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第三章 应变分析

物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的目的是研究物体局部几何变化和物体内各点的位移。这种研究以物体内部各点的初始位置和它们之间的关系为基础。
物体的变形或位移是在外部作用下发生的，也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究物体的变形。不涉及外部因素，也不过问材料性质。是一种不涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析。所得的结论适用于任何连续介质。

第一节 位移描述

称物体变形前在空间占据的几何位置为构形B，变形以后占据的新的空间位置为构形B/。变形前物体中的三个质点P、Q、R，变形后到达新的位置P/、Q/、R/。用固定在空间中的笛卡儿坐标系，同时描述新、老两个构形。我们以初始构形中质点的位置标志质点。这样，P、Q、R既是质点的初始位置，也是质点的标识(或标志)。

图3-1
B /
B
U
U0
PQ
P /Q/

位移的性质
物体的连续性要求，其初始构形被不同的质点连续地、无间隙地充填。其后继构形B/被同样的质点连续地、无间隙地充填。从连续性假定，连同图3.1可以得到位移与变形的下列性质：
1、变形以前的点与变形以后的点有一一对应关系。(从数学上，这意味着反函数存在且唯一，若连则反函数的导数也连续且唯一)；
2、物体中各点的位移一般是不同的；
从上面两条性质可以导出：
3、位移是位置的单值连续函数；
4、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了变形和刚体运动。
相对位移矩阵(对连续体运动和位移的一种数学描述)
考虑物质点P，其坐标为(x0，y0，z0)，位置矢量为。变形后P点运动到P/点，其坐标为，位置矢量为。P点的位移为，写成分量形式有
(3-1)
物质点Q是P点邻域内的一个点，Q点的坐标为(x，y，z)，位置矢量为，P点和Q点的坐标分量之间有关系
x=x0+dx； y=y0+dy； z=z0+dz (3-2)
变形后Q点运动到Q /点，Q /点的坐标为(x/, y/, z/)，位置矢量为，Q点的位移=U=-，写成分量形式为
(3-3)
由于位移性质3，P点的位移U可以写成U0(x0，y0，z0)，其分量形式为
u0(x0，y0，z0)；v0(x0，y0，z0)；w0(x0，y0，z0) (3-4)
显然，P/点的坐标为
x0/=x0+u0；y0/=y0+v0；z0/=z0+w0
因此P的位移的分量可从下式求出
u0= x0/- x0；v0= y0/- y0；w0= z0/- z0
同理Q点的位移可以写为U(x, y, z)，或者U(x0+dx, y0+dy, z0+dz)。其分量形式为
u(x，y，z)；v(x，y，z)；w(x，y，z)
或者
u(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；v(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；w(x0+dx，y0+dy，z0+dz) (3-5)
位移性质3还表明，位移是位置的单值连续函数，因此Q点的位移U可以用P点的位移U0表示。即Q点的位移分量u、v、w，可以用P点的位移分量u0、v0、w0表示。将u、v、w展开为P点位移的Taylor级数，并略去二阶以上小量

注意到u(P)就是u0，并且记住各个偏导数都是在P点进行的，则上式可简写为
(3-6a)
同理可以得到
(3-6b)
(3-6c)
用矩阵表示，则有
(3-7a)
式中是Q的的位移矢量，是P的位移矢量。P点和Q点的相对位移(即两点位移之差)为
(3-7b)
(3-7)式右端的矩阵称为相对位移矩阵。矩阵中的各个偏导数，都是在P点进行的，即
(i, j=x, y, z)
(3-7b)式还可写成矢量形式
(i, j=x, y, z) (3-8)
此处已令

注意式左端的u是相对位移矢量，不是位移矢量。(3-7)和(3-8)表明，只要P点的位移已知，则P点邻域内任一点Q的位移都是已知的。

第二节 变形描述

物体的变形是通过一点邻域内的局部几何变化描述的。讨论伸长应变需要研究连接P点和 P /点的微线元长度的变化。讨论角应变需要通过研究连接P点和P/点、Q/点组成的两微线元夹角的变化。
应变的定义(工程应变)
正应变也叫伸长度，其定义为

从上式可以看出，正应变是线段相对长度的变化，弹性力学中，以线元的伸长为正，压缩为负。剪应变也称角应变，其定义为
角应变=两线元所夹角度的改变量
在弹性力学中规定，若夹角减少，其角应变为正，反之角应变为负。
一点的应变
过P点做一个微小六面体，它的各个平面与坐标面平行，因此，它的各个棱边平行于坐标轴。我们规定过P点且平行于各坐标轴的线元(即微小六面体的棱边)长度的相对变化为，并规定过P点任意两段线元夹角的改变为。
正应变(伸长应变)
下面推导应变分量与位移分量之间的关系，将图3-2中的微小六面体投影到各个坐标面上。研究原来互相垂直的两个线元，AB与AC的相对位移与变形。按伸长度和应变的定义，从图2-3中可以看出
图3-2

x
y
O
图3-3
A
C
B

， (3-9a,b)
A点的坐标为(x0，y0)，A /点的坐标为(x0 + u0，y0 + v0)从图中可以看出，线段AB的长度为AB = dx，B //点在x方向上的坐标为，因此线段A /B //的长度为
A /B //= B //A /
即

而

上式已将简记为。将以上两式代入(3-9a)式得到
(3-10a)
线段AC的长度为AC = dy。C //点在y方向的坐标为，线段A /C //的长度为
A /C //= C //A /
即

因此

上式已将简记为。将以上两式代入(3-9b)式得到
(3-10b)
若将微小六面体投影到xoz或yoz平面，按同样的做法可以得到
(3-10c)
(3-10a，b，c)表明，，，分别是原来平行于x、y、z轴的线元在x、y、z方向的伸长度，即伸长应变或正应变。
剪应变(角应变)
现在考察线元AB和AC的夹角的变化。定义是原来平行于x轴的线元AB向y方向的偏转角，是原来平行于y轴的线元AC向x方向的偏转角。是原来垂直的两线元AB、AC夹角的改变量，即
(3.11)
由于小变形，且AB、AC是微线元，这表明A/B//、A/C//也是微线元，因此，
从图3.3可以看出
，
在y方向的坐标为，点在y方向的坐标为，因此线段，简写为，这样

点在x方向的坐标为，点在x方向的坐标为，因此线段，简写为，线段简写为，因此
在小变形情况下有

因此
(3-11 a, b)
这样
(3-12a)
将微小六面体分别投影到xoz平面和yoz平面，按同样的做法可以得到

此处，、、、有类似于、的意义。
， (3-12b，c)
现在我们搞清了相对于位移矩阵中的每一项的几何意义。从上面的推导过程容易看出
(3-13)
即角应变是对称的，从角应变的定义也同样可以得到这个结论。
刚体转动（对相对位移矩阵的进一步分析）
相对位移矩阵中，已经扣除了刚体平动，但包含刚体转动，因而不能反映纯变形。
证明如下：从图3.4可以看出

因此
(a)
从图3-4中还可以看出

因此
(b)
x
y
O
图3-4

将(a)代入(b)可以得到

注意到(3-11)，并令，则有
(3-14c)
对比(3-12a)和(3-14c)
；
可以看出不反映由变形引起的角度变化，因此是刚体转动，实际上是微元体变形时，角平分线绕z轴的刚体转动。
从(3-12a)和(3-14c)还可以看到，
同理可以得到，绕x轴和y轴的刚体转动为
(3-14a)
(3-14b)
同样可以得到

利用(3-14)的关系，可以对相对位移矩阵可以作如下的分解

(3-15)
将(3-15)简记为
(3-16)

显然
，， (3-17)
按照前面的讨论，(3-16)式右端的第一个矩阵表示纯变形，因此称为应变矩阵。显然应变矩阵是对称的。(3-16)式右端第二个矩阵反映刚体转动，因此称为转动矩阵，显然转动矩阵的反对称的。
一般约定当两个下标重复时，只记一个下标，即，，。则应变矩阵为

如果记
，，
则上式右端第二个矩阵可记为
(3-19)
(3-19)式称为转动矩阵，是反对称的。转动矩阵还可以记为
(i, j=x, y, z) (3-20)
显然
，，
(3-21)
按照上面的分析和理论力学中关于转动的定义，可以看出是矢量，分别表示绕x轴、y轴和z轴的转动，它们的合矢量是
(3-22)
转动矢量和它的每一个分量，还可以写成以下便于记忆的方式
(3-23)
此处
(3-24)
是矢量微分算子，称为Hamilton算子(operator)，U是位移矢量。按矢量分析
(3-25)
从(3-25)式很容易看出
；； (3-26)
位移的分解与合成
从上面的分析可以得到，微线元的位移由三部分组成：
1、跟随P点的刚体平移；
2、线元的刚体转动，(或者p、q、r)；
3、线元的伸长变形。

第三节 线元长度和夹角的改变

上一节的讨论是针对特殊的线元，即过P点的，平行于x、y、z方向的线元展开的。
由此出发，对相对位移矩阵中各元素的几何意义进行了讨论。这引出一个问题，以上对特殊线元的讨论能否推广到一般情况，即过P点的任意方向的一个微线元的伸长度和过P点的任意两个方向微线元夹角的改变，下面的讨论将证明：只要P (x, y, z)处的应变已知，则过P点的任意方向微线元的伸长度和两个微线元夹角的改变都可以决定。
图3-5

图3-6

也就是说，只要P点的应变已知，则P点邻域内的变形状态就被确定了。
任意有向线段的伸长度(正应变)
讨论图3-6中过P点的微线元长度的变化。从图3-6中可以看到，变形以后P点运动到P /点，M点运动到M /。微线元变为。n1和n2是变形前后微线元上的单位矢量。P点的坐标为(x0, y0, z0)，M点的坐标为(x0+dx, y0+dy, z0+dz)。记有向线段为dr，dr的方向余弦为(l, m, n)。因此，dr在x、y、z方向上的投影为
(3-26)
式中是线段的长度。
若P点在x， y，z方向位移的分量分别u 0 (x0, y0, z0)，v0 (x0, y0, z0) 和w0 (x0, y0, z0)已知，则按位移的性质3，M点在x， y，z方向位移的分量分别为

上式可改写为

利用几何方程上式变为
(3-27a)
同理
(3-27b)
(3-27c)
以上各方程右端的位移和导数均在(x0, y0, z0)处取值。变形以后P点运动到P/点，坐标为(x0+u0, y0+v0, z0+w0)，M点运动到M /点，坐标为(x0+dx+u, y0+dy+v, z0+dy+w)。变形以后线段变为。记有向线段为dr /，dr /长度为。在x， y，z方向的三个分量分别为
；； (3-28)
的长度的平方为
(3-29)
将(3-27a, b, c)式代入(3-29)式得到
(a)
上式两端被dr2除，并注意到
(b)
因此

展开上式并注意到对于小变形，可以忽略应变的交叉项和平方项，便得到

化简上式得到

注意到对小变形
；；
得到
(3-30)
另一方面，由伸长度的定义，线段的正应变为
(3-31a)
(3-31b)
因此
(3-32a)
同理的平方项可以忽略，这样
(3-32b)
将(3-32b)代入(3-30)得到

(3-33)
上式表明，如P点的应变已知，则过P点的任意方向的有向线段的伸长度已知。如线段平行于x轴，则它的方向余弦为（l，0，0），由(3-33)式可导出
(3-34a)
若平行于y轴，其方向余弦为（0，m，0），则从(3-33)式得到
(3-34b)
若平行于z轴，其方向余弦为（0，0，n），则从(3-33)式得到
(3-34c)
以上是对过P点的任意有向线元变形的分析得到的(3-34)式，与前面为平行坐标轴的有向线元变形的分析一致。这再一次表明，、、分别是原来平行于x、y、z轴的有向微线元的伸长度。
任意两个有向线元夹角的变化(角应变)
考察过P点两条有向线段和，的方向余弦(l, m, n)，的方向余弦(l1, m1, n1)。变形以后，P点、M点、N点运动到P /点、M /点、N /点，相应的有向线段为、。它们的方向余弦分别为(l /，m /，n / )、(l1/, m1/, n1/ )。变形前的长度为dr，变形后的长度为dr /。因此
图3-7

，， (3-35)
式中，dx /、dy /、dz /是dr /在x、y、z方向的投影长度，由(3-28)式确定。将(3-27a)代入(3-28)的第一式可得

因此

将(3-31b)代入上式可得
(3-36)
利用级数展开的技巧

可以得到

对于小变形，分母中的可忽略，因此
(3-37)
将(3-37)代入(3-36)得到

对于小变形，应变的乘积项可以忽略，因此
(3-38a)
同理
(3-38b)
(3-38c)
以上是对微线元变形的分析得到的，应用同样的分析方法，推导微线元的变形可以得出
(3-39a)
(3-39b)
(3-39c)
变形以前有向线段和的夹角是θ，按矢量代数
(3-40a)
变形以后，有向线段和的夹角是
(3-40b)
由(3-38a)和(3-39a)可以得到

略去应变的平方项和交叉项，得到

同理

因此

从上式和(3-40)式得到
(3-40)
由于(l, m, n)和(l1, m1, n1)是已知的，因此可以从(3-33)求出，并按照方向余弦依次替换的方法还可以从(3-33)式求出。另外由于有向线段和变形前的夹角是已知的，因此(3-40)中的也可以求出。这样变形后两线段的夹角可以从(3-40)中求出，并可进一步求出变形前后线段角度的变化。
下面讨论一种特殊的情况。变形以前有向线段和互相垂直，但不平行坐标轴的情况。如图3-8 所示。

图3-8

从三角学可以得到

证明如下：

如果令，并且，则

对于小变形，因此，，这样
，
因此从(3-40)可以得到
(3-41)
可以用另外一种方式得到(3-41)，若，则将展开为处的Taylor级数，可得

略去二阶以上小量

若，则

上式右端的负号表示变形后两线段夹角增加。
从(3-41)出发，我们讨论一些特殊情况
1、若平行于x轴，平行于y轴，的方向余弦(l, m, n)=(1, 0, 0)， 的方向余弦(l1, m1, n1)=(0, 1, 0)，将它们代入(3-41)，得到
(3-42a)
2、若平行于y轴，则方向余弦(l, m, n)=(0, 1, 0)，平行于z轴，方向余弦(l1, m1, n1)=(0, 0, 1)，将它们代入(3-41)，得到
(3-42b)
3、若平行于z轴，则方向余弦(l, m, n)=(0, 0, 1)，平行于x轴，方向余弦(l1, m1, n1)=(1, 0, 0)，将它们代入(3-41)，得到
(3-42c)
上面的讨论表明，分别表示原来平行于坐标轴的两个线段，变形以后角度的改变。与3.1节讨论的结果一致。这是意料之中的。但必须指出，这些结论只有在小变形的条件下才成立。

第四节 应变张量的坐标变换

如果我们令有向线段、、两两垂直，张成新的坐标空间，是x/ 轴，是y/ 轴，是z/ 轴，并且新旧坐标之间的关系如表3-1所示
图3-9

表3-1

x
y
z
x /
l1
m1
n1
y/
l2
m2
n2
z/
l3
m3
n3

则从(3-33)可以得到新坐标系中的正应变，从(3-40)可以得到，新坐标系中的剪应变，它们为
(3-41a)
(3-41b)
(3-41c)
(3-41d)
(3-41e)
(3-41f)
将(3-41)写成矩阵形式，有
(3-42)
(3-42)式正是二阶张量的定义，这表明一点的应变分量的集合是二阶张量。且(3-42)式与应力分量的坐标变换类似，也可以简写为
(3-43)
式中是坐标变换矩阵，是它的转置。
(3-42)式还可以写成如下形式
(3-44)
按应力分量坐标变化的类似方法，对新坐标系中第k行，第l列的应变分量也可以得到下列变换公式
(3-45)
可以验证(3-45)与(3-44)完全相同，但(3-45)对于只学过矢量分析而没有学过张量分析的人更便于记忆。
**利用下标记法记号，应变分量还可表示为

逗号前的下标是分量指标，逗号以后是导数指标，式中表示对坐标求偏导即

同样转动分量可以表示成

(3-46)
由于
(3-47a,b)
若位移二阶导数存在且连续，则可交换求导顺序，因此上式变为
(3-48a,b)
对比(3-48a,b)和(3-46)可得应力分量和转动分量有下列关系
(3-49)
必须注意的是到下面九个量的全体

不是张量。
以上对应变是二阶张量的证明是将式(3-44)表示的应变的坐标变换，与式(2++)表示的应力的坐标变换进行比较得到的，但是应变分量的坐标变换也完全可以由分析的方法得到，并同时得到应变是二阶张量的结论。
将两组坐标系分别记为和，如图3.10所示，表3-2和表3-3是这两个坐标系坐标变换的两种等价的表示方法。
表3-3中是旧坐标系中j方向的单位矢量，是新坐标系中j/方向的单位矢量。对比表1和表2有，此处第一个下标“l”表示行号，第二个下标“k”表示列号，并且规定以新系中的坐标方向表示行号，以旧系中的坐标方向表示列号，在这样的规定下

相对于这两个坐标系，物体中任一点P的位置矢量为
(3-50a,b)
图3.10

表3-3 新旧坐标的变换关系
表3-2 新旧坐标的变换关系

1
2
3
1/
l11
l12
l13
2/
l21
l22
l23
3/
l31
l32
l33

1
2
3
1/

2/

3/

显然，这两个矢量是对同一点P的位置的不同表示方法，而P的的位置与坐标系的选择无关，因此它们相等，有
(3-51)
(3-52)
先用，然后用与上式做内积(此处就是矢量的点积)，并注意到上面关于方向余弦的规定有
(3-53a,b)
从上式可以得到
(3-54a,b)
另一方面利用复合函数求导法则可以得到
(3-55a,b)
在式(3-55a,b)中，m是哑标，对m求和展开后得到
(3-56a)
(3-56b)
从表3-2容易看出，式(3-56a)是两个列向量的点积，式(3-56b)是两个行向量的点积。由于和都是正交坐标系，因此
(3-57a,b)
此处，是Kronercker符号
(3-58)
(3-57) 表示不同的行向量的点积为零，相同行向量的点积为1。(3-58) 表示不同的列向量的点积为零，相同列向量的点积为1。
从(3-57a,b)和(3-58)还可以得到
(3-59)
即将两个下标成对交换，结果不变。
现在求应变的坐标变换式，设点P的位移矢量为U，由于U是客观的，与坐标系的选择无关，因此在新系和旧系中的分解式表示是相同的，即有
(3-60)
显然

于是有
(3-61a)
类似地有
(3-61b)
对(3-61b)式两端求偏导，并利用复合函数求导法则可得

利用自由指标和哑标的换标规则，将(3-61a)写为

因此

还可以导出

即应变的坐标变换为
(3-62a)
上式右端的求和指标是k、l，即k、l是哑标，而m、n是自由指标。
类似地有
(3-63a,b)
和

因此
(3-62b)
上式右端的求和指标m、n，k、l是自由指标。(3-62a，b)正是张量的定义，因此我们分析地证明了应变是二阶张量。

第五节 应变主方向和主应变

与应力分析类似，一点的应变也有主方向和主应变。按照小变形理论，物体内某点邻域的位移由刚体平移、刚体转动和纯变形三个部分组成。变形前后，微线元方向的改变实际上是刚体转动引起的。如果在变形过程中微线元的方向不变，则称该方向上线元的伸长度为主伸长，相应的方向与主方向。
若变形前线元的方向为n，方向余弦为(l, m, n)，变形后为，方向为n/，方向余弦为(l/, m/, n/)(3-37)告诉我们l/，m/和n/可以由应变分量和转动分量完全确定
(3-38)
是方向为n的线元的伸长度。若n是主方向，则按照主方向的定义，转动分量，n/平行于n，即。这样从(3-38)式得到，主方向的方向余弦(l, m, n)满足的方程
(3-63)
上式中，已记。由，因此l、m、n不全为零。按线性代数，只有系数行列式等于零时，l、m、n才有非平凡解。
(3-64)
展开后得到
(3-65)
式中

(3-66a，b，c)

方程(3-64)是应变张量的特征方程，它的三个根就是主应变，并且还是应变张量的特征根，每一个主应变对应的方向是应变张量的特征方向。
是不变量，称为应变不变量，以便与应力不变量区分。
由于应变张量中，每个元素都是实的，并且是对称的，因此按线性代数，主应变有类似于主应力的性质
1、实数性，即全为实数；
2、不变性；
3、正交性。
4、极值性
从上面的讨论，还可以得到一个结论：
在物体内P点，至少存在三个互相正交的方向，变形以后它们仍然保持正交，在这三个正交方向上剪应变为零，而伸长度即是对应的主应变。
体积应变
定义体积应变为
(3-67)
采用两种方法进行讨论
1、在应变主方向上
此时变形前的一个六面体，其边长为dx、dy、dz，体积为dV0=dxdydz，按上面的结论，在这些互相正交的方向上没有剪应变，因此有
(3-68)
换言之
(3-69)
因此变形以后的体积

或者

展开上式，并考虑到对于小变形，应变的交叉项可以忽略，则有

因此
(3-70)
上式表明应变第一不变量是体积变形。
2、在任意方向上
此时

由于应变分量和转动分量的平方项和乘积项是高阶小量，可以略去。因此

仍然可以得到(3-70)式。

第六节 应变协调方程

在小变形情况下，六个应变分量通过六个几何方程与三个位移分量相联系

若已知位移，可由上式求应变，若已知应变，利用上式求位移时，由于方程数目超过未知数的数目，因此对任意给定的，一般无法从上式求出位移。
从几何上讲(严格地说几何连续性要求)，变形以前连续的物体，在变形以后继续保持连续，这意味着，原来紧挨在一起的两点，变形后继续紧挨在一起，原来分离的两点，变形后依然是两个点，不会重叠。
这三种情况中，第一种情况，变形协调，后两种情况变形不协调。
从数学的角度，变形协调意味着6个应变不能任意取值。下面我们从几何方程直接导出变形协调方程

变形前
变形后
变形前
变形后
变形后
变形前

从上式可以得到

注意到偏导数求导顺序无关，得到
(3-71a)
可类似地得到
(3-71b)
(3-71c)
在以上三个式子中，，，分别是xy平面，yz平面和zx平面内的应变分量。因此可称之为同一坐标平面内的应变分量之间的协调方程。下面推导不同坐标平面内应变分量之间的关系
(e)
而
(f)
从(e)和(f)可以得到
(3-71d)
类似地可以得到其它两个关系
(3-71e)
(3-71f)
以上变形协调方程仅是直角坐标中的特例，在一般情况下变形协调方程共有81个，但其中只有6个是独立的。下面利用应变分量的张量记法说明这个问题。
小应变张量的二阶偏导数为
(3-72a)
上式中i，j是分量指标，k，l是导数指标。将分量指标和导数指标双双交换，可得
(3-72b)
将(3-72a)右端的某个分量指标和导数指标交换一下，例如将j和k交换，可得
(3-72c)
将上式中的分量指标和导数指标双双交换，得到
(3-72d)
(3-72)式的右端出现位移分量，的四个三阶偏导数。当位移场单值连续，并存在三阶以上连续的偏导数时，偏导数与求导顺序无关，因此从(3-72a、b、c、d)可以得到
(3-73)
上式是表明应变分量不是任意取值的，因此位移单值连续或者说变形协调的必要条件。由于i、j、k、l的取值范围是x1、x2、x3，所以(3—73)式是81个方程，这也就是说，变形协调方程一共有81个，但这81个方程中只有6个是独立的。下面说明这一点
将(3-73)式中指标j、k互换，得到
(3-74)
将上式与(3-73)式对比，可以看出(3-73)式关于j、k是反对称的，因此当时，j、k可能的组合只有和，由于后三种情况与前三种情况只差一个负号，因此在这六种可能的组合中，只有三种是独立的。因此协调方程(3-73)
只有27个是独立的。
对(3-73)式互换i、l得到
(g)
注意到应变张量的对称性和偏导数与求导顺序无关，可得
(h)
将(h)式代入(g)式，得到
(i)
比较(i)式和(3-73)式可以看出，协调方程(3-73)式对i、l也是反对称的。这样在的可能的组合中和中后三种组合与前三种组合只差一个负号，这样协调方程(3-73)只有9个是独立的。
将导数指标和分量指标成对地交换，得到
(j)
可以看出(j)式与(3-73)式完全相同，在9个可能的组合中，导数指标与分量指标完全相同的情况有三种，对这三种情况，交换导数指标与分量指标得到的是恒等式。保留这三种可能性，在其它六种可能性中，只有三种是独立的。因此协调方程(3-73)式只有6个独立的方程，证毕。

第七节 位移单值条件

从数学上，正交直角坐标系中的六个方程(3-71a~f ) 也是位移场的单值的条件。下面讨论这个问题。
首先，注意到相对位移矩阵与应变张量和小转动张量之间有关系
(3-75)
并记
(3-76a, b, c)
考虑物体中的两个点M0，M1，以及联结M0M1的曲线s，如下图所示。s是不越出体积V的曲线，M0点的坐标为，M1点的坐标是，M0点的位移是已知的，M0点处的应变分量和小转动张量也已知，现在要从几何方程，求M1点的位移，，。按照位移分析，我们知道
(3-77)
上式是位移u在曲线s上的第二类曲线积分。
3-11

位移场的单值性
从几何方程(3-10)和(3-12)式，可知

考虑到上两式，积分(3-77)变为
(3-78)
由于，则上式右端第二个积分，可以改写为

利用分部积分可得

注意到在M1点，y=y1，z=z1。在M0点，y=y0，z=z0，r=r0(x0, y0, z0)，q=q0(x0, y0, z0)，因此有
(3-79)
而
(k)
注意到(3-76b, c)式，可得

(l)

(m)

我们顺便给出的偏导数

(n)

将(l)式、(m)式代入(g)式，得到
(o)
将(fo)式代入线积分中，得

(p)
将(k)式代入(3-79)式，然后再代入(3-78)式得到
(3-80a)
式中

(3-81a)

按同样的过程(实际上只需要采用指标转换的方法)，可得
(3-80b)
式中

(3-81b)

(3-80c)
式中

(3-81c)

注意到是刚体平动，p0、q0、r