专接本高数公式汇总.doc

专接本高数公式汇总

专接本高等数学知识点与公式
角度
函数
0
30
45
60
90
角a的弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
sin
0
1/2
√2/2
√3/2
1
cos
1
√3/2
√2/2
1/2
0
tan
0
√3/3
1
√3

一、 三角函数
1 特殊角度：

2 和差角公式： 3 和差化积公式：
4 倍角公式：

5 化简公式：

6 三角函数图象：

二、 极限运算相关公式
1 极限存在：
1.1 准则 （夹逼准则）：如果数列、及满足条件：
（1）从某项起，即，当时，有 ，（2），
那么数列的极限存在，且．
1.2 准则 ：
（1）当（或）时，，（2），
那么则存在，且等于．
1.3 准则 II：单调有界数列必有极限．
2 有界函数无穷小=无穷小:
3 高次幂： ，和为非负整数时，有

4．第一重要极限:
5．第二重要极限： ，，特别地
6. 无穷小替换公式： 时
～ ～ ～ ～
～ ～ ～ ～
三 连续与间断:
1 连续：或
2 间断：

四、 导数定义:
1 点导数： 或
2 导函数：
3 切线： 法线：
五 导数公式:
1 基本初等函数导数公式：
（1）（是常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
2 复合函数的求导法则：• 或
3．反函数的导数公式 ：．
4．隐函数的求导方法：

求上式中确定的隐函数的导数的方法是：上式两边对自变量求导，在求导时应用复合函数的求导法则，把看作中间变量．
5．由参数方程确定的函数的求导方法
一阶导： 二阶导：
6．对数求导法
将函数表达式的等号两边取对数，利用对数性质将表达式化简，然后利用复合函数的求导法则，将等式两边对自变量求导，最后得到函数的导数，这种求导数的方法称为对数求导法．

六 中值定理：
1 罗尔定理：如果函数满足
（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；
（3）在区间端点处函数值相等，即，
那么在内至少有一点（），使得
2 拉格朗日中值定理：如果函数满足
（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，
那么在内至少存在一点，使得
．
推论 如果函数在区间上的导数为零，那么在区间上是一个常数．
七 洛必达法则：=．
八 导数的几何应用：
1 函数单调性的判定法
设函数在上连续，在可导．
（1）如果在内，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内，那么函数在上单调减少．
如果把这个判定法中的闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间），结论也成立．

2 函数的极值
2.1极值存在的第一种充分条件：
设函数在点处连续，且在的某个去心邻域内可导．
（1）若时，，而在时，，则在处取得极大值；
（2）若时，，而在时，，则在处取得极小值；
（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值．
2.2极值存在的第二种充分条件
设函数在点处具有二阶导数且，，那么
（1）当时，函数在处取得极大值；
（2）当时，函数在处取得极小值．
3 函数最大值和最小值的求法: 极值点与端点值比较得最值

4 曲线的凹凸性、拐点
4.1 曲线的凹凸及拐点概念：
4.2 曲线的凹凸性及拐点的判定方法．
（1）凹凸性判断：设在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么
①如果在内，则在上的图形是凹的；
②如果在内，则在上的图形是凸的．
当区间不是闭区间时，判定方法类似．
（2）拐点判断：区间上曲线存在拐点的判定方法
①求；
②令，求出该方程在内的根，另外，求出不存在的点；
③设函数在点处连续，在的某一去心邻域内二阶可导，且 (或不存在），那么
当在左右两侧邻近异号时，则点是曲线的拐点；
当在左右两侧邻近同号时，则点不是曲线的拐点．
九、 导数在经济中的应用

1 边际函数：经济函数对其自变量的导数，称为该经济函数的边际函数（边际值）．
例如 如果某产品的成本函数，其中表示产量，则称为边际成本．2 需求弹性：设为某种商品的需求函数，其中表示价格，称•为该
商品的需求价格弹性，简称为需求弹性．
需求弹性的经济含义：价格每上涨时所引起的需求量减少的百分数．

3成本：某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额，它由固定成本和可变成本组成．
平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本，边际成本是总成本的导数．
在其它生产要素不变的情况下，产品的成本是产量的函数，设为成本，为固定成本．
为可变成本，为平均成本，为边际成本，为产量，则有
总成本函效
平均成本函数
边际成本函数
4收益：总收益是生产者出售一定量产品得到的全部收入．
平均收益是生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的售价；边际收益为总收益的导数．
收益为产量的函数，设为商品价格，为商品量，为总收益，为平均收益，为边际收益，则有
商品价格
总收益函数
平均收益函数
边际收益函效
5 利润：利润是生产者出售一定量产品所得到的总收益与总成本之差．

当边际收益与边际成本相等时，利润最大，即．

十 不定积分的性质：
（1）
（2）
（3） 或
（4） 或
十一 基本积分公式:
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
十二 第二类换元法积分：
1 令
2 令
3 令
十三 分部积分法：
题型
，的选法
目的

，

降低次多项式的次数

，
“消”函数符号，等

或

“回头积分”

十四 定积分基本性质：
1．=
2．=（是常数）．
3．=+ （是常数）．
4．如果在区间上．则= =．
5．如果在区间上．则（）．
推论1 如果在区间上，．则（）．
推沦2 （）．
6．设及分别是函数茌区间上的最大值及最小值，则
（）．
7．（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立：

十五 变上限函数的导数：
（1） •
上限含有未知变量（函数）的导数：上限代入被积函数乘以上限的导数
（2） •
下限含有未知变量（函数）的导数：下限代入被积函数乘以下限的导数，然后添负号
（3） ••
上、下限含有未知变量（函数）的导数：上限代入被积函数乘以上限的导数—下限代入被积函数乘以下限的导数．

十六 积分区间对称，被积函数的奇偶性
1．若在上连续且为偶函数，则．
2．若在上连续且为奇函数，则．
十七 分部积分法：
十八 无穷限反常积分：
1 2
3 =+=+
十九 多元函数微分法及应用
二十 多元函数的极值及其求法：

二十一 常数项级数：

二十二 级数审敛法：

二十三 绝对收敛与条件收敛：

二十四 幂级数：
二十五 函数展开成幂级数：

二十六 微分方程的相关概念：

二十七 一阶线性微分方程：

二十八 全微分方程：

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