实验数据的误差分析与处理.docx

1实验数据的误差分析与处理
在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信 息，必须准确地进行测量。在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的 客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。因此，分析误差产生的原因，如何 采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须 了解和掌握的。
1.1测量误差的表示方法
由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般 用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差 别。
1.1.1绝对误差
绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。假设被测量的真 值为Ao,测量仪器的示值为X,则绝对误差为△X=X—Ao(1. 1. 1)
在某一时间及空间条件下，被测量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测 得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao,为 区别起见，将A称为被测量的实际值，则△X = X-A(1. 1.2)
在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值(即实际值)减去测量仪器的示值所 得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相 反，即
在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值(即实际值)减去测量仪器的示值所 得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相 反，即c= —q=A—X(1. 1.3)
利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A,即
在测量中，对实验数据进行记录时，并不是小数点后位数越多越精确，由于 误差的存在，所以测量值总是近似的。测量数据通常由“可靠数字”和“欠准数 字”两部分组成，两者合起来称有效数字。
例如：用一块量程50V的电压表(其最小刻度为每小格IV,如图所示)测 量电压时，指针指在34V和35V之间，则可读数为34.4V,其中数字“34”是准 确可靠的，而最后一位“4”是估计出来的不可靠数字，因此，该测量值应记为
(a)(b)
图1.4. 1有效数字的读取
有效数字位数越多，测量准确度越高。在图1.4. lb中(其电压表最小刻度为 每小格为0.1V),指针仍然指在34V和35V之间，但可读数应为“34.40”，是4 位有效数字，其准确度高于3位有效数字“34.4”。在图中，因为小数点 后面第一位就是估计出来的欠准数字，因此第二位就没有意义了，所以只能读作 “34.4”，不能记为“34.40”。在实验数据的记录中，一定要合理选择有效数字 的位数，使所取得的有效数字的位数与实际测量的准确度一致。
(2)有效数字的表示方法
在用有效数字记录实验数据时，应遵守以下表示形式：
① 记录测量数据时，只允许保留一位欠准数字。
② 在第一个非零数字前的“0”不是有效数字。例如：0. 034前面的两个 “0”不是有效数字，它的有效数字是后两位，即0.034是2位有效数字；30. 00的有效数字是4位，而30的有效数字是2位。必须注意末位的“0”不能随意增 减，它是由测量仪器的准确度来确定的。
③ 大数值与小数值要用幕的乘积形式来表示。例如：测得某电阻的阻值为35000Q,当有效数字为3位时，则应记为3. 50X10'。，或350X10©,不能记
为35000Q,因为35000表示该数据具有5位有效数字。
④ 当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规则舍去， 称为有效数字的修约。
⑤ 表示常数的数字可认为它的有效数字位数无限制，可按需要取任意位。 如常数丸、e、很等因子的有效数字的位数在计算中可视需要确定其效数字的位 数。
(3)有效数字的运算规则
当测量结果需要进行中间运算时，有效数字的取舍，原则上取决于参与运算 的各数中精度最差的那一个数的有效数字位数。一般应遵循以下规则：
① 加、减运算：在进行加、减运算时，参加运算的各数所保留的位数，一般 应与各数小数点后位数最少的数相同。
例如：13.6、0.056、1.666三个数相加，小数点后最少位数是一位(13.6), 所以应将其余两数修约到小数点后一位数，然后再相加，即13.6+0.1 + 1. 7=15.4
为了减小计算误差，也可在修约时多保留一位小数，计算之后再修约到规定 的位数，即13.6 + 0. 05+1.67 =15. 33^15. 3
② 乘除运算：在进行乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百分误 差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。
例如：0.12、1.057、23. 41三个数相乘，有效数字最少的是0.12,则0. 12X 1. 1X23=3. 03623.0
③ 乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。
例如：(15.4) 2=237.2；717 = 1. 64
④ 对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。
例如：ln230=5. 44
实验数据的读取与记录数字式仪表的读数与记录
一般情况下，从数字式仪表上可直接读出被测量的量值，读出值即可作为测 量结果予以记录而无需再经过换算。需注意的是，在使用数字式仪表时，若测量 过程中量程选择不当则会丢失有效数字，降低测量精度。例如：用数字电压表测 量1. 682V的电压，在不同的量程时显示值如表1.4. 1所示。
表1.4. 1数字式仪表的有效数字
游(V)
2
20
100
显示值(V)
1.682
01.68
001.6
有效数字位数
4
3
2
由此可见，在不同的量程时，测量值的有效数字位数不同，量程不当将损失 有效数字。在此例中选择“2V”的量程才是恰当的。实际测量时，一般是使被测 量值小于但接近于所选择的量程，而不可选择过大的量程。
(1) 指针式仪表的读数与记录
与数字式仪表不同，直接读取的指针式仪表的指示值一般不是被测量的测量 值，而要经过换算才可得到所需的测量结果，即测量值=读数(格)X仪表常数(Ca)(1.4. 1)
应注意的是，测量值的有效数字的位数应与读数的有效数字的位数一致。
① 读数：指针式仪表的指示值称为直接读数，简称为读数，它是指指针式 仪表的指针所指出的标尺值并用格数表示。如图1.4. 2所示的为某电压的均匀标 度尺有效数字读数示意图，图中指针的两次读数为18.6格和116. 0格，它们的 有效数字位数分别为3位和4位。测量时应先首先记录仪表的读数。

图指示仪表有效数字读数示意图
② 仪表常数:指针式仪表的标度尺每分格所代表的被测量的大小称为仪表 常数，也称为分格常数，用Ca表示，其计算式为Ca = Xm / OCm(1. 4. 2)
式中，Xm为选择的仪表量程；Olm为指针式仪表满刻度格数。
可以看出，对于同一仪表，选择的量程不同则仪表常数也不同。
例1.4. 1若图所示为某电压的标度尺，试求当选择仪表量程为30 V时指针所处位置对应的测量值。
解：指针在图1. 4. 2所不的①处时的读数Ki=18. 6格，指针在图1. 4. 2所75 的②处时的读数K2=116. 0格。
因为电压表的量程为30V,则分格常数为Ca=Um/am=30V/150div=0. 2V/ div
所以，指针在①处时的示值为Ui= KCa=18.6 divXO. 2V/ div=3. 72V
指针在②处时的示值为U2= K2Ca=l 1 6. OdivXO. 2V/ div=23. 20V
注意要保持测量值的有效数字位数与读数相同，因此也、艮有效数字的位数 分别为3位和4位。
(2) 波形的记录
在实验过程中，常用示波器观察电子线路中电信号的输入、输出波形。在记 录波形时要注意以下几点：
① 在坐标系上标示出合适的横坐标、纵坐标的单位及坐标原点。
② 在波形图上标示出能够显示图形变化趋势的关键点及相应的坐标。
③ 描绘示波器测试波形时，在波形图上应该正确反映测试波形之间的相位关 系。
④ 描绘示波器测试波形时，要注意正确反映波形与基线的相对位置(可参阅 第二章示波器注意事项)。
例如用双踪示波器观察TTL74LS00 "与非”门电路电压传输特性的变化波 形。记录其波形可得到图所示的电压传输特性曲线，其中对于波形的关键 点A、B、C、D,在记录波形时均要记录其坐标点。

图1.4.3 “与非”门电压传输特性曲线
实验数据的处理
实验测量所得到的测量值，在经过有效数字修约、运算处理后，有时仍看不 出实验规律或结果，因此必须对这些实验数据进行整理、计算和分析，才能从中 找出实验规律，得出结果。常用的实验数据处理法为列表法和图示法。
⑴列表法
列表法是记录实验数据最常用的方法，测量时将测量结果填写在一个经过设 计有一定对应关系的表格中，以便能清楚地从表格中得出各数据之间的简单关 系。例如表1. 4. 2所示的是某一电路输出端电压值与负载的对应关系，从表中可 见随着负载阻值的增大，其输出端电压值也增大，根据这几组数据我们可以做出 一个输出端电压关于负载变化的曲线。
表1. 4. 2输出端电压值与负载的对应关系
Rl/Q
0
100
200
300
500
1000
00
uL/v
0.01
2.00
4. 00
5.00
6. 00
7. 00
11.00
列表法的关键是表格中测试点的设计，选择的测试点必须能够准确地反映测 试量之间的关系，尤其不要遗漏一些关键测试点。例如上述表1.4. 2中选择的负 载电阻变化是均匀的，但负载R,=0及负载Rloo时这两点必须选择作为测试点，这 样才能比较精确地画出测试曲线。如果测试点描绘的曲线有转折区域，则在曲线 的拐点处附近要多选择几组测试点。例如表1. 4. 3是测试二极管正向伏安特性电 压与电流的关系，由于二极管的正向导通电压为0. 7伏左右，故在此处附近应多 选择几组测试点进行测量。
表二极管正向伏安特性电压与电流对应关系⑵图示法
U/V
0. 00
0. 63
0. 69
0.71
0. 74
0. 75
0. 79
0. 80
0.81
0. 82
I/mA
0. 00
0. 10
0. 30
0. 70
1.50
2. 30
11.0
13.0
20.0
33.0
图示法是指将测量数据用曲线表示的方法。 在分析两个（或多个）物理量 之间的关系时，用曲线表示它们之间的关系，往往比用数字、公式表示更形象和 直观。因此，测量结果常常要用曲线来表示。
在实际测量过程中，由于测量数据的离散性，如将测量点直接连接起来，所 得曲线将呈折线状，如图所示。但这样的曲线往往是错误的，我们应视情 况作出拟合曲线，使其成为一条光滑均匀的曲线，这个过程称为曲线的修匀，如

图所示。若测量数据点分散程度大时,
则应将相应的点取平均值后再绘制曲线如图1.4. 5所示。
图各数据点连成折线（错误的曲线绘制）图拟合后的实验数据曲线a U/V

a U/V
0123456 //mA

图实验数据点分散程度大时的曲线绘制
绘制曲线时要注意以下几点：
① 选择合适的坐标系。
② 在坐标系中，一般横坐标代表代表自变量，纵坐标代表因变量。
③ 在横、纵坐标轴的末段端要标明其所代表的物理量及其单位。
④ 要合理恰当地进行坐标分度。
(1. 1.4)
A=X+C
例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V,通过鉴定得出该电 压表修正值为一0. 01V,则被测电压的真值为A=l. 1+ (-0.01) =1.09V
修正值给出的方式可以是曲线、公式或数表。对于自动测验仪器，修正值则 预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是 实际值。
1. 1.2相对误差
测量不同大小的被测量时，绝对误差往往不能确切地反映出被测量的准确程 度。例如：设测一个大小为100V电压时，绝对误差为△Xi = +2V；测一个10V 电压时，绝对误差为虽然△Xi>Z\X2,可实际AX】只占被测量的2 %, 而却占被测量的5%。显然，后者的误差对测量结果的影响更大。因此，工 程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。
相对误差：用绝对误差与被测量的实际值A的比值的百分数来表示的相 对误差，记为A V
vA =——X100%(1. 1. 5)a A
引用误差
相对误差虽然可以说明测量结果的准确度，并衡量测量结果和被测量实际值 之间的差异程度，但还不足以用来评价指示仪表的准确度，为此引入了引用误差 的概念。
引用误差：用于表征仪表性能的好坏，其定义为绝对误差3X与仪器的满刻 度值Xm之比的百分数，即A Y
=——xlOO%(1. 1.6)
例1. 1用量程为300V的电压表测量实际电压为218V的电压时，电压表的 示值为214V,试求各种误差。
解：根据定义，得被测电压的绝对误差为AU=U-U0=214-218=-4V
相对误差为\u-4
yA = —xlOO% =——xlOO% = —1.83%"U°218
引用误差为MJ-4
= — xlOO% = — x 100% = -1.33% Um3001.2误差的来源与分类
测量误差的来源
测量误差的来源很多，根据误差产生的情况，主要可以分成以下几个方面。
(1) 仪器误差仪器误差是指由于测量仪器本身的电气或机械等性能不完善所造成的误差。 因此，消除仪器误差的方法是配备性能优良的仪器并定时对测量仪器进行校准。
(2) 使用误差
使用误差又称为操作误差，指测量过程中因操作不当而引起的误差。减小使 用误差的办法是测量前详细阅读仪器的使用说明书，严格遵守操作规程，提高实 验技巧和对各种仪器的操作能力。
例如：在万用表表盘上常有“JL”、“n”、"匕60°”等符号，它们表示该万 用表在使用时的位置分别是：垂直、水平和与水平面倾斜成60°。若测量者在使 用时不按规定位置放置，则会带来误差。又如在使用万用表欧姆档测电阻前不调 零所带来的误差，更是显而易见的。
(3) 方法误差
方法误差又称理论误差，它是指由于使用的测量方法不完善、理论依据不严 密、对某些经典测量方法作了不适当的修改简化而产生的误差，即指凡是在测量 结果的表达式中没有得到反映的因素，而实际上这些因素在测量过程中又起到一 定的作用所引起的误差。例如，用伏安法测电阻时，若直接以电压表示值与电流 表示值之比作测量结果，而不计电表本身内阻的影响，就会引起方法误差。
下面我们以伏安法测电阻为例，来说明方法误差的产生。根据欧姆定理，对 于线性电阻，其阻值R为R = *(1.2. 1)
式中U为被测电阻两端电压，I为流经电阻的电流。由于实际电流表的内阻不是零，电压表的内阻也不等于无穷大，因此实际的两种伏安法测电阻电路（如
图和图1. 2. 2所示）都不可避免地要出现方法误差。此外，对于阻值不同的电阻，两种测量方法产生的方法误差也有很大差异，分析如下：
图1.2. 1电流表外接伏安法
图电流表内接伏安法

和Ry并联电路的总电流,
于是有
其绝对误差为
R'Rv <Rx
(1.2.2)
IM = Rx - R测=r 二
(1.2. 3)
设被测电阻的阻值为Rx,电流表和电压表内阻分别为Ra和R”当采用图1.2. 1
所示电流表外接电路时,
电流表的读数并不是通过Rx的实际电流，而是通过Rx

其相对误差为/=罗*3。

/=罗*3。
(1.2.4)

由上式可知，当Rx«Rv时，相对误差较小，即图所示电流表外接法适 于测量阻值较小的电阻。
在图所示电流表内接电路中，电流表读数就是流过被测电阻Rx的电 流，但电压表的读数却不是Rx两端的电压，而是Rx与&串联电路两端的电压， 所以有R测=了 = Rx + Ra > Rx（1. 2. 5）
其绝对误差为|M = Rx—R测=（Rx+RQ—&=凡（1-2.6）
(1.2.7)
=四=&乂100%Rx Rx
由上式可知，当Rx>〉Ra时，相对误差较小，即图所示电流表内接法适 于测量阻值较大的电阻。
例如：在电压表、电流表内阻分别为Rl50KQ、Ra=5Q时，若被测电阻为RL10。，则用电流表外接法得相对误差为
7 = Rv+Rx x 100% = 500004-10 x 100% ~ °-02%用电流表内接法得相对误差为
R5Y =^xlOO% = —xl00% = 50%
Rxio
若被测电阻Rx二5KQ时，则用电流表外接法得相对误差为7 = Rv+Rx X100% = 5000(k5000X 100% ~ 9-1 %
用电流表内接法得相对误差为R5
/ =Wx100% = W-x100% = 0.1%Rx5000
一般地，当被测电阻Rx<7^X 时,可视为小电阻，应采取电流表外接电路; 当Rx>&X 时，可视为大电阻，应采取电流表内接电路。所以，测量过程中产 生的方法误差可以通过合理选择测量方法加以限制。
测量误差的分类
测量误差按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。
(1) 系统误差
系统误差指在相同条件下重复测量同一量时，大小和符号保持不变、或按照 一定的规律变化的误差。系统误差一般可通过实验或分析方法，查明其变化规律 及产生原因，即可减少或消除。电子技术实验中系统误差常来源于测量仪器的调 整不当和使用方法不当所致。
(2) 随机误差
随机误差也称为偶然误差，指在相同条件下多次重复测量同一量时，大小和 符号无规律的变化的误差。随机误差不能用实验方法消除，但由于随机误差是符 合概率统计规律的，我们可以从随机误差的统计规律中了解它的分布特性，从而 对测量结果的可靠性作定量分析，并对误差进行消除。
(3) 粗大误差
粗大误差是一种过失误差。这种误差往往是由于测量者对仪器不了解、粗心 等原因，导致测量结果严重偏离正确值。此外，测量条件的突然变化也会引起粗 大误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，必须根据理论分析及统计检 验方法的某些准则去判断哪个测量值是坏值，然后去除。
1.3减小误差的基本方法
根据上述三类误差产生的原因，可采用不同的方法对不同类型的误差加以消 除，以保证测量值的尽可能准确。
1. 3. 1减小系统误差的方法
(1) 对测量结果进行校正
对仪器定期进行检定，并确定校正值的大小，检查各种外界因素，如温度、 湿度、气压、电场、磁场等对仪器指示的影响，并作出各种校正公式、校正曲线 或图表，用它们对测量结果进行校正，能有效地减少系统误差，提高测量结果的 准确度。
(2) 替代测量法
替代法是指用一个可变的标准量代替被测量，且保持整个测量系统的工作状 态不变，则仪表本身和外界因素所产生的系统误差对测量结果没有影响。它常常 被广泛应用在测量组件参数上，如用电桥法或谐振法测量电容器的电容和线圈的 电感量，可以消除对地电容、导线的分布电容、分布电感和电感线圈中的固有电 容等因素对测量值的影响。也可用此法测量电阻阻值，以排除温度等外界因素对 测量结果的影响。
图1. 3. 1即采用替代法测量电阻的线路。图中Rx为被测电阻，Rp为可调标准 电阻，R为一般可调电阻。测量时先将开关S合向“1”，使被测电阻Rx接入电路, 调节R使电流表的示数为一合适数值，然后将S合向“2”接入可调标准电阻Rp, 调节Rp使电流表的示数与Rx接入时的相同。若测量电路的所有其他条件不变，则Rx-Rpo可以看出，这种测量方法可以排除在测量过程中外界因素对测量结果 的影响。

图用替代法测量电阻的线路
(3) 正负误差相消法
这种方法可以消除外磁场对仪表的影响。它是通过对被测量进行正反两次位 置变换的测量，然后将测量结果取平均值的方法实现对误差的消除。
(4) 合理选择仪表量程
在仪表准确度巳确定的情况下，量程大就意味着仪表指针偏转小，从而增大 了相对误差。因此，在测量时要合理地选择量程，并尽可能地使仪表读数接近满 量程位置。一般情况下，仪表的指针在2/3满刻度以上时才有较准确的测量结果。 因此，测量者应依据测试估计值的大小，在测量过程中合理选择仪表量程，方可 得到较小的最大相对误差。
特别注意，电压测试时的电压表选择与电压表在电路中的接法对系统误差的 影响很大，这是电路测试中普遍存在的一个问题。当用低内阻的普通万用表测量 高阻电路的电压时，由于电压表内阻的分流影响，电压表示值将严重偏离实际值, 误差将会很大，我们以图1. 3. 2所示测量线路加以说明。在图1. 3. 2所示电路中 若将电源电压与电阻值看作是准确的，则ab两端的电压的实际值应为4V。

若用内阻为10MQ的数字式万用表测量，则，=120x10000 kq = 118.58KQ
沥 120 + 10000
，11Q CQUah =6x—— V = 3.9847
出 60 + 118.58其相对误差为
若用内阻为1OOKQ的普通万用表测量，则〃=冬匹松=54.55松
120 + 100U=6x 54・55 V = 2.857V 泌 60 + 54.55
其相对误差为2.857-4 = _28 6%
4
由此可见，若不能正确选择仪表，则测量误差会非常大。
减小随机误差的方法
通常可采取对测量值取算术平均值的方法来减少随机误差。因为随机误差的 大小和符号都是随机变化的，因此，采用多次测量取算术平均值就可以有效地增 加误差相互抵消的机会。
例如：在用图1. 3. 3所示电路测量RC电路的时间常数t时，由于其测量方法是用秒表来测量开关K打开后放电电流下降到初始值的0. 368时的时间的，所以
其各次的测量数据的差别较大，因此可采取多次测量取平均值的方法来使随机误差减小。
O 10V
』20uF
1M

图测量电容放电时间常数线路
表为某次测量得到的8个数据，可见其各次偏差值较大，但若根据表
所测得的时间常数匚取其算术平均值，则_ 19.0 + 19.2 + 21.2 + 20.4 + 19.7 + 19.4 + 21.8 + 20.1
t == 20.15

_ 19.0 + 19.2 + 21.2 + 20.4 + 19.7 + 19.4 + 21.8 + 20.1
t == 20.15
8
表1.3. 1RC电路时间常数匚的测量数据
很显然，平均值的误差已经很小了。
测量次数
1
2
3
4
5
6
7
8
时间常数T(S)
19.0
19. 2
21.2
20.4
19. 7
19.4
21.8
20. 1
电流i(uA)
3. 68
3. 68
3. 68
3. 68
3. 68
3. 68
3. 68
3. 68
此外，在实际测量中，可以采用数理统计的方法来分析随机误差。常用有限
次测量数据的均方根误差作为随机误差测量精度的估计值。采用均方根误差计算
方法是：每次测量值与算术平均值之差称为偏差。用偏差的平均数来表示随机误
差是一种描述误差大小的方法，正负偏差的代数和在测量次数增大时趋向于零,
为了避开偏差的正负符号，可将每次偏差平方后相加再除以测量3-1)得到平
均偏差平方和，最后再开方得到均方根误差。
减小粗大误差的方法粗大误差是应该避免的，测量者在测量时应注意以下几点，以避免粗大误差
的产生。
(1) 测量之前可以做试探性测量，即进行粗测，以便正式测量时核对。
(2) 反复对被测量对象进行测量，从而避免单次失误。
(3) 改变测量方法或测量仪表后测量同一量值。
1.4实验数据的记录与处理实验中所得到的测量值或波形统称为实验数据，而对这些实验数据进行记
录、整理、分析和计算，以从中得到实验的结论，这个过程称为实验数据处理。
实验数据处理是实验过程中非常重要的环节，它可以直接影响到实验结论的正确
与否。
1.4. 1数据的有效数字(1)有效数字的概念