机械振动学课件.pdf

硕士研究生学位课程 机械振动学机械振动学 Mechanical Vibrations 机械工程机械工程及自动化学院及自动化学院 2014年 张以都 工学博士 教授 博士生导师 ，82339039 新主楼A座829房间 课程参考书 1.1.机械振动学机械振动学 程耀东编著程耀东编著 浙江大学出版社浙江大学出版社 2.2.振动理论及应用振动理论及应用方同等编著方同等编著 西工大出版社西工大出版社 3.3.振动力学振动力学刘延柱等编著刘延柱等编著 高等教育出版社高等教育出版社 4.4.5.Theory of Vibration with Applications 5TH Ed.by W.T.Thomson,Prentice Hall,1998 前前 言言 一、机械振动的定义一、机械振动的定义：系统在其平衡位置附近作往复运动，该运动可用位移、速度、系统在其平衡位置附近作往复运动，该运动可用位移、速度、加速度等物理量随时间的变化来表示。加速度等物理量随时间的变化来表示。构成系统振动的三要素：构成系统振动的三要素：质量（惯性）、弹性（恢复性）、质量（惯性）、弹性（恢复性）、阻尼阻尼(耗散性耗散性)。形式多样形式多样 二、机械振动学的研究意义二、机械振动学的研究意义：1.1.避免振动避免振动：（1 1）减振：自行车、汽车、加工颤振等的减振；）减振：自行车、汽车、加工颤振等的减振；（2 2）隔振：建筑基础、重要设备、机床的隔振）隔振：建筑基础、重要设备、机床的隔振 。2.2.利用振动利用振动：（1 1）振动切削；）振动切削；（2 2）振动消除内应力；）振动消除内应力；（3 3）振动破碎；）振动破碎；（4 4）振动筛分；）振动筛分；（5 5）振动压路）振动压路。刀具的颤振刀具的颤振 “机械振动学机械振动学”是一门以是一门以物理概念物理概念为基础，以为基础，以数学方法数学方法、数值计算技术数值计算技术和和测试技术测试技术为工具，以解决工程中振动问题为工具，以解决工程中振动问题为主要目标的为主要目标的力学分支力学分支。三、机械振动学的学科性质三、机械振动学的学科性质：工程问题 抽象为力学模型 数学模型 求解数学问题 获得工程问题解 振动问题的一般解决流程 振动实验与测试 1.1.已知载荷和结构参数，求结构的响应问题，即响应预估问题。已知载荷和结构参数，求结构的响应问题，即响应预估问题。2.2.已知载荷和结构响应，求结构参数或数学模型问题，即参数已知载荷和结构响应，求结构参数或数学模型问题，即参数辨识或系统辨识问题。辨识或系统辨识问题。3.3.已知结构参数和响应求载荷问题，即载荷辨识问题。已知结构参数和响应求载荷问题，即载荷辨识问题。四、机械振动学主要研究的三类问题：四、机械振动学主要研究的三类问题：（根据模型参数的已知情况进行分类）（根据模型参数的已知情况进行分类）1-1 简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法 Simple harmonic motion(SHM)1.1 三角函数表示法三角函数表示法 第一章第一章 机械振动的一般概念机械振动的一般概念 fT122f式中：x某时刻的位移 A最大振幅 n 角频率（圆频率）相位 周期T：当经过时间T后，运动重复前一时间间隔的运动过程。周期T与频率f的关系为：tAxnsin)2sin(costAtAxv)sin(sin22tAtAxa 速 度：加速度：tAxsin位 移：pA2aAvyxA 1.2 矢量表示法矢量表示法 设有模为A 的矢量，其以均匀角速度 逆时针转动。在x，y轴上的投影为：因此：tAytAxsincos 若令矢量的模A为振动的振幅，则矢量在x，y轴上的投影均可表示简谐振动。为了与复数表示法一致，规定以水平投影表示简谐振动。yxAz=a+ibz=Aeitt虚轴实轴 设有复数 z=a+ib，其在复平面上为一个点z。旋转复矢量为：tiAetsiniAtcosAz)AeRe(zRetcosAxti)t(iti)t(itiAeAexAeAeix222 用其在实轴上的投影表示简谐振动：1.3 复数表示法复数表示法 1 1-2 2 简谐振动的合成简谐振动的合成 2.1 2.1 同方向、同频率振动的合成同方向、同频率振动的合成 )tsin(Ax)tsin(Ax)tsin(Axkkk222111)tsin(Ax其中：knnnknnnknnnknnncosAsinAarctg)sinA()cosA(A112121051015202530-1.5-1-0.500.511.5 1=2051015202530-1.5-1-0.500.511.51=2+/2051015202530-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 1=2+1=2 1=2+/2 1=2+2.2 同方向、不同频率振动的合成同方向、不同频率振动的合成)tsin(Ax)tsin(Ax22221111)t(tsin)t(Ax11其中：)(t)cos(AA)(t)sin(A)t(tg)(t)cos(AAAA)t(A12122112122121221222122.3 2.3 不同方向（垂直）、不同频率振动的合成不同方向（垂直）、不同频率振动的合成 )tsin(By)tsin(Ax2211)(sin)cos(ABxyByAx12212222结论：结论：合成振动与两个的振动频率和相位有关，合成的图形称为“李萨如”图形。特例：当1=2时，上述方程是一椭圆方程。第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 niiFxmma1)t(Fkxxcxm 0kxxcxm 0 kxxm 单自由度系统的振动模型单自由度系统的振动模型 运动微分方程的建立：由牛顿第二定律：离散振动系统离散振动系统的三要素的三要素：1.质量；质量；2.弹簧；弹簧；3.阻尼。阻尼。k c m xF(t)kxxc)t(Fxm 2-1 自由振动自由振动 一、无阻尼自由振动一、无阻尼自由振动 c=0,F(t)=0 02xxn mkn22020nvxAnvxarctg000 kxxm 令 则 设方程的解为：tAxnsintAe)t(xtAe)t(x2 代入微分方程，得：则 022tnAe)(022n和特征方程 nn,jj21共轭虚根：二阶常系数线性齐次方程 根据欧拉公式 sincosiei因此方程的解为：其中：0kxxcxm 0 xmkxmcx 022xxxn 二、有阻尼自由振动二、有阻尼自由振动 F(t)=0 （二阶常系数线性齐次微分方程）为计算方便，令 mc2tAe)t(xtAe)t(x2 0222n设方程的解为：tAe)t(x代入微分方程，得特征方程：22n特征方程的解为：2-2 简谐激励作用下的受迫振动简谐激励作用下的受迫振动（强迫振动）)tsin(h)tsin(mFxxx)tsin(F)t(Fkxxcxmn0202 设对应齐次方程的通解和特解分别为：)cos()sin()sincos(212211tBtBxtCtCexddt将x2代入微分方程，利用比较系数法，得)sin(2tBx222224nhB222narctg其中：二阶常系数线性非齐次微分方程 一、简谐激励引起的受迫振动的响应一、简谐激励引起的受迫振动的响应 简谐激励受迫振动微分方程的全解（系统全响应）：简谐激励受迫振动微分方程的全解（系统全响应）：)sin()sincos(2121tBtCtCexxxddt根据初始条件确定常数C1和C2，令 00)0(,)0(,0vxxxt)sin(sin)sin()cos(cos)sin()sincos(000tBttBetvxtxexdddtdddt二、二、受迫振动的振幅分析受迫振动的振幅分析 222224nhB2200nnsthmFkFnnststdB222241则受迫振动的振幅 其中 d 为动力系数（放大系数）2222411stBd引入静变形、频率比和阻尼比:三、基础运动引起的受迫振动三、基础运动引起的受迫振动 m k c taxssin模型简化模型简化)tsin(Ftsinkatcosackxxckxxcxmss0)xx(k)xx(cxmss niiFxmma1 为了简化问题，设基础以 xs=a sint 的规律运动。根据牛顿第二定律建立微分方程：m k c taxssin 四、旋转不平衡质量运动引起的受迫振动四、旋转不平衡质量运动引起的受迫振动 k c M x m t t 设总质量为M、弹簧刚度为k、阻尼系数为c、不平衡质量为m、偏心距为e、旋转角速度为。222mrrrmrvmFniiFxMMa1 tsinFtsinemkxxcxM02 kxxctsinemxM 2其中：20emF方程的解与前述结果相同，其稳态响应为：)sin(tBx2222241kmeB式中：212 arctg根据第二定律建立牛顿微分方程，k c M x m t t 2-3 复数法求解简谐激励下系统的稳态响应及传递函数复数法求解简谐激励下系统的稳态响应及传递函数 )cos()(0tAtx)(00Re)cos()(tjeFtFtF)(0Re)cos()(tjeAtAtxsincosjej其中复振幅 jeAA0相应的力表达式和解的形式为：根据欧拉公式：设其解的形式为：对于振动微分方程：一、简谐激励和响应的复数表示一、简谐激励和响应的复数表示)tcos(Fkxxcxm0 二、二、复数的几条基本引理复数的几条基本引理 （1）若c为实数，A(t)为复函数，则有RecA(t)=c ReA(t)（2）A(t)和B(t)是实变数t的复函数，则有ReA(t)B(t)=ReA(t)+ReB(t)（3）若AA0ej为一复数，则有 tjtjtjAejAedtdAedtdRe)(ReRetjntjnntjnnAejAedtdAedtd)(Re)(ReRe（4）若A、B为复数，ReA ejt ReB ejt，则 AB。三、求解过程及传递函数三、求解过程及传递函数)(0Re)(tjeFtF)(Re)(tjeAtx)tcos(Fkxxcxm0)t(j)t(j)t(j)t(jeFReeARekeAjReceA)j(Rem02)t(j)t(jeFReeA)kjcm(Re0202FAjc)mk(jc)mk(FA200)(FHA复振幅：所以 将 代入)(0HFAje)(Hj)(k/jc)mk()(H211122定义传递函数 22224)1(/1)(kH其中 212)(arctg稳态响应：)cos(4)1()cos(4)1(/1)(Re)(ReRe)(222202222)(0)(0)(ttFkeFHeFHeAtxsttjtjtj2-4 机械阻抗法求解简谐激励下系统的稳态响应机械阻抗法求解简谐激励下系统的稳态响应 一、一、机械阻抗、机械导纳的定义机械阻抗、机械导纳的定义 1.定义一：机械阻抗 Z 作用力与该力所引起的振动速度之比。设振动系统受外力F(t)=F0ejt作用，响应为x(t)=x0ej(t-），故)2(0)(0tjtjexexjxv)(02)(02tjtjexexxa 000)2(0)2(00,xFZeZexeFvFZjtjtj 2.定义二：导纳 B 阻抗的倒数)2(011jeZZBjvx 3.定义三：动刚度 KD 外力与位移之比。)2(0jDeZjZjjvFjvFxFK 4.定义四：动柔度 W0 动刚度的倒数。jDeFxFxKW0001rvFFFxkxm 二、二、机械元件的机械阻抗机械元件的机械阻抗 1.阻尼器的阻抗 Zr tjeFF0ceFcFv,cvFtj0设有外力 与之平衡的阻尼力 阻尼器阻抗 cceFeFvFZtjtjc002.弹簧的阻抗 Zk 与外力平衡的弹簧力 jkeFxvkeFkFxkxFtjtj00,弹簧阻抗 kjjkvFZk3.质量的阻抗 Zm 与外力平衡的惯性力 质量阻抗 mjeFdtmeFdtxvmeFmFxxmFtjtjtj000,mjvFZm 三、三、机械元件的位移阻抗机械元件的位移阻抗 作用力与该力所引起的位移之比。位移阻抗在求解系统运动规律问题时比较方便。1.阻尼器的位移阻抗 cjZjjveFxFZctjc0jvx 2.弹簧的位移阻抗 kkeFeFxFZtjtjk00kFx 3.质量的位移阻抗 mmeFeFxFZtjtjm2200200meFdtmjeFvdtxtjtj 四、四、机械元件并联和串联的阻抗机械元件并联和串联的阻抗 1.并联的阻抗 kvrFrkF123vavbvcvZFccjvkvZFkkvZ)ZZ(vjkcvjvkvcFFFkckc结论：并联系统的总阻抗等于各要素阻抗之和。结论：并联系统的总阻抗等于各要素阻抗之和。niiZZ1caZFv 2.串联的阻抗 kbZFv kckcbaZZFZFZFvvv11kcZZvFZ111kcZZZ111结论：串联系统的总阻抗的倒数等于各要素阻抗倒数之和。结论：串联系统的总阻抗的倒数等于各要素阻抗倒数之和。niiZZ111 例题例题 2-5：求图示系统的机械阻抗。解：Z7=Z2+Z3 Z8=Z4 Z5 Z6 87879ZZZZZ9110ZZZ 654326543265432110ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ 五、五、机械阻抗线路图机械阻抗线路图包含有激振源和用阻抗代替的各机械元件的图形 绘制机械阻抗线路图是应用机械阻抗法的第一步。确定是否为串联或并联的两种方法：（1）当几个系统（元件）具有下列两点特性时，其联接方式为并联：a.所有的输入端均具有同样速度；b.组合系统的输入力等于各个分系统的输入力之和。krmxF(t)=F0ejt12FZrZkZm12（2）当几个系统（元件）具有下列两点特性时，其联接方式为串联：a.所有各分系统受到的输入力均相同；b.组合系统两端点的速度等于各分系统两端点的相对速度之和。krm12q=aejtqZmx12vqZkZr)t(fkxxcxM 2-5 周期激振力作用下的受迫振动周期激振力作用下的受迫振动 周期激振力 f(t)满足狄利赫莱条件便可展成傅立叶级数，然后利用叠加原理求解（线性系统）。)cos()sincos(22sinsin2coscos2)(101021210mmmnnntmCCtnbtnaatbtbtataatfmmmmmmabarctgbaC ,22)tmcos(CC)t(fkxxcxMmmm10)cos(1mmmmmtBx系统的稳态响应 222224/mmnmMCB222mnmarctg其中：mm 适用冲击和瞬变等非周期激振力情况。（杜哈母积分或拉普拉斯变换）1.当 t0 时，质量受到冲量 I 作用，得到初始速度 v0=I/m,系统的初始条件为：t=0 时，x(0)=0,mIvx0)0(tmIxnnsin系统的响应为：如果冲量 I1,则单位冲量引起的响应记为 tmthnnsin1)(（无阻尼响应）2020nvxAtxI02-6 任意激振力作用下的受迫振动任意激振力作用下的受迫振动 2.当 t 时，质量受到冲量 I 作用，系统的初始条件为 t=0 时，x(0)=0,0)0(x 系统的响应为：0t 时 mItx)()(sintmIxnn（无阻尼响应）tx0I 3.一般情况下，当 t0 时，x(0)=x0,当 t=时，有冲量 I 作用，此时系统的响应为：0)0(vx)(sinsincos)(t sincos)(0000tmItvtxtxtvtxtxtnnnnnnnn)(sintmIxnnt之后，系统产生了附加振动（增量位移）（无阻尼响应）t0tx0F(t)Id4.任意激振力情况下，假定当 t=时，有冲量 I=F()d 作用，此时系统的响应为：)t(sinmd)(Fxnn由于 t 时刻的响应是 t 时刻以前所有冲量作用的总和，故 tntnnnd)t(sin)(Fm)t(sinmd)(F)t(x001（杜哈母积分）当系统中有阻尼时，同理)t(sinemd)(Fxd)t(dtd)t(tdd)t(dd)t(sine)(Fm)t(sinemd)(F)t(x001)t(sinmIxnn 1.冲击的定义：冲击的定义：动能突然传递到一个系统上，其发生传递的时间远小于该系统的固有周期。在这种激振情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动，在激振作用停止后，系统按其固有频率作自由振动。系统的响应频谱是连续的。3-1 引引 言言 第三章第三章 冲击振动冲击振动 2.冲击激振函数的特点：冲击激振函数的特点：非周期性，可分为力冲击、位移冲击、速度冲击和加速度冲击等。tnndtFmtx0)(sin)(1)(3.求解方法：求解方法：(1)杜哈母积分(2)拉普拉斯变换 3-2 冲击运动方程冲击运动方程 uxxkm)ux(kxmkFxxkmFkxxm 运动方程：力冲击运动方程：力冲击 位移位移冲击冲击 速度冲击速度冲击 加速度加速度冲击冲击 uxxdtdkmuxxdtdkm 2222 冲击运动方程的普遍形式：冲击运动方程的普遍形式：)t()t()t()t()t(vvkm 00其中 3-3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、设函数 f(t)当 t0 时有定义，而且积分 为一个复参量）0(sdte)t(fst0 dte)t(f)s(Fst222(sk sinkt 11 1 1 1 k)aesests)s(F)t(fatt)as(sat)sin(at-a)as(sat)cos-(aassatcosasaat sin)s(F)t(f222322222221 11 11 例：F(s)叫做 f(t)拉普拉斯变换，记为F(s)=Lf(t)F(s)象函数，f(t)象原函数，拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L1F(s)在 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可以写成 二、拉普拉斯变换的性质 1.线性性质 若 则 2.微分性质 若 则)t(fc)t(fc)t(fc)t(fcf(t)nn332211)s(Fc)s(Fc)s(Fc)s(FcF(s)nn332211)s(Ff(t)L)(f)(fs)(fs)s(Fs(t)fL)(f)(sf)s(Fs(t)fL)(f)s(sF(t)fL)n(nnn)n(0000001212 3.位移性质 若 则 4.延迟性质 若 则)s(F f(t)L)as(Ff(t)eLat)s(Ff(t)L)t(f)s(FeL)s(Fe)f(tLstst1 或 三、拉普拉斯逆变换 已知某一函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)，求象原函数的过程。（查表法）例题 3-1 的逆变换。求)s(s)s(F112tet)t(fsss)s(s)s(F1 11111122例题 3-2 的逆变换。求56912sss)s(Ftetcostsin)t(f)s()s(sss)s(F31222323291 32313132915691四、卷积定理 1.卷积的定义：两个函数 f1(t)和 f2(t)的卷积指的是 d)t(f)(f)t(f)t(ft20121 2.卷积定理：212112121)t(f)t(f)s(F)s(FL)s(F)s(F)t(f)t(fL或3-4 用拉普拉斯变换求解冲击问题用拉普拉斯变换求解冲击问题 设冲击方程为 )s(FvL)t(vv)t(vvkm 2n 两边取拉普拉斯变换 22222n00 001nenes)s(F)(v)(sv)s(F)s(F)s(F)(v)(sv)s(Fs取 F(s)的逆变换便可得冲击得响应 v(t)。3-5 响应函数和响应谱响应函数和响应谱 一、响应函数：振动系统的运动函数 v(t)称为响应函数。冲击响应：1.初始响应：冲击作用时间之内的响应。2.余响应：冲击结束后的响应。二、响应谱 最大响应值v(t)max随着系统的动态特性参数以及冲击的参数而变化的曲线。三、几种激振函数的响应谱（自学）1.阶跃激振函数 （1）矩形阶跃 （2）常斜率阶跃 2.矩形脉冲 3.正弦冲击波 3-6 阻尼对冲击响应的影响阻尼对冲击响应的影响 一、微分方程)t(vv)t(vk)t(Fxxkcxkm)t(Fkxxcxmnn 2 222222n2002 02001nnennenss)s(F)(v)(vs)s(F)s(F)s(F)(v)s(sF)(v)(sv)s(Fs二、应用拉普拉斯变换求解 若初始条件为零，则 2222nnenss)s(F)s(F)s(FL)t(v1 第四章第四章 两自由度系统的振动两自由度系统的振动 定义：定义：需要两个独立坐标才能确定每一时刻的运动的振动系统。特点：特点：(1)系统有两个固有频率，是最简单的多自由度系统；(2)出现模态和振型的概念。当系统按其中一个固有频率作自由振动时，称为主振动。(3)任意初始条件下，系统的振动是两个主振动的叠加。(4)作主振动时，两独立坐标之间保持一定的比例关系，这种振动形态称为主振型。m1k1k2m2Q1Q1x1x2x0Q1Q1m1m2k1x1k2(x2-x1)由牛顿第二定律 niiFxmma1 21222211221111)()(QxxkxmQxxkxkxm 222122212212111)(QxkxkxmQxkxkkxm 二阶常系数线性非齐次微分方程组 对于自由振动，Qi0，故微分方程为 00)(2212222212111xkxkxmxkxkkxm 二阶常系数线性齐次微分方程组 0002221121121222212121xkkkkxMxxkkkkkxxmm 4-1 两自由度无阻尼系统的自由振动两自由度无阻尼系统的自由振动 一、一、建立运动微分方程建立运动微分方程 二、二、固有频率固有频率)cos()cos(2211taxtaxnn设方程组的解为：（相同固有频率和初始相位的简谐振动）代入振动微分方程，得代数方程组：0)(0)(2222122211221amkakakamkknn当系数行列式为零时，方程组有非零解 0222221221mkkkmkknn展开行列式，得 0)(21221221421kkkkmkmmmnn2121222112211122212111222122,14)(21mmkkkmmkmkmmmkmkmn振动系统的第一阶、第二阶固有频率：三、三、主振型主振型 分别将两个固有频率 n1,2 代入线性方程组，可得第一阶和第二阶主振型：22222122212)2(2)2(1222212121212)1(2)1(11kmkmkkkaarkmkmkkkaarnnnn 主振型表示了两质量在振动过程中最大振幅之间的比例关系。主振型只取决系统的固有特征参数。四、四、两自由度无阻尼系统自由振动的通解两自由度无阻尼系统自由振动的通解 当系统按第一阶固有频率作主振动时，)cos()cos(11)1(2)1(211)1(21)1(1taxtarxnn当系统按第二阶固有频率作主振动时，)cos()cos(22)2(2)2(222)2(22)2(1taxtarxnn则振动微分方程的通解为：)cos()cos()cos()cos(222111)2(2)1(2222221111)2(1)1(11tAtAxxxtArtArxxxnnnn2(2)21)1(2 ,AaAa令由两个质量的初始位移和速度可确定4个待定常数A1,A2,1,2。说明：该振动是不同频率、不同相位的运动合成。一般情况下为非周期性复杂运动。当两个固有频率可约分时，系统作周期运动。在某些初始条件下，也可能作简谐主振动。p=121112112p=112224-2 用影响系数法建立两自由度系统的振动方程用影响系数法建立两自由度系统的振动方程 一、一、影响系数的概念影响系数的概念 1.柔度影响系数柔度影响系数 在1点作用单位载荷，在1,2点产生位移11,21,在2点作用单位载荷，在1,2点产生位移12,22。kkpkp1 ,其中：11,21，12,22 称为柔度影响系数。ij下标中的 i 表示位移产生的位置，j 表示单位载荷作用的位置。根据位移互等定理有 ij ji。1122k11k21k22k122.刚度影响系数刚度影响系数 1点产生单位位移，2点位移为零，在1,2点分别作用的力为 k11,k21。2点产生单位位移，1点位移为零，在1,2点分别作用的力为 k12,k22。pppkkp1 ,其中：k11,k21，k12,k22 称为刚度影响系数。kij下标中的 i 表示载荷作用的位置，j 表示产生单位位移的位置。根据互等定理同样有 kij kji。二、二、用影响系数建立振动微分方程用影响系数建立振动微分方程 022211211xkkkkxM 12p1p2y1y2利用柔度影响系数，可建立关系：22212122121111ppyppy同理，利用刚度影响系数，可建立关系：22212122121111ykykpykykp 22211211222112112121 ,kkkkSFpppyyy ySp pFy 其中：11 SFSF结论：柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵，在梁的振动问题中，除了作用在集中质量上的激振力外，还有集中质量的惯性力，即：y1y2Q1-m1y1Q2-m2y222221111ymQpymQp yMQpyymmQQpp 2121212100 pFy 代入 QySyMyMQFy ySp 得到用影响系数和矩阵表示的振动微分方程 当激振力Q0时，得自由振动微分方程 00ySyMyyMF 三、特征值、特征向量三、特征值、特征向量 （固有频率、主振型）（固有频率、主振型）00ySyMyyMF 令自由振动的解为 01D00D 0)sin()sin()sin(22221212121112122211211222121AImmmmmmMFAMFAtAytAtAAyyynnnnnn令动力矩阵 若方程组有非零解，则其矩阵行列式应为零：012IDn（特征方程）解特征方程，可得特征值（固有频率），将特征值代入方程组，可得特征向量（主振型）。4-3 两自由度有阻尼系统自由振动两自由度有阻尼系统自由振动 m1m2Q1Q1x1x2x0Q1Q1m1m2k2(x2-x1)k2k1k1x1c1x1c2(x2-x1)c1c21122122221122111221111)()()()(QxxkxxcxmQxxkxkxxcxcxm 222122212221221212212111)()(QxkxkxcxcxmQxkxkkxcxccxm 0QxSxCxM 212222122211211 xxxcccccCCCCC其中 tteAAeAX21设解的形式为 代入微分方程组，得特征矩阵 02ASCM由系数行列式为零可得特征方程：0)()2()(2122211121211222211221222111122213112221421kkkkCkCkCCCCkmkmCmCmmm该特征方程的解比较复杂，2222222111121111 ddddjnjnjnjn微分方程的通解：)coscos()coscos()coscos()coscos(24231211224423312211112121tCtCetCtCextCrtCretCrtCrexddtnddtnddtnddtn振幅比：)1,2k 1,2;(i 21212222221111211212kCkCmkCmkCrikikikikikikikjdcrjdcrjbarjbar22211211 其中：C14为四个待定常数，由初始条件确定。3433343322121211)(2)(2 )(2)(2CcCdCrCdCcCrCaCbCrCbCaCr4-4 两自由度有阻尼受迫振动两自由度有阻尼受迫振动 tjePtpptPQxSxCxMcoscos21 设受迫振动的稳态响应为：tjeAX代入微分方程组，得 PACjMS2受迫振动的解：)cos()cos()cos()cos(32222221222222222221122221tphgfetphgdcxtphgdctphgbax其中：1212121122222211122122211221222221211121122121122222 )(kCmkCmkChCdCCCkmkmkgkcCfCbmkemkafhegfgeharctgdhcgdgcharctgbhagbgaharctg321 ,第五章第五章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 一、一、拉格朗日拉格朗日方程（方程（Lagranges Equation）n)3,2,1(，iFqUqDqTqTdtdiiiii一般形式 式中：qi广义坐标，n自由度有n个广义坐标；Fi沿广义坐标qi方向作用的广义力（力矩）；T系统的动能函数；U系统的势能函数，是广义坐标qi的函数，UU（q1，q2，q3 qn）；D系统的散逸函数（粘性阻尼）牛顿第二定律 影响系数法 能量法 取静平衡位置为坐标原点，q=0 表示静平衡位置（广义坐标向量）5-1 振动方程的建立振动方程的建立 x1x2x3m1m2m3k1k2k3F1sintF2sintF3sin t在静平衡位置将势能函数U按Taylor级数展开 jininjjiiniiqqqqUqqUUU011201021因为：U0平衡位置的势能，U0=0。微幅振动qi小，可略去高阶小量。qKqqqKqqqqUUTninjjiijjininjji212121 110112势能函数)0 ,21(0020kxxUkxUqUi02jiijqqUK令 nnnnKKKKK1111广义刚度矩阵（实对称，正定或半正定）qKqUT21 qMqqqmTTninjjiij212111nnnnmmmmM1111同理，动能函数动能函数 质量矩阵（实对称，正定）散逸函数散逸函数 qCqqqCDTninjjiij212111 nnnnCCCCC1111阻尼矩阵（实对称，正定或半正定）qMqTT21 qCqDT210iqT因为在微幅振动中动能与广义坐标无关，所以Lagrange方程可改写为 n)3,2,1(，iFqUqDqTdtdiiii代入U，T，D的偏导数:FqKqCqM FqKqM 0qKqCqM 0qKqM 有阻尼受迫振动 无阻尼受迫振动 有阻尼自由振动 无阻尼自由振动 n)3,2,1(，iFqUqDqTqTdtdiiiii在Lagrange方程中 得到由n个二阶常系数线性微分方程组成的微分方程组：qKqUT21 qMqTT21 qCqDT215-2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 0qKqM 1.设微分方程组的解为 tieAq其中 A为振幅矢量或振幅矩阵 则 tieAq2 2.代入微分方程，得线性齐次代数方程组（特征矩阵）02AMK3.由系数行列式为零，得特征方程 02MKn214.解特征方程，得到的根（特征值）即为固有频率 5.将固有频率 代入特征矩阵，对应于每个i值，可求出一组振幅的相对值A，即固有振型。求解思路：多自由度系统自由振动的通解：多自由度系统自由振动的通解：)(xMtsindiag)(xMtcosdiagm)t(x)(xMtcosdiag)(xMtsindiagm)t(xTiTiTiTi00100115-3 固有频率的计算方法固有频率的计算方法 一、迭代法 二、逆迭代法 三、累次平方法 四、雅可比法（Jacobi）五、HQRI法 六、子空间迭代法 02MK振动微分方程的特征方程振动微分方程的特征方程，如何求解特征值？，如何求解特征值？5-4 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 tieFxKxM titieAxeAx2 设解的形式 FAMK2 FMKA12振幅矩阵 FIdiagmATi1221规一化的振幅矩阵 一、一、周期激振力下的无阻尼受迫振动周期激振力下的无阻尼受迫振动 tiTitieFIdiagmeAtx1221)(系统的响应：代入微分方程，得特征矩阵 二、二、任意激振力下的无阻尼受迫振动任意激振力下的无阻尼受迫振动 当系统作用有冲量 dFgd)()(t )()(sin1)(1dFtdiagmtxdTi引起系统的响应 )()(sin1)(01tTidFtdiagmtx dFtdiagxMtdiagxMtdiagmtxtTiTiTi)(sin)0(cos)0(sin1)(011)0(,)0(0 xxt当初始条件为 系统的解是自由振动和受迫振动之和 三、三、多自由度有阻尼受迫振动多自由度有阻尼受迫振动 振动微分方程 设方程的解 tieFCiMK)t(x12 tieFxKxCxM titieAxeAx2 代入微分方程，得 FSAFASCiMKSFACiMK122设复刚度矩阵为 所以 系统的响应：第六章第六章 弹性体的振动弹性体的振动 特点：1.实际振动系统都是弹性体系统（连续系统）；2.弹性体具有连续分布的动态特性参数（质量、阻尼、刚度）；3.弹性体系统是无限多自由度系统，具有无限多固有频率和主振型；4.数学上，要用偏微分方程描述；5.只有在特殊情况下可得到解析解；6.仍可使用叠加原理。基本假设：1.连续介质假设；2.均质、各向同性假设；3.完全弹性假设；4.小变形假设。6-1 杆的纵向振动杆的纵向振动 假设：截面保持为平面；忽略横向变形。一、一、杆纵向振动的固有频率和振型函数杆纵向振动的固有频率和振型函数 设位移函数 u(x,t)，单位体积的质量，长度 l，截面积A，弹性模量 E。取出一微元体dx。在截面x处，轴向应变为 xutx),(轴向内力为 xuEAEAtxN),(在截面x+dx处，轴向内力 dxxuEAxuEAdxxNN22对微元dx来说，22222222 xuEtudxxuEANdxxNNtumFumAdxm lxxdxNN+dNdxdxuu+dudxdx22222xuatu令 纵向振动微分方程（一维波动方程）Ea2弹性纵波的传播速度)()(),(tTxXtxu由方程形式，考虑分离变量，令 X(x)表示振动形态，振型函数 T(t)表示振动的方式 代入波动方程，得 2222221pZdtTdTdxXdXa002222222XapdxXdTpdtTdxapDxapCxXptBptAtTcossin)(cossin)(设解的形式为：其中：p为固有频率；待定常数A、B由初始条件初始条件确定；C、D由边界条件边界条件确定 1.两端固定的情况两端固定的情况 边界条件为 0)(;0)0(lXX（几何边界条件）xapDxapCxXcossin)(将边界条件代入振型函数 0sin ,0lapCD因为C=0不是振动，故 0sinlap 纵向振动的特征方程 各阶固有频率)3 ,2 1,(nElnlanpnxlnCxXnsin)(各阶振型函数 2.两端自由的情况两端自由的情况 轴向应力为零，边界条件为 0)(;0)0(lXX（力边界条件）xapDxapCxXcossin)(将边界条件代入振型函数 0sinap ,0lapDC因为D=0不是振动，故 0sinlapapD 纵向振动的特征方程 各阶固有频率)3 ,2 1,(nElnpn)3 2,1,(n cos)(xlnDxXn各阶振型函数)()(),(tTxXuxuEAtxN3.一端固定一端自由的情况一端固定一端自由的情况 x=0 处为固定端，xl 处为自由端，边界条件为 0)(;0)0(lXXxapDxapCxXcossin)(将边界条件代入振型函数 0cos ,0lapapCD因为C=0不是振动，故 0coslapapC纵向振动的特征方程 各阶固有频率)3 ,2 1,(212nElnpn)3 2,1,(n 212sin)(xlnCxXn各阶振型函数 5.一端固定一端带有重物的情况一端固定一端带有重物的情况 x=0 处为固定端，xl 处有重物作用，边界条件为 22 ;0)0(tuMxuEAX)()()()(2lXtTMptTlXEAlapXDsinC(l),0apltgaplMmMAl纵向振动的特征方程 对于给定的质量比，可用数值解法求出各阶固有频率)3 ,2 1,(npn)3 2,1,(n sin)(axpCxXnn各阶振型函数 EAlxM)()(,)()(,)()(),(222tTlXptutTlXxutTxXtxu因为 所以 aplMplapapEAsincos2xapDxapCxXcossin)(二、杆纵向振动微分方程的一般解二、杆纵向振动微分方程的一般解 1.微分方程的一般微分方程的一般解（特解和通解）解（特解和通解）)3,2,1,(n cossin)()()(),(tpBtpAxXtTxXtxu