疗法和预防疫苗等作用增加而产生的影响程度。进一步模拟，我们对和预防疫苗使用不同比例的援助基金，这样我们可以确定采用最好的方法来使用国家和世界的/基金。
假设
l 随时间变化，经济发展水平增长相对较为稳定。
l 用于治疗艾滋病的费用跟全球经济发展成正比。
l 接受治疗的病人始终坚持治疗。
l 等到科技发达的时候，疫苗将能够100%的预防病毒的传播。
寻求援助
2004年，全球范围内，由国外提供治疗艾滋病的费用达61千亿美元。[法国新闻社2004]。为了计算全球经济的增长以及人们对艾滋病意识的增强对艾滋病基金影响，本文建立了用于用艾滋病的外援资金的指数模型，根据当前的外援资金增长率，本文选择适当的增长率：

然后，本文逐个分析了六个形势严峻的国家的可用资金。发展中国家和不发达国家用于治疗艾滋病的资金85%来自国外，本国的资金只占15%[Martin 2003]。本文假设一个国家每年用于治疗艾滋病的资金占其GDP的0.0005%。博茨瓦纳，汤加，巴哈马和圭亚那符合85/15的规则（85%来自国外，本国资金只占15%）；而对于泰国和乌克兰这样较发达国家，85/15的比例显然不符合，为此本文又建了25/75的模型。至此，得到如下两个等式，其中是各个国家的GDP增长速率。

经预算，一个艾滋病人接受治疗一年的费用为1100美元，本文假定接受治疗的病人将不会终止的治疗，直到该病人死亡。在计算治疗费用的增长时，我们仍然采用指数增长模型，增长速率设为2%。一个国家能够治疗的病人最多等于所有的资金除以单个病人当前的治疗费用。
然而，究竟是什么影响了需要治疗的病人数量的增长？人们只要坚持治疗就会极大的抑制艾滋病病人数量的增长 [portor 2003]。也就是说，受到合理的治疗的病人几乎不可能将病毒传染给未感染的人。因此，在我们改进的计算机模拟中，这样就避免了任何接受治疗的病人将病毒传染给其他人的情况。与以前的模型相比，这样的变化可能会使得每年新增的病例的数量大幅度下降。从理论上来讲，如果所有的病例都能采用治疗，那么总有一天这样的病毒可以成功地从人体内清除。
在确定一种预防疫苗什么时候将会被研制开发出来时，我们假设研制基金来自世界各个地方的援助，并且这些基金的变化对何时能够研制出疫苗并没有太大的影响。因而，成功研制出一种免疫疫苗的可能性是时间的函数。多种资料表明一种疫苗是不可能在未来的10年里研制出来的，因此我们定义一种疫苗被研制成功满足的时间（年）关系为
其中
其中时间是被确定在年后的几年内，这个函数表明在未来的年里，一种疫苗被研制开发成功的可能性达到50%。

模型E：预防疫苗的分配
方法
我们采用阻滞增长模型来确定疫苗的研制速度。
假设
l 就像在2002年数据表中报道的那样，已接种疫苗人口的稳定比率等于婴儿和成人被感染病毒和破伤风病毒的各自比率。
l 稳定的比率在以后的50年里保持不变。
模型建立
我们让代表已接种的百分比，代表最初的增长率，代表已接种疫苗的百分比（最大值）。那么由阻滞增长模型可以得到：

我们从以前根据以往的条件确定的值。我们假设在一年之内免疫率将达到它的最大值10%，而且10年以后将要达到95%。由此得出

表1给出了艾滋病病情严重的国家的值。
表1 艾滋病病情严重的国家预防接种的百分比（最大值）
国家
成人
儿童
博茨瓦纳
87
49
泰国
97
90
汤加
90
93
乌克兰
99
37
巴哈马
86
1
圭亚那
91
1

模型F：抗药性和突变体
方法
最危险的状况之一是艾滋病病毒有很快的繁殖的能力，如果摄生法治疗不能消除组织中的病毒或者对该组织的病毒无能为力，那么较强的病毒还会继续存在组织中，久而久之会产生抗药性，药物会失效。
风湿病毒和艾滋病毒在一起很难治疗，病人必须定时吃药，每天都要治疗，要有足够的休息，因而我们不能完全期望于摄生法的治疗。
假设
l 假设所有的人完全接受并坚持治疗，没有病人因为心理、民族、精神问题而反对治疗。
l 不能保证病人在坚持完全治疗后都能痊愈。
l 假设一个人坚持治疗低于百分之九十就有百分之五的几率获得抗菌性。
l 如果一直坚持治疗的话，体内存在抗菌性的机率低于百分之九十。
l 在2055年之前，抗菌性不会被利用，这就是说只有一种抗菌性会存在于人体。
l 抗菌性能够通过预防接种得到，但必须逐步研制一种新的疫苗。
l 假设有效的抗菌性将抵抗的病毒区分出来，结果对身体和生命期望值的影响保持不变。
l 新接种的疫苗抗药性将取代体内原来存在的抗菌性即一个人不能同时携带两种抗体 。
模型的扩展
我们假设（没有参考数据）一个人一年中99%的时间将一直坚持治疗。
通过在主要模拟中得出一个新的参数，在模型中我们可以模拟每个坚持治疗病人的持久度。一个随机的第二参数决定一个持久度十分低的人（低于90%）是否可以导致抗药性产生。为此我们规定：只有接受三年以上治疗才有可能出现抗药性。一个人在未经过治疗就出现抗体的说法是不可能的，因为刚开始时病毒不会遭到抵抗。而这个规定可以使这种可能出现的结果偏差最小，之前运行过的计算机模拟，允许这种抗药性的出现。这种抗菌性不会受治疗或者接种疫苗的影响，因此体内产生抗药性的人将与感染且没有接受治疗的艾滋病病人表现相似。
给出的第二线和第三线药物非常昂贵，我们假设所有的病情严重国家都没有渠道得到这种药物。我们假设研制出一种抵抗抗体的疫苗的可能性为：

其中是找到无抗体的原始疫苗的年数，我们假设新疫苗与原始疫苗的费用是一致的。
模型D-F的讨论
假定以后50年内不会发生经济危机，世界经济可以应对的状况并且能够为艾滋病事业始终如一的提供数十亿美元。问题并不是关于有没有钱，而是应该怎样分配这些钱。
是一个有力的武器，它几乎可以完全防止未感染人群被感染。然而，抗体研究成果也是存在风险的。项目的实施必须非常强调保留项目的持久度，这是非常重要的。
预防性的疫苗的快速供应将延迟新病例的出现，并可以使艾滋病病情降低至一个可控制的水平。我们相信一种新的疫苗可能将在未来25-40年内研制成功。因此投入资源进行疫苗的研究与发展是非常重要的。
我们建议在接下来的近几年中分配大量的资金用于，以使病情严重地区的艾滋病蔓延情况得到控制，接下来将对近十年内的强势疫苗研发项目开始进行阶段定位调整。
结论
病情严重地区——博茨瓦纳，泰国，汤加，乌克兰，巴哈马群岛和圭亚那(拉丁美洲)——是全球控制病情蔓延的出发点。
国外援助应该集中在病情最严重的地区，不是集中在某个大陆，而是全世界范围内。治疗应该以大规模的治疗计划开始，并且重点在于维持100%的持久度。同时，也应该开始研发预防型疫苗的研究，在研制成功后，它可以快速分布于各国并且在十年内达到稳定的水平。
优点和缺点
模型的缺点：为了简化而对不确定因素假设。例如，将我们的模型应用于任何国家时，包括大多数成年人人口的病例在三年内快速增长——一种与以往行为不符合的特征。这种特征可能是由只要与感染者有过性行为或者共享过不洁的毒品注射针管都能被传染的假设造成的。
我们模型相应的优点是，可以相对比较容易的得出感染的概率参数。
我们的模型明显适用于抵制抗体进化的模拟，这个问题自然而然的把自己引向这样的离散模型。
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Vol.1:Analysis. 4 February 2006.
United Nations Population Prospects: The 2000 Revision Highlights(28 February 2001) 59. Reproducedat .
About the Authors
Tyler Huffman’09 is a Mathematics and Physics major from Burlington, NC. At Duke, he is a math tutor and coordinator of the Duke Math Meet, an annual high school high school math competition hosted by the Duke university Math Union. After graduating, he plans to pursue a Ph.D.in applied mathematics or related discipline.
Barry Wright Ⅲ’09 is a Mathematics and Physics major from Bel Air,MD. He aspires to be a professor researching in string theory. At Duke, He is a physics tutor and the social chair for the Society of Physics Students.
Charles Staats Ⅲ’08 is a Mathematics major and Computer Science researching in pure math Union and sings in the Duke Chapel Choir and in something Borrowed, Something Blue, a Christian a cappella group.