正余弦定理题型归纳.doc

正弦定理和余弦定理

一、题型归纳
<一>利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.

【例2】设的内角A、B、C的对边长分别为、、,且3+3-3=4 .
(Ⅰ) 求sinA的值； (Ⅱ)求的值.
【练习1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.

【练习2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

<二>利用正余弦定理判断三角形的形状
【例3】1、在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．

2、在△ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，bcosA＝cosB，则三角形的形状为__________________

3、在△ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，若＝，
则三角形的形状为___________________
【练习】1、在△ABC中，(分别为角的对边)，则△ABC的形状为( )
A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形
2、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
3、在△ABC中，，则△ABC的形状为__________
4、在△ABC中，若＝＝；则△ABC是(　　)．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

<三>正余弦定理与三角形的面积
【例4】△ABC中，分别为的对边.如果，30°，△ABC的面积为，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
【练习】已知的周长为，且．
（1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数．

【例5】设O是锐角的外心，若，且的面积满足关系：,求

【练习】已知O是锐角三角形ABC的外心，△BOC，△COA，△AOB的面积满足关系：

（1） 推算tanAtanC是否为定值？说明理由；
（2）求证：tanA，tanB，tanC也满足关系：

<四>利用正余弦定理解决最值问题
【例6】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足
（1）求角C的大小； （2）求sinA+sinB的最大值．

【练习】1、已知锐角中，角的对边分别为，且；
求； 求函数的最大值

2、设的内角所对的边分别为且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.

<五>正余弦定理与向量的运算
【例7】已知向量,函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积.

【练习】1、在中，已知．
（1）求证：； （2）若求A的值．

2、在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积；
（II）若，求的值．

二、课后作业：
1、在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
2、在△ABC中，，则等于（ ）
A、60° B、45° C、120 D、135°
3、若()()=，且, 那么ΔABC是_____________.
4、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________
5、在若，则的值为_________的形状为_____
6、的面积是，内角所对边长分别为，。
(1)求。 (2)若，求的值。

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