一种考虑纤维桥接影响的三线性内聚力模型_旷佳.pdf

复合材料科学与工程DOI:10.19936/ki.20968000.20220828.031一种考虑纤维桥接影响的三线性内聚力模型旷佳1，2，蒋亚琴3，汪舟1，2，杨莹1，2*，甘进4，王晓丽1，2，曾飞1，2，谭理成1，2(1.武汉理工大学 汽车工程学院，武汉430070;2.现代汽车零部件技术湖北省重点实验室，武汉430070;3.上海航天精密机械研究所，上海201600;4.武汉理工大学 船海与能源动力工程学院，武汉430063)摘要:为了实现碳纤维层合板 DCB 试件型分层扩展仿真分析，学术界常采用内聚力模型建立分层扩展模型。但是目前各大商业软件上嵌入的双线性内聚力模型只能实现无纤维桥接或少量纤维桥接下的碳纤维 DCB 试件型分层扩展。现有研究发现，纤维桥接是碳纤维 DCB 试件分层扩展中不可忽视的现象。为此本文从双线性内聚力模型出发，开发了一种能够描述大范围纤维桥接的三线性内聚力模型。该模型基于两个双线性内聚力模型构建，两个双线性模型分别用于描述分层起始和纤维桥接。通过与实验结果和双线性内聚力模型数值仿真结果比较，验证了该模型的有效性和优越性。关键词:DCB 试件;内聚力模型;纤维桥接;复合材料中图分类号:TB332文献标识码:A文章编号:20968000(2023)03002707A trilinear cohesive model considering the effect of fiber bridgingKUANG Jia1，2，JIANG Yaqin3，WANG Zhou1，2，YANG Ying1，2*，GAN Jin4，WANG Xiaoli1，2，ZENG Fei1，2，TAN Licheng1，2(1.School of Automotive Engineering，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China;2.Hubei Key Laboratory of Advanced Technology for Automotive Components，Wuhan 430070，China;3.Shanghai Spaceflight Precision Machinery Institute，Shanghai 201600，China;4.School of Marine and Energy Power Engineering，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China)Abstract:In order to realize the simulation analysis of type layered expansion of carbon fiber laminate DCBspecimens，the academia often uses the cohesive force model to establish a layered expansion model However，thebilinear cohesive model embedded in the major commercial software can only realize the type layered expansionof carbon fiber DCB specimens without fiber bridging or with a small amount of fiber bridging Existing studies havefound that fiber bridging is a phenomenon that cannot be ignored in the delamination expansion of carbon fiber DCBspecimens Therefore，this paper develops a trilinear cohesion model that can describe the largescale fiber bridgingbased on the bilinear cohesive model The model is constructed based on two bilinear cohesion models，which areused to describe delamination initiation and fiber bridging，respectively The validity and superiority of the model areverified by comparing with the experimental results and the numerical simulation results of the bilinear cohesion modelKey words:DCB specimens;cohesive zone model;fiber bridging;composites收稿日期:20220318基金项目:国家自然科学基金面上项目(51879208)作者简介:旷佳(1996)，男，在读硕士，主要从事复合材料损伤方面的研究。通讯作者:杨莹(1983)，女，博士，讲师，主要从事汽车零件疲劳损伤方面的研究，。1引言对于层合板 DCB 试件分层损伤的数值仿真，学术界常采用内聚力模型实现层合板分层损伤数值模拟。这是因为内聚力模型是从临界应变能释放率的角度来判断界面是否达到分层扩展条件，且内聚力模型不仅能实现分层损伤扩展，而且能很好地描述分层起始。Dugdale1 将具有穿透裂纹薄板划分为自由区和内聚力区，最先提出内聚力理念。Barenblatt2 认为内聚力区的应力分布是关于内聚力区中的点到裂纹尖端的距离的函数。后来有学者进一步完善研722023 年第 3 期一种考虑纤维桥接影响的三线性内聚力模型究，内聚力区表面上的应力 为张开位移 的函数。研究人员根据需要选取合适的 和 函数关系，建立各种各样的内聚力模型3。目前使用最广的是双线性内聚力模型，已内嵌于各大商业软件。但是双线性内聚力模型在模拟层合板 DCB 试件分层扩展时不能解释纤维桥接带来的断裂韧性随分层扩展快速增长直至一个较高的稳定值的现象，因此开发能够描述纤维桥接带来的影响的内聚力模型对于提高层合板分层扩展数值仿真分析精度是非常重要的。本文研究采用叠加两个双线性内聚力模型构建三线性内聚力模型，其中一个双线性内聚力模型用于描述分层起始，另一个用于描述分层扩展中的纤维桥接。De Moura 等4 首先注意到不同铺层设计碳纤维层合板 DCB 试件分层扩展过程中纤维桥接区域的长度和桥接的纤维束数量是不同的，他们认为断裂韧性呈 曲线变化是由纤维桥接引起的，于是他们在碳纤维层合板 DCB 试件分层扩展实验中采用刀片，及时将产生的拔出纤维束切断，最终得到的型断裂韧性几乎一直与初始型断裂韧性相等，是一个常数。为了研究纤维桥接对型断裂韧性的影响，研究者们做了大量的研究，由 J 积分5 推导，型断裂韧性应等于初始断裂韧性和纤维桥接带来的断裂韧性，通过微分即可求得纤维桥接应力分布。但是纤维桥接应力并不是一个常数，在刚发生分层损伤时是没有纤维桥接的，而不同铺层顺序下的纤维桥接是不同的。为了获得纤维桥接应力分布，必须先研究纤维桥接分布模型。Foote 等6 和 Suo 等7 认为纤维桥接应力应该是分层尖端位移的函数，与纤维桥接区域纤维数量无关，于是他们提出了线性桥联应力分布模型。Bao 等8 和 Dvila 等9 针对单向复合材料层合板提出了均匀桥接应力分布模型。Fernberg 等 10 通过实验提出了一种纤维层合板内短纤维桥接应力准则。部分学者9，1112 基于双线性内聚力模型，考虑碳纤维层合板 DCB 试件分层扩展中大范围的纤维桥接影响，通过叠加两个双线性内聚力模型构建了新型三线性内聚力模型，构成该内聚力模型的两个双线性内聚力模型分别用来描述分层起始和纤维桥接。姚辽军13 和尹世豪14 也分别实现了考虑纤维桥接的多线性损伤内聚力模型构造，并验证了模型的有效性。本文在前人的基础上介绍了由双线性内聚力模型构造三线性内聚力模型的方法，对三线性内聚力模型的构建过程和所需参数进行了详细的推导，并将该模型应用到碳纤维层合板 DCB 试件型分层扩展仿真分析，验证了该模型的有效性和优越性。2三线性内聚力模型2.1双线性内聚力模型描述一个双线性内聚力模型仅需三个参数:界面强度 0n(0s，0t)，界面刚度 K 以及断裂韧性 GC，其中界面刚度没有明确的物理含义。双线性内聚力模型基于牵引分离准则描述损伤扩展，其示意图如图 1 所示。图 1双线性内聚力本构模型Fig.1Bilinear cohesive constitutive model0n(0s，0t)分别表示三种断裂模式下的界面强度，0n(0s，0t)分别表示三种断裂模式下的损伤起始位移，fn(fs，ft)分别表示三种断裂模式下的损伤失效位移。用内聚力模型描述层间损伤行为也包含损伤起始和损伤演化两个过程。图 1 中，当牵引力小于界面强度时，没有满足损伤起始条件，此时损伤没有发生;当牵引力等于界面强度时，满足损伤起始条件，此时 SDEG(刚度退化参数)=0;随后随着界面分离位移增加，牵引力下降，界面将发生损伤演化直至完全失效，此时 SDEG=1。对于双线性内聚力本构界面应力、损伤状态参数 D、界面强度参数 0n、损伤起始位移 0n、损伤失效位移 fn、界面刚度参数 K及断裂韧性参数 GC，有以下关系:=Knn 0n(1 D)Kn0nn fn0fnn(1)D=fn(n0n)n(fn0n)(2)K=0n0n(3)GCn=12fn0n(4)822023 年 3 月复合材料科学与工程2.2三线性内聚力模型构建通过叠加构建的三线性内聚力模型如图 2 所示，该模型基于两个假设。(1)假设两个双线性内聚力模型线性叠加。即三线性内聚力模型的界面强度 c3等于双线性内聚力界面强度 c1与 c2之和。c3=c1+c2(5)(2)假设两个双线性内聚力模型的损伤起始位移是相等的，且等于叠加后的三线性内聚力模型的损伤起始位移。即 o3等于 o1与 o2之和。o3=o1+o2(6)图 2三线性内聚力本构模型Fig.2Trilinear cohesive constitutive model通过叠加法构建的三线性内聚力模型的参数之间有以下关系:Gbr=12f2c2(7)GtipC=12f1c1(8)GC=GtipC+Gbr(9)式中:Gbr为纤维桥接作用带来的断裂韧性;GtipC为分层起始断裂韧性;GC为总的断裂韧性。从双线性内聚力模型可知界面刚度有如下关系:K1=c1o1(10)K2=c2o2(11)K3=c3o3=K1+K2(12)KAB=brc3f1o3(13)KBC=brf1f2(14)式中:K3为三线性内聚力模型的界面刚度;K1和 K2为对应双线性内聚力模型的界面刚度;KAB和 KBC分别为 AB 段和 BC 段的斜率;br为最大桥接应力，最大桥接应力是三线性内聚力模型中最关键的参数，其具体数值不能通过实验直接获取，只能通过 J 积分求得桥接应力分布，再获取最大桥接应力。内聚力模型的损伤常采用损伤状态参数进行描述，对于图 2 所示三线性内聚力模型的损伤状态有以下关系:D1=0，D2=00 o1D1=f1(o1)(f1o1)，D2=f2(o2)(f2o2)o1 f1D1=1，D2=f2(o2)(f2o2)f1 f2D1=1，D2=1f2(15)D3=00 o3D3=0o3 f1D3=f3(f1)(f2f1)f1 f2D3=1f2(16)式(15)、式(16)中:D1、D2为图 1 中双线性内聚力模型的损伤状态参数，其取值范围为 01，大小与各自的损伤失效起始位移和损伤失效位移有关;D3为叠加后的三线性内聚力模型损伤状态参数，其大小不仅与损伤失效起始位移和损伤失效位移有关，还与K1、K2有关。由此可知，构建一个三线性内聚力模型需要得到 c3、o3、f1、f2、br、GC、Gbr等多个参数。3三线性内聚力模型参数求解上一章节已经对三线性内聚力模型进行了详细推导，得知构建一个三线性内聚力模型需要 c3、o3、f1、f2、br、GC、Gbr等多个参数。其中最大桥接应力 br、GC、Gbr的求解过程比较复杂，需要先通过实验测得断裂韧性 曲线再处理得到。3.1最大桥接应力Bao 等8 和 Dvila 等9 认为断裂韧性由起始断裂韧性 GtipC和由纤维桥接带来的桥接断裂韧性 Gbr组成。纤维桥接带来的桥接应力 br常被认为是一个与分层界面张开位移*相关的函数，如式(17)所示。确定桥接应力的分布，常采用 J 积分来得到断裂韧性的分布，J 积分理论公式见式(18)。J 积分得到的桥接应力分布能很好地解释碳纤维层合板在型分层扩展过程中得到的 曲线分布。br()=(*)(17)922023 年第 3 期一种考虑纤维桥接影响的三线性内聚力模型J=GC(*)=GtipC+*0br()d(18)br()=dGC(*)d*(19)式中:为试件两端的张开位移;*为起始裂纹尖端张开位移(ICTOD)，如图 3 所示，由 J 积分理论得到桥接应力分布，即先采用修正梁理论法 式(20)处理载荷位移曲线和实时分层扩展长度，得到断裂韧性分布(曲线)，然后选取合适的拟合函数得到 曲线的函数解析式，即断裂韧性与裂纹面张开位移的函数关系，随后将得到的函数解析式对裂纹面张开位移求导，即可得到纤维桥接应力分布。GC=3P2b(a+)(20)式中:P 为外载荷;为加载点位移;b 为试件宽度;a为分层扩展长度;为分层扩展长度修正系数。图 3考虑纤维桥接作用的碳纤维 DCB 试件分层扩展示意图Fig.3Schematic diagram of layered expansion of carbon fiberDCB specimen considering fiber bridging effect由式(18)、式(19)可知，要想得到桥接应力分布，必须先获得断裂韧性分布。通过式(20)可以获得断裂韧性 曲线，通过拟合得到断裂韧性分布，再将断裂韧性分布微分，即可得到桥接应力分布。Shokrieh 等15 针对碳纤维 DCB 试件分层扩展拟合 曲线，获取桥接应力分布，提出了三种拟合函数，见式(21)、式(23)、式(25)，三种拟合函数分别微分得到具体的纤维桥接应力分布函数，见式(22)、式(24)、式(26)，每种拟合函数都有其适应的范围。本文将采用这三种拟合函数对各铺层下的 曲线进行拟合，选取拟合精度最高的拟合函数来得到 曲线函数解析式。G(1)(*)=Ga+*a()Gb2b()*2(21)(1)(*)=dG(1)(*)d*=1a()2Gb2b()*(22)G(2)(*)=Gae*a*b1()+(GtipGa)(23)(2)(*)=dG(2)(*)d*=Gaa()e*a1*b()+Gab()e*a(24)G(3)(*)=Ga(1 e*a)+Gb(1 e*b)+GtipC(25)(3)(*)=dG(3)(*)d*=Gaa()e*a+Gbb()e*b(26)式中:GtipC为起始断裂韧性;Ga，Gb，a和 b为拟合参数，没有具体的物理意义。本章将采用式(21)、式(23)、式(25)三种拟合函数对 DCB 试件断裂韧性进行拟合求得 曲线分布函数，再比较拟合精度，选用拟合精度最高的拟合函数求得的 曲线分布函数再进行微分，从而得到桥接应力分布。本文采用 T300/EPW 环氧树脂基碳纤维预浸料制作满足ASTM D552813 标准 16 的DCB 试件，T300/EPW 碳纤维预浸料力学性能参数见表 1，试件设计了两种铺层顺序，一种为单向板 018/018，另一种铺层为 018/(45/05/45)s。采用万能力学试验机对其进行拉伸(拉伸过程如图 4 所示)获得载荷位移曲线，采用式(20)对载荷位移曲线进行处理，得到如图 5、图 6 所示 曲线，并采用式(21)、式(23)、式(25)对其进行拟合。表 1T300/EPW 碳纤维预浸料力学性能参数Table 1T300/EPW carbon fiber prepregmechanical property parametersE11/GPaE22/GPa12t/mm12586024015图 4纤维桥接现象Fig.4Fiber bridging phenomenon图 5018/018碳纤维 DCB 试件 曲线Fig.5 curves of 018/018ply carbon fiber DCB specimens032023 年 3 月复合材料科学与工程图 6018/(45/05/45)s碳纤维 DCB 试件 曲线Fig.6 curves of 018/(45/05/45)sply carbon fiber DCB specimens可靠的断裂韧性分布是获得精度高的桥接应力分布的前提。为了获得可靠的断裂韧性分布，需要对断裂韧性分布的试验结果进行拟合，得到断裂韧性实验结果的拟合函数，再由拟合函数获取桥接应力。而拟合函数的有效性可以根据拟合曲线的 平方来判断拟合函数精度，平方大于 0 小于 1，平方越接近 1，拟合函数精度越高。表 2 所示为三种拟合函数的拟合参数值和拟合精度，可以看出由式(25)拟合函数，拟合的018/018铺层断裂韧性分布精度高于式(21)和式(23)所做的拟合曲线精度。因此 018/(45/05/45)s铺层下 DCB 试件断裂韧性分布选取式(25)进行拟合来获取桥接应力分布。表 2018/018铺层 曲线拟合函数参数及拟合精度Table 2Fitting function parameters and fitting precision of curves of specimens 018/018拟合函数GaGbabsquareG(1)(*)287558025500140846G(2)(*)463271913176380897G(3)(*)3031273009212801040949表 3 所示为 018/(45/05/45)s铺层下 曲线拟合函数的拟合参数及拟合精度，可以看到由式(25)拟合曲线的 平方大于 0.95，因此认为由式(25)拟合函数拟合断裂韧性 曲线分布具有较高的准确性。表 3018/(45/05/45)s铺层 曲线拟合参数及拟合精度Table 3Fitting function parameters and fitting precision of curves of specimens 018/(45/05/45)sGaGbabsquare3132731003210310090977 4图 7 所示为不同铺层顺序下的 DCB 试件纤维桥接应力分布，纤维桥接应力分布通过拟合断裂韧性分布进行微分求解得到。表 4 展示的是两种铺层下的最大桥接应力，Suo 等7 的研究中表明，大多数情况下碳纤维层合板 DCB 试件分层扩展的最大桥接应力要小于 5 MPa，采用式(25)计算得到两种铺层下的最大桥接应力为 3.71 MPa，符合 Suo 等7 的研究结论。图 7两种铺层顺序下的纤维桥接应力分布Fig.7Fiber bridging stress distribution of the twostacked sequence specimens表 4两种铺层的最大纤维桥接应力Table 4Maximum fiber bridging stress of the twostacked sequence specimens铺层顺序最大纤维桥接应力 br/MPa018/018313018/(45/05/45)s3713.2其余参数求解对于用于描述分层起始的损伤失效位移 f1，其求解需要先获得界面强度参数 c1，目前还没有可靠的实验方法直接获取准确的 c1。许多文献中将界面强度等价于层间强度，但是最终得到的仿真结果与试验结果相差甚远。Ye 等17 从复合材料细观力学出发，认为界面强度应该要小于层间强度，给出了c1的取值参考范围，层合板界面强度约为层合板层间强度的 55%65%。界面强度取值偏大时会阻碍分层扩展，且较小的取值有利于仿真收敛，因此在本文研究中，采用 55%的层间强度作为界面强度 c1。于是参数 f1可以采用式(8)计算得到。对于三线性内聚力模型，其损伤失效位移 f2等于纤维桥接区域长度加上 f1。对于描述纤维桥接影响的界面强度 c2，可以采用式(7)和式(9)求解得到。再由式(5)可以求得三132023 年第 3 期一种考虑纤维桥接影响的三线性内聚力模型线性内聚力模型的界面强度 c3。损伤起始位移 o3的求解需要先获得界面刚度K3，由于在内聚力模型中，界面刚度是一个无物理意义的参数，一般对于界面刚度的取值常采用式(27)计算:K=E32t(27)式中:为一个远大于 1 的常数;E3为材料厚度方向上的弹性模量;t 为界面相邻层的厚度。赵丽滨等18 给出了界面刚度 K 的取值范围为 10121015N/m3。本文研究中采用 1014N/m3作为界面强度 K3的值，于是 o3可以由式(2)和式(17)求得。到此，构建三线性内聚力模型所需参数求解完毕。4三线性内聚力模型验证将三线性内聚力模型二次开发 UMAT 子程序，在 ABAQUS 中采用上述三线性内聚力模型建立碳纤维层合板 DCB 试件型分层扩展三维模型(见图8)。该模型的几何参数如表 5 所示。然后再采用双线性内聚力模型建立模型进行仿真计算。将两种仿真数值结果与实验结果比较，验证三线性内聚力模型的有效性。图 8碳纤维 DCB 试件有限元模型Fig.8Finite element model of carbon fiber DCB specimen表 5DCB 试件几何参数Table 5Geometry parameters of DCB specimen参数值/mmL180b25h4a155图 9、图 10 为两组试件的数值计算结果与实验结果对比图。从图9 可以看出，018/018铺层顺序 DCB试件，采用双线性内聚力本构模型和三线性内聚力本构模型都具有非常高的精度，双线性内聚力本构数值仿真数据在初始分层阶段与实验结果有一定的偏差，且峰值载荷相对于实验平均数据误差约为9.4%，而三线性内聚力本构模型数值仿真结果与实验数据相比，在分层起始阶段到分层稳定扩展阶段基本吻合，峰值载荷误差也仅为 4.67%，峰值载荷过后的稳定扩展阶段即纤维桥接形成了稳定的桥接区域，三线性内聚力模型仿真结果同样与实验数据高度吻合。图 9018/018试件实验数据与数值仿真结果Fig.9Comparison of experimental results andsimulation results of specimen 018/018图 10018/(45/05/45)s试件试验数据与数值仿真结果Fig.10Comparison of experimental results andsimulation results of specimen 018/(45/05/45)s图 10 为 018/(45/05/45)s铺层顺序 DCB试件分层扩展数值仿真结果与实验结果验证。由于多向板 DCB 试件相对于单向板 DCB 试件分层扩展过程中会出现更多的拔出纤维，纤维桥接对分层扩展的影响更加重要，因此双线性内聚力模型数值仿真结果在该铺层顺序下结果误差较大，但是三线性内聚力模型的数值仿真结果无论是在分层起始、分层扩展，还是纤维桥接达到平衡后的稳定扩展阶段，与实验结果数据基本吻合，峰值载荷误差仅为 2.31%，说明相对于双线性内聚力模型，三线性内聚力模型在多向板 DCB 试件分层扩展数值仿真中具有更高的准确性。232023 年 3 月复合材料科学与工程可以看出，本文研究中的三线性内聚力本构模型在单向层合板 DCB 试件分层扩展数值仿真中的结果，在分层起始阶段、分层扩展至形成稳定纤维桥接区域阶段、稳定扩展阶段及峰值载荷大小和位置与实验数据结果非常吻合，而在多向板 DCB 试件中的结果只在分层起始阶段、分层扩展至形成稳定纤维桥接区域阶段及峰值载荷大小和位置具有相当高的精度，在稳定扩展阶段仿真结果出现了震荡，但是相对于双线性内聚力模型，结果还是更加准确的。三线性内聚力模型在单向层合板 DCB 试件中的数值仿真结果精度更高，可能是由于单向层合板DCB 试件在拉伸过程中，试件总是沿着预制分层面分层扩展，未出现明显的分层偏移，分层断面是相对较光滑的。而多向层合板 DCB 试件在分层起始时沿着预制分层面扩展，随后发生分层偏移的现象，拔出的纤维束和断裂的纤维束在分层上下表面形成锯齿状突起。在采用三线性内聚力本构模型仿真 DCB试件分层的过程中，始终假设分层沿着预制分层面直线分层扩展，因此三线性内聚力模型在形成稳定纤维桥接区域后的稳定分层扩展阶段的数值模拟有一定的偏差。5结论本文从双线性内聚力模型出发，通过采用一个描述分层起始的双线性内聚力模型和一个描述纤维桥接的双线性内聚力模型叠加构建了可描述纤维桥接现象的三线性内聚力模型。对三线性内聚力模型内聚力参数进行了详细推导，并通过 ABAQUS 商业软件，分别采用该模型和双线性模型进行仿真分析，主要得到以下结论:(1)采用线性指数型拟合函数能获得更高的拟合精度，且通过该拟合函数求解的最大纤维桥接应力符合理论结论。(2)与实验结果进行比较，在单向层合板 DCB试件分层扩展仿真中，三线性内聚力模型在分层起始、峰值载荷大小和位置、稳定扩展阶段都表现出与实验结果高度吻合，验证了本文研究的三线性内聚力模型的有效性。(3)通过与双线性内聚力模型计算结果和实验结果比较，本文研究的三线性内聚力模型在多向层合板数值仿真应用上相对于双线性内聚力模型具有更高的准确性，在峰值载荷和形成稳定纤维桥接区域后的稳定扩展阶段表现出更加准确的仿真结果。参考文献 1DUGDALE D S Yielding of steel sheets containing slits J Journalof the Mechanics and Physics of Solids，1960，8(2):100104 2 BAENBLATT G I Mathematical theory of equilibrium cracks inbrittle failureJ Advances in Applied Mechanics，1962，7(8):55129 3李西宁，王悦舜，周新房 复合材料层合板分层损伤数值模拟方法研究现状J 复合材料学报，2021，38(4):10761086 4DE MOUA M，CAMPILHO，AMAO A，et al Interlaminar andintralaminar fracture characterization of composites under mode loadingJ Composite Structures，2009，92(1):144149 5张慧梅 断裂力学 M 徐州:中国矿业大学出版社，2018 6FOOTE，MAI Y，COTTEELL B Crack growth resistance curvein strain softening materialsJ Journal of the Mechanics andPhysics of Solids，1986，34(6):593607 7SUO Z，BAO G，FAN B Delamination curve phenomena due todamage J Journal of Mechanics of Physics of Solids，1992，40:116 8BAO G，SUO Z emarks on crackbridging conceptsJ 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