岩石力学之-应变分析.doc

第三章 应变分析物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的目的是研究物体局部几何变化和物体内各点的位移。这种研究以物体内部各点的初始位置和它们之间的关系为基础。物体的变形或位移是在外部作用下发生的，也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究物体的变形。不涉及外部因素，也不过问材料性质。是一种不涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析。所得的结论适用于任何连续介质。第一节 位移描述称物体变形前在空间占据的几何位置为构形B，变形以后占据的新的空间位置为构形B/。变形前物体中的三个质点P、Q、R，变形后到达新的位置P/、Q/、R/。用固定在空间中的笛卡儿坐标系，同时描述新、老两个构形。我们以初始构形中质点的位置标志质点。这样，P、Q、R既是质点的初始位置，也是质点的标识(或标志)。图3-1B /BUU0PQP /Q/位移的性质物体的连续性要求，其初始构形被不同的质点连续地、无间隙地充填。其后继构形B/被同样的质点连续地、无间隙地充填。从连续性假定，连同图3.1可以得到位移与变形的下列性质：1、变形以前的点与变形以后的点有一一对应关系。(从数学上，这意味着反函数存在且唯一，若连则反函数的导数也连续且唯一)；2、物体中各点的位移一般是不同的；从上面两条性质可以导出：3、位移是位置的单值连续函数；4、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了变形和刚体运动。相对位移矩阵(对连续体运动和位移的一种数学描述)考虑物质点P，其坐标为(x0，y0，z0)，位置矢量为。变形后P点运动到P/点，其坐标为，位置矢量为。P点的位移为，写成分量形式有 (3-1)物质点Q是P点邻域内的一个点，Q点的坐标为(x，y，z)，位置矢量为，P点和Q点的坐标分量之间有关系x=x0+dx； y=y0+dy； z=z0+dz (3-2)变形后Q点运动到Q /点，Q /点的坐标为(x/, y/, z/)，位置矢量为，Q点的位移=U=-，写成分量形式为 (3-3)由于位移性质3，P点的位移U可以写成U0(x0，y0，z0)，其分量形式为u0(x0，y0，z0)；v0(x0，y0，z0)；w0(x0，y0，z0) (3-4)显然，P/点的坐标为x0/=x0+u0；y0/=y0+v0；z0/=z0+w0因此P的位移的分量可从下式求出u0= x0/- x0；v0= y0/- y0；w0= z0/- z0同理Q点的位移可以写为U(x, y, z)，或者U(x0+dx, y0+dy, z0+dz)。其分量形式为u(x，y，z)；v(x，y，z)；w(x，y，z)或者u(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；v(x0+dx，y0+dy，z0+dz)；w(x0+dx，y0+dy，z0+dz) (3-5)位移性质3还表明，位移是位置的单值连续函数，因此Q点的位移U可以用P点的位移U0表示。即Q点的位移分量u、v、w，可以用P点的位移分量u0、v0、w0表示。将u、v、w展开为P点位移的Taylor级数，并略去二阶以上小量注意到u(P)就是u0，并且记住各个偏导数都是在P点进行的，则上式可简写为 (3-6a)同理可以得到 (3-6b) (3-6c)用矩阵表示，则有 (3-7a)式中是Q的的位移矢量，是P的位移矢量。P点和Q点的相对位移(即两点位移之差)为 (3-7b)(3-7)式右端的矩阵称为相对位移矩阵。矩阵中的各个偏导数，都是在P点进行的，即 (i, j=x, y, z)(3-7b)式还可写成矢量形式(i, j=x, y, z) (3-8)此处已令注意式左端的u是相对位移矢量，不是位移矢量。(3-7)和(3-8)表明，只要P点的位移已知，则P点邻域内任一点Q的位移都是已知的。第二节 变形描述物体的变形是通过一点邻域内的局部几何变化描述的。讨论伸长应变需要研究连接P点和 P /点的微线元长度的变化。讨论角应变需要通过研究连接P点和P/点、Q/点组成的两微线元夹角的变化。应变的定义(工程应变)正应变也叫伸长度，其定义为从上式可以看出，正应变是线段相对长度的变化，弹性力学中，以线元的伸长为正，压缩为负。剪应变也称角应变，其定义为角应变=两线元所夹角度的改变量在弹性力学中规定，若夹角减少，其角应变为正，反之角应变为负。一点的应变过P点做一个微小六面体，它的各个平面与坐标面平行，因此，它的各个棱边平行于坐标轴。我们规定过P点且平行于各坐标轴的线元(即微小六面体的棱边)长度的相对变化为，并规定过P点任意两段线元夹角的改变为。正应变(伸长应变)下面推导应变分量与位移分量之间的关系，将图3-2中的微小六面体投影到各个坐标面上。研究原来互相垂直的两个线元，AB与AC的相对位移与变形。按伸长度和应变的定义，从图2-3中可以看出图3-2xyO图3-3ACB， (3-9a,b)A点的坐标为(x0，y0)，A /点的坐标为(x0 + u0，y0 + v0)从图中可以看出，线段AB的长度为AB = dx，B /点在x方向上的坐标为，因此线段A /B /的长度为A /B /= B /A /即而上式已将简记为。将以上两式代入(3-9a)式得到 (3-10a)线段AC的长度为AC = dy。C /点在y方向的坐标为，线段A /C /的长度为A /C /= C /A /即因此上式已将简记为。将以上两式代入(3-9b)式得到 (3-10b)若将微小六面体投影到xoz或yoz平面，按同样的做法可以得到 (3-10c)(3-10a，b，c)表明，分别是原来平行于x、y、z轴的线元在x、y、z方向的伸长度，即伸长应变或正应变。剪应变(角应变)现在考察线元AB和AC的夹角的变化。定义是原来平行于x轴的线元AB向y方向的偏转角，是原来平行于y轴的线元AC向x方向的偏转角。是原来垂直的两线元AB、AC夹角的改变量，即 (3.11)由于小变形，且AB、AC是微线元，这表明A/B/、A/C/也是微线元，因此，从图3.3可以看出，在y方向的坐标为，点在y方向的坐标为，因此线段，简写为，这样点在x方向的坐标为，点在x方向的坐标为，因此线段，简写为，线段简写为，因此在小变形情况下有因此 (3-11 a, b)这样 (3-12a)将微小六面体分别投影到xoz平面和yoz平面，按同样的做法可以得到此处，、有类似于、的意义。 ， (3-12b，c)现在我们搞清了相对于位移矩阵中的每一项的几何意义。从上面的推导过程容易看出 (3-13)即角应变是对称的，从角应变的定义也同样可以得到这个结论。刚体转动（对相对位移矩阵的进一步分析）相对位移矩阵中，已经扣除了刚体平动，但包含刚体转动，因而不能反映纯变形。证明如下：从图3.4可以看出因此 (a)从图3-4中还可以看出因此 (b)xyO图3-4将(a)代入(b)可以得到注意到(3-11)，并令，则有 (3-14c)对比(3-12a)和(3-14c)； 可以看出不反映由变形引起的角度变化，因此是刚体转动，实际上是微元体变形时，角平分线绕z轴的刚体转动。从(3-12a)和(3-14c)还可以看到，同理可以得到，绕x轴和y轴的刚体转动为 (3-14a) (3-14b)同样可以得到利用(3-14)的关系，可以对相对位移矩阵可以作如下的分解 (3-15)将(3-15)简记为 (3-16)显然， (3-17)按照前面的讨论，(3-16)式右端的第一个矩阵表示纯变形，因此称为应变矩阵。显然应变矩阵是对称的。(3-16)式右端第二个矩阵反映刚体转动，因此称为转动矩阵，显然转动矩阵的反对称的。 一般约定当两个下标重复时，只记一个下标，即，。则应变矩阵为如果记，则上式右端第二个矩阵可记为 (3-19)(3-19)式称为转动矩阵，是反对称的。转动矩阵还可以记为(i, j=x, y, z) (3-20)显然， (3-21)按照上面的分析和理论力学中关于转动的定义，可以看出是矢量，分别表示绕x轴、y轴和z轴的转动，它们的合矢量是 (3-22)转动矢量和它的每一个分量，还可以写成以下便于记忆的方式 (3-23)此处 (3-24)是矢量微分算子，称为Hamilton算子(operator)，U是位移矢量。按矢量分析 (3-25)从(3-25)式很容易看出； (3-26) 位移的分解与合成从上面的分析可以得到，微线元的位移由三部分组成：1、跟随P点的刚体平移；2、线元的刚体转动，(或者p、q、r)；3、线元的伸长变形。第三节 线元长度和夹角的改变上一节的讨论是针对特殊的线元，即过P点的，平行于x、y、z方向的线元展开的。由此出发，对相对位移矩阵中各元素的几何意义进行了讨论。这引出一个问题，以上对特殊线元的讨论能否推广到一般情况，即过P点的任意方向的一个微线元的伸长度和过P点的任意两个方向微线元夹角的改变，下面的讨论将证明：只要P (x, y, z)处的应变已知，则过P点的任意方向微线元的伸长度和两个微线元夹角的改变都可以决定。图3-5图3-6也就是说，只要P点的应变已知，则P点邻域内的变形状态就被确定了。任意有向线段的伸长度(正应变)讨论图3-6中过P点的微线元长度的变化。从图3-6中可以看到，变形以后P点运动到P /点，M点运动到M /。微线元变为。n1和n2是变形前后微线元上的单位矢量。P点的坐标为(x0, y0, z0)，M点的坐标为(x0+dx, y0+dy, z0+dz)。记有向线段为dr，dr的方向余弦为(l, m, n)。因此，dr在x、y、z方向上的投影为 (3-26)式中是线段的长度。若P点在x， y，z方向位移的分量分别u 0 (x0, y0, z0)，v0 (x0, y0, z0) 和w0 (x0, y0, z0)已知，则按位移的性质3，M点在x， y，z方向位移的分量分别为上式可改写为利用几何方程上式变为 (3-27a)同理 (3-27b) (3-27c)以上各方程右端的位移和导数均在(x0, y0, z0)处取值。变形以后P点运动到P/点，坐标为(x0+u0, y0+v0, z0+w0)，M点运动到M /点，坐标为(x0+dx+u, y0+dy+v, z0+dy+w)。变形以后线段变为。记有向线段为dr /，dr /长度为。在x， y，z方向的三个分量分别为； (3-28)的长度的平方为 (3-29)将(3-27a, b, c)式代入(3-29)式得到 (a)上式两端被dr2除，并注意到 (b)因此展开上式并注意到对于小变形，可以忽略应变的交叉项和平方项，便得到化简上式得到注意到对小变形；得到 (3-30)另一方面，由伸长度的定义，线段的正应变为 (3-31a) (3-31b)因此 (3-32a)同理的平方项可以忽略，这样 (3-32b)将(3-32b)代入(3-30)得到 (3-33)上式表明，如P点的应变已知，则过P点的任意方向的有向线段的伸长度已知。如线段平行于x轴，则它的方向余弦为（l，0，0），由(3-33)式可导出 (3-34a)若平行于y轴，其方向余弦为（0，m，0），则从(3-33)式得到 (3-34b)若平行于z轴，其方向余弦为（0，0，n），则从(3-33)式得到 (3-34c)以上是对过P点的任意有向线元变形的分析得到的(3-34)式，与前面为平行坐标轴的有向线元变形的分析一致。这再一次表明，、分别是原来平行于x、y、z轴的有向微线元的伸长度。任意两个有向线元夹角的变化(角应变)考察过P点两条有向线段和，的方向余弦(l, m, n)，的方向余弦(l1, m1, n1)。变形以后，P点、M点、N点运动到P /点、M /点、N /点，相应的有向线段为、。它们的方向余弦分别为(l /，m /，n / )、(l1/, m1/, n1/ )。变形前的长度为dr，变形后的长度为dr /。因此图3-7， (3-35)式中，dx /、dy /、dz /是dr /在x、y、z方向的投影长度，由(3-28)式确定。将(3-27a)代入(3-28)的第一式可得因此将(3-31b)代入上式可得 (3-36)利用级数展开的技巧 可以得到 对于小变形，分母中的可忽略，因此 (3-37)将(3-37)代入(3-36)得到 对于小变形，应变的乘积项可以忽略，因此 (3-38a)同理 (3-38b) (3-38c)以上是对微线元变形的分析得到的，应用同样的分析方法，推导微线元的变形可以得出 (3-39a) (3-39b) (3-39c)变形以前有向线段和的夹角是，按矢量代数 (3-40a)变形以后，有向线段和的夹角是 (3-40b)由(3-38a)和(3-39a)可以得到略去应变的平方项和交叉项，得到同理因此从上式和(3-40)式得到 (3-40)由于(l, m, n)和(l1, m1, n1)是已知的，因此可以从(3-33)求出，并按照方向余弦依次替换的方法还可以从(3-33)式求出。另外由于有向线段和变形前的夹角是已知的，因此(3-40)中的也可以求出。这样变形后两线段的夹角可以从(3-40)中求出，并可进一步求出变形前后线段角度的变化。下面讨论一种特殊的情况。变形以前有向线段和互相垂直，但不平行坐标轴的情况。如图3-8 所示。图3-8从三角学可以得到证明如下：如果令，并且，则对于小变形，因此，这样，因此从(3-40)可以得到 (3-41)可以用另外一种方式得到(3-41)，若，则将展开为处的Taylor级数，可得略去二阶以上小量若，则上式右端的负号表示变形后两线段夹角增加。从(3-41)出发，我们讨论一些特殊情况1、若平行于x轴，平行于y轴，的方向余弦(l, m, n)=(1, 0, 0)， 的方向余弦(l1, m1, n1)=(0, 1, 0)，将它们代入(3-41)，得到 (3-42a)2、若平行于y轴，则方向余弦(l, m, n)=(0, 1, 0)，平行于z轴，方向余弦(l1, m1, n1)=(0, 0, 1)，将它们代入(3-41)，得到 (3-42b)3、若平行于z轴，则方向余弦(l, m, n)=(0, 0, 1)，平行于x轴，方向余弦(l1, m1, n1)=(1, 0, 0)，将它们代入(3-41)，得到 (3-42c)上面的讨论表明，分别表示原来平行于坐标轴的两个线段，变形以后角度的改变。与3.1节讨论的结果一致。这是意料之中的。但必须指出，这些结论只有在小变形的条件下才成立。第四节 应变张量的坐标变换如果我们令有向线段、两两垂直，张成新的坐标空间，是x/ 轴，是y/ 轴，是z/ 轴，并且新旧坐标之间的关系如表3-1所示图3-9表3-1xyzx /l1m1n1y/l2m2n2z/l3m3n3则从(3-33)可以得到新坐标系中的正应变，从(3-40)可以得到，新坐标系中的剪应变，它们为 (3-41a) (3-41b) (3-41c) (3-41d) (3-41e) (3-41f)将(3-41)写成矩阵形式，有 (3-42)(3-42)式正是二阶张量的定义，这表明一点的应变分量的集合是二阶张量。且(3-42)式与应力分量的坐标变换类似，也可以简写为 (3-43)式中是坐标变换矩阵，是它的转置。(3-42)式还可以写成如下形式 (3-44)按应力分量坐标变化的类似方法，对新坐标系中第k行，第l列的应变分量也可以得到下列变换公式 (3-45)可以验证(3-45)与(3-44)完全相同，但(3-45)对于只学过矢量分析而没有学过张量分析的人更便于记忆。*利用下标记法记号，应变分量还可表示为逗号前的下标是分量指标，逗号以后是导数指标，式中表示对坐标求偏导即同样转动分量可以表示成 (3-46)由于 (3-47a,b)若位移二阶导数存在且连续，则可交换求导顺序，因此上式变为 (3-48a,b)对比(3-48a,b)和(3-46)可得应力分量和转动分量有下列关系 (3-49)必须注意的是到下面九个量的全体不是张量。以上对应变是二阶张量的证明是将式(3-44)表示的应变的坐标变换，与式(2+)表示的应力的坐标变换进行比较得到的，但是应变分量的坐标变换也完全可以由分析的方法得到，并同时得到应变是二阶张量的结论。将两组坐标系分别记为和，如图3.10所示，表3-2和表3-3是这两个坐标系坐标变换的两种等价的表示方法。表3-3中是旧坐标系中j方向的单位矢量，是新坐标系中j/方向的单位矢量。对比表1和表2有，此处第一个下标“l”表示行号，第二个下标“k”表示列号，并且规定以新系中的坐标方向表示行号，以旧系中的坐标方向表示列号，在这样的规定下相对于这两个坐标系，物体中任一点P的位置矢量为 (3-50a,b)图3.10表3-3 新旧坐标的变换关系表3-2 新旧坐标的变换关系1231/l11l12l132/l21l22l233/l31l32l331231/2/3/显然，这两个矢量是对同一点P的位置的不同表示方法，而P的的位置与坐标系的选择无关，因此它们相等，有 (3-51) (3-52)先用，然后用与上式做内积(此处就是矢量的点积)，并注意到上面关于方向余弦的规定有 (3-53a,b)从上式可以得到 (3-54a,b)另一方面利用复合函数求导法则可以得到 (3-55a,b)在式(3-55a,b)中，m是哑标，对m求和展开后得到 (3-56a) (3-56b)从表3-2容易看出，式(3-56a)是两个列向量的点积，式(3-56b)是两个行向量的点积。由于和都是正交坐标系，因此 (3-57a,b)此处，是Kronercker符号 (3-58)(3-57) 表示不同的行向量的点积为零，相同行向量的点积为1。(3-58) 表示不同的列向量的点积为零，相同列向量的点积为1。从(3-57a,b)和(3-58)还可以得到 (3-59)即将两个下标成对交换，结果不变。现在求应变的坐标变换式，设点P的位移矢量为U，由于U是客观的，与坐标系的选择无关，因此在新系和旧系中的分解式表示是相同的，即有 (3-60)显然于是有 (3-61a)类似地有 (3-61b)对(3-61b)式两端求偏导，并利用复合函数求导法则可得利用自由指标和哑标的换标规则，将(3-61a)写为因此还可以导出即应变的坐标变换为 (3-62a)上式右端的求和指标是k、l，即k、l是哑标，而m、n是自由指标。类似地有 (3-63a,b)和因此 (3-62b)上式右端的求和指标m、n，k、l是自由指标。(3-62a，b)正是张量的定义，因此我们分析地证明了应变是二阶张量。第五节 应变主方向和主应变与应力分析类似，一点的应变也有主方向和主应变。按照小变形理论，物体内某点邻域的位移由刚体平移、刚体转动和纯变形三个部分组成。变形前后，微线元方向的改变实际上是刚体转动引起的。如果在变形过程中微线元的方向不变，则称该方向上线元的伸长度为主伸长，相应的方向与主方向。若变形前线元的方向为n，方向余弦为(l, m, n)，变形后为，方向为n/，方向余弦为(l/, m/, n/)(3-37)告诉我们l/，m/和n/可以由应变分量和转动分量完全确定 (3-38)是方向为n的线元的伸长度。若n是主方向，则按照主方向的定义，转动分量，n/平行于n，即。这样从(3-38)式得到，主方向的方向余弦(l, m, n)满足的方程 (3-63)上式中，已记。由，因此l、m、n不全为零。按线性代数，只有系数行列式等于零时，l、m、n才有非平凡解。 (3-64)展开后得到 (3-65)式中 (3-66a，b，c)方程(3-64)是应变张量的特征方程，它的三个根就是主应变，并且还是应变张量的特征根，每一个主应变对应的方向是应变张量的特征方向。是不变量，称为应变不变量，以便与应力不变量区分。由于应变张量中，每个元素都是实的，并且是对称的，因此按线性代数，主应变有类似于主应力的性质1、实数性，即全为实数；2、不变性；3、正交性。4、极值性从上面的讨论，还可以得到一个结论：在物体内P点，至少存在三个互相正交的方向，变形以后它们仍然保持正交，在这三个正交方向上剪应变为零，而伸长度即是对应的主应变。体积应变定义体积应变为 (3-67)采用两种方法进行讨论1、在应变主方向上此时变形前的一个六面体，其边长为dx、dy、dz，体积为dV0=dxdydz，按上面的结论，在这些互相正交的方向上没有剪应变，因此有 (3-68)换言之 (3-69)因此变形以后的体积或者展开上式，并考虑到对于小变形，应变的交叉项可以忽略，则有因此 (3-70)上式表明应变第一不变量是体积变形。2、在任意方向上此时由于应变分量和转动分量的平方项和乘积项是高阶小量，可以略去。因此仍然可以得到(3-70)式。第六节 应变协调方程在小变形情况下，六个应变分量通过六个几何方程与三个位移分量相联系若已知位移，可由上式求应变，若已知应变，利用上式求位移时，由于方程数目超过未知数的数目，因此对任意给定的，一般无法从上式求出位移。从几何上讲(严格地说几何连续性要求)，变形以前连续的物体，在变形以后继续保持连续，这意味着，原来紧挨在一起的两点，变形后继续紧挨在一起，原来分离的两点，变形后依然是两个点，不会重叠。这三种情况中，第一种情况，变形协调，后两种情况变形不协调。从数学的角度，变形协调意味着6个应变不能任意取值。下面我们从几何方程直接导出变形协调方程变形前变形后变形前变形后变形后变形前从上式可以得到注意到偏导数求导顺序无关，得到 (3-71a)可类似地得到 (3-71b) (3-71c)在以上三个式子中，分别是xy平面，yz平面和zx平面内的应变分量。因此可称之为同一坐标平面内的应变分量之间的协调方程。下面推导不同坐标平面内应变分量之间的关系 (e)而 (f)从(e)和(f)可以得到 (3-71d)类似地可以得到其它两个关系 (3-71e) (3-71f)以上变形协调方程仅是直角坐标中的特例，在一般情况下变形协调方程共有81个，但其中只有6个是独立的。下面利用应变分量的张量记法说明这个问题。小应变张量的二阶偏导数为 (3-72a)上式中i，j是分量指标，k，l是导数指标。将分量指标和导数指标双双交换，可得 (3-72b)将(3-72a)右端的某个分量指标和导数指标交换一下，例如将j和k交换，可得 (3-72c)将上式中的分量指标和导数指标双双交换，得到 (3-72d)(3-72)式的右端出现位移分量，的四个三阶偏导数。当位移场单值连续，并存在三阶以上连续的偏导数时，偏导数与求导顺序无关，因此从(3-72a、b、c、d)可以得到 (3-73)上式是表明应变分量不是任意取值的，因此位移单值连续或者说变形协调的必要条件。由于i、j、k、l的取值范围是x1、x2、x3，所以(373)式是81个方程，这也就是说，变形协调方程一共有81个，但这81个方程中只有6个是独立的。下面说明这一点 将(3-73)式中指标j、k互换，得到 (3-74)将上式与(3-73)式对比，可以看出(3-73)式关于j、k是反对称的，因此当时，j、k可能的组合只有和，由于后三种情况与前三种情况只差一个负号，因此在这六种可能的组合中，只有三种是独立的。因此协调方程(3-73)只有27个是独立的。 对(3-73)式互换i、l得到 (g)注意到应变张量的对称性和偏导数与求导顺序无关，可得 (h)将(h)式代入(g)式，得到 (i)比较(i)式和(3-73)式可以看出，协调方程(3-73)式对i、l也是反对称的。这样在的可能的组合中和中后三种组合与前三种组合只差一个负号，这样协调方程(3-73)只有9个是独立的。 将导数指标和分量指标成对地交换，得到 (j)可以看出(j)式与(3-73)式完全相同，在9个可能的组合中，导数指标与分量指标完全相同的情况有三种，对这三种情况，交换导数指标与分量指标得到的是恒等式。保留这三种可能性，在其它六种可能性中，只有三种是独立的。因此协调方程(3-73)式只有6个独立的方程，证毕。第七节 位移单值条件 从数学上，正交直角坐标系中的六个方程(3-71af ) 也是位移场的单值的条件。下面讨论这个问题。首先，注意到相对位移矩阵与应变张量和小转动张量之间有关系 (3-75)并记 (3-76a, b, c)考虑物体中的两个点M0，M1，以及联结M0M1的曲线s，如下图所示。s是不越出体积V的曲线，M0点的坐标为，M1点的坐标是，M0点的位移是已知的，M0点处的应变分量和小转动张量也已知，现在要从几何方程，求M1点的位移，。按照位移分析，我们知道 (3-77)上式是位移u在曲线s上的第二类曲线积分。3-11位移场的单值性从几何方程(3-10)和(3-12)式，可知考虑到上两式，积分(3-77)变为 (3-78)由于，则上式右端第二个积分，可以改写为利用分部积分可得注意到在M1点，y=y1，z=z1。在M0点，y=y0，z=z0，r=r0(x0, y0, z0)，q=q0(x0, y0, z0)，因此有 (3-79)而 (k)注意到(3-76b, c)式，可得 (l) (m) 我们顺便给出的偏导数 (n)将(l)式、(m)式代入(g)式，得到 (o)将(fo)式代入线积分中，得 (p)将(k)式代入(3-79)式，然后再代入(3-78)式得到 (3-80a)式中 (3-81a)按同样的过程(实际上只需要采用指标转换的方法)，可得 (3-80b)式中 (3-81b) (3-80c)式中 (3-81c)注意到是刚体平动，p0、q0、r