概率论与数理统计的练习册电子版.doc

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第一章 概率论的基本概念
练习1.1 样本空间、随机事件
一、写出以下随机试验的样本空间：
1.从两名男乒乓球选手和三名女乒乓球选手中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。
2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。
二、有三位学生参加高考，以表示第人考取（）.试用表示以下事实：
1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。
三、投掷一枚硬币5次，问下列事件的逆事件是怎样的事件？
1. 表示至少出现3次正面；2. 表示至多出现3次正面；3. 表示至少出现3次反面。
四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件表示“取得的球的号码是偶数”， 事件表示“取得的球的号码是奇数”， 事件表示“取得的球的号码小于5”，则分别表示什么事件？
五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”。
（1）说出事件的含义；
（2）什么时候有恒等式;
(3) 什么时候有关系式正确;
（4）什么时候有等式成立。

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练习1.2 概率、古典概型
一、 填空
1.已知事件，的概率,积事件的概率,则 , , , , , .
2. 设为两个事件，,,则 .
3. 设为两个任意不相容事件，,则 .
4. 设为两个事件，,0.2，则 .
5. 已知0，，则全不发生的概率为 .
二、设是两事件，且，,求
(1) 在什么条件下，取到最大值？ (2) 在什么条件下，取到最小值？
三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求
(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。
四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头。甲轮卸完油要一小时，乙轮要两小时。假设每艘油轮在8时到20时的每一时刻抵达码头的可能性相同。
1.求甲乙两轮都不需等候空出码头的概率；
2.设表示甲、乙同一时刻抵达码头，问是否是不可能事件，并求。
五、某年级有10名大学生是1986年出生的，试求这10名大学生中
1.至少有两人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日过生日的概率。
六、设求证：
七、设为两个事件，,,求。

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练习1.3 条件概率、全概率公式
一、填空
1.设为两个事件，,,,且都是已知的小于1的正数，则 ， , , ， , .
2.设为两个事件，,,则 .
3. 设为一完备事件组，且,,则 , .
4. 已知为一完备事件组，，，，，，则 .
5. 设为随机事件，且,,，则 ，
.
二、一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时以上的概率为0.4，现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率。
三、有十箱产品，已知其中三、二、五箱分别是第一、第二、第三车间生产的，各车间的次品率分别是0.2，0.1，0.05，现在任取一箱，再从中任取一件：
1.求此件为次品的概率；2.如果此件为次品，问是哪个车间生产的可能性最大？
四、人群中患肝癌的概率为0.0004.用血清甲胎蛋白法检查时，患有此病被确诊的概率为0.95，未患被误诊的概率为0.01.问普查时，任一人被此法诊断为肝癌患者的概率有多大 ？？设此人被此法诊断为肝癌患者，问此人真患有肝癌的概率有多大？比未作检查时的概率增大了多少倍？
五、有两箱同型号的零件，箱内装50件，其中一等品10件；箱内装30件，其中一等品18件.装配工从两箱中任选一箱，从箱子中先后随机地取两个零件（不放回抽样）。求：
(1)先取出的一件是一等品的概率；
(2)在先取出的一件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。
六、为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统（I）和（II），每种系统单独使用时，系统（I）和系统（II）有效的概率分别为0.92和0.93.在系统（I）失灵的情况下，系统（II）仍有效的概率为0.85，求两个警报系统至少有一个有效的概率。
七、设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为B型， 33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选 一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？（V：允许输血；X：不允许输血）。

输血者
受血者
A型
B型
AB型
O型
A型
√
×
√
√
B型
×
√
√
√
AB型
√
√
√
√
O型
×
×
×
√

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练习1.4 独立性
一、 填空
1. 将一枚骰子独立地先后掷两次，以和分别表示先后掷出的点数，设，,则
（1） ; (2) ；（3） 。
2.设为两个相互独立的事件，，，则 。
3. ,为相互独立的事件,则
（1）至少出现一个的概率为 ；
（2）恰好出现一个的概率为 ；
（3）最多出现一个的概率为 。
4.设，0.6，那么：（1）若为互不相容的事件，则 ；（2）若为相互独立的事件，则 ；（3）若，则 .
二、设5件产品中2件是次品3件是正品，对每件产品进行检验，令表示被检验到的那件产品是次品，则2/5, 3/5.对一件产品作检验可看成一次试验，于是作了5次试验，据二项概率公式可知，事件恰好发生2次的概率为.因此这5件产品中恰有2件次品的概率为0.3456，另一方面这5件产品恰有2件次品是已有的事实，因此其概率为1，从而1=0.3456，请找出理由推翻此“等式”。
三、甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,试求：
(1) 恰有一人译出的概率；（2）密码能破译的概率。
四、某种电阻的次品率为0.01，作有放回抽样4次，每次一个电阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。
五、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
六、加工某一零件共需要经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是0.02，0.03，0.05，假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件是次品的概率是多少？
七、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率。
八、若事件相互独立，证明也相互独立

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自测题（第一章）
一、 填空（每空2分）
1.几何概率中，每个样本点的发生具有 ，而样本点的个数是 。
2.若事件 ,则称互斥。 若又 ,则称互逆。
3.若事件 ,则,否则 .
4.设为两事件且，则 ,当 时，.
5.事件发生，而事件和至少发生一个这一事实可表示成 。事件发生，必导致事件和至少发生一个这一事实可表示成 。
6. 表示投掷10次钱币时，至少出现4次正面，则表示 正面或 反面。
7.在图书馆任取一本书，设=｛是数学书｝，=｛是中文版的｝，=｛90年后出版的｝，则当图书馆里 时，有,当 时，有.
二、判断正误（每小题3分）
1.若事件的概率,则. ( )
2.对任两事件，有. ( )
3.若=｛男足球队员｝，则=｛女足球队员｝。 （ ）
4.若事件有关系,则. ( )
5.若事件相互独立，则也相互独立。 ( )
6.口袋中有四个球，其中三个球分别是红、白、黄色的，另一个球染有红、白、黄三色。现从口袋中任取一球，观察其颜色。令=｛球染有红色｝，=｛球染有白色｝，=｛球染有黄色｝，那么事件相互独立。 ( )
三、写出以下两个试验的样本空间（每小题5分）
1.10件产品有3件是次品，其余均是正品。每次从中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出为止，记录取的次数。
2.30名学生进行一次考试，观察平均成绩（个人成绩采用百分制）。
四、（12分）设两相互独立的事件都不发生的概率为1/9，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，求。
五、（10分）一个班组有7男3女十名工人，现要派4人去学习，求4名代表中至少有2名女工的概率。
六、（10分）甲、乙、丙三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4， 求此密码未被丙译出而甲、乙至少有一个译出的概率。
七、（12分）一种产品的正品率为0.96，使用一种简易方法检验时，将正品判为正品的概率为0.98，将次品误判为正品的概率为0.05。现任取一件用此法检验。
1.求此件被判为正品的概率；2.当判为正品时，求此件确是正品的概率。

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第二章 随机变量
练习2.1 随机变量及其分布函数
一、填空
1.随机变量的分布函数是事件 的概率。
2．用随机变量的分布函数表达下述概率：
; ;
; .
3.若,，其中,则 .
二、分析下列函数中，哪个是随机变量的分布函数？
(1) ; (2) ;
(3) .
三、设随机变量的分布函数有如下形式：,试填上(1),(2),(3)项。
四、设随机变量的分布函数为,求（1）与;(2) .

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练习2.2 离散型随机变量及其分布
一、 填空
(1) 设随机变量的分布列为,则 .
(2)设随机变量的分布列为

1 3 6 8

0.2 0.1 0.4 0.3
则= .
(3)在一批10个零件中有8个标准件，从中任取2个零件，这2个零件中标准件的分布列是 .
(4）已知随机变量只能取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为,则= .
(5)设随机变量的分布律为,为常数，试确定= .
二、设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽样，以表示取出的次品数，求的分布列。
三、某一设备由一个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1。试求出该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布列。
四、为自然数）是一随机变量的概率分布吗？为什么？
五、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻
（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有一个设备被使用的概率。
六、设每次射击击中目标的概率为0.001。如果射击5000次，试求击中两次或两次以上的概率。
七、有2500名同一年龄和同一社会阶层的人参加了保险了保险公司的人寿保险。在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可以保险公司领取2000元赔偿金，求：
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。

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练习2.3 连续型随机变量及其分布
一、 填空
(1) 设随机变量的概率密度为，则 .
(2)设,且,则 。
(3)设随机变量的概率密度,则 。
(4)设测量某一目标的距离时发生的随机误差为（米），且，则在一次测量中误差的绝对值不超过30米的概率为 。
(5)设电阻的阻值为一个随机变量，且均匀分布在900欧～1100欧，则的概率密度函数为 ，分布函数为 。
(6)若随机变量的概率密度为则 , , , .
(7) 设服从正态分布,则 , ,若,则 .
(8)已知电气元件寿命服从指数分布：假设仪器装有5个这样元件且其中任一个元件损坏时仪器即停止工作，则仪器无故障工作1000小时以上的概率为 .
二、某学生求得一连续型随机变量的概率密度为试问该学生计算是否正确。
三、连续型随机变量的概率密度为试求分布函数及.
四、设随机变量的概率密度为.求（1）系数; (2) ; (3) 的分布函数。
五、设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（小时）都服从同一指数分布，概率密度为试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只元件损坏的概率。
六、设随机变量在上服从均匀分布，现对进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率。
七、设随机变量的概率密度函数为试确定常数,并求其分布函数

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练习2.4 随机变量函数的分布
一、填空
1.设的分布列为

0 1 2 3 4

1/12 1/6 1/3 1/12 1/4 1/12

则的分布列为 。
2.设可能取值为1，2，并设,令，则的分布列为 。
3.设的概率密度为,则的概率密度为 。
4.设的概率密度为,则的概率密度为 。
5.若是正态总体的一组简单随机样本，则服从 。
6.设连续型随机变量的概率密度为则的函数的概率密度 。
二、设～,求证也服从正态分布。
三、测量球的直径，设其值服从上的均匀分布，求球的体积的分布密度。
四、设随机变量服从标准正态分布，求随机变量的分布密度。
五、已知离散型随机变量的分布列为：

-2
-1
0
1
2

1/5
1/6
1/5
1/15
11/30

试求：(1) ; (2) 的分布列。
六、设随机变量的概率密度为求的概率密度。
七、设随机变量的概率密度为求的概率密度。

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自测题（第二章）
一、 填空（每小题4分）
1.将一枚匀质硬币抛掷三次，设为三次中出现正面的次数，则 。
2.设在内服从均匀分布，则落在内的概率为 。
3.设的概率密度为则= 。
4.设的分布函数为则的概率密度为 。
5.若某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，则每分钟恰有8次呼唤的概率为 。
二、判断正误（每小题4分）
1.函数一定是某一随机变量的分布函数； （ ）

1 2 3

0.3 0.4 0.5
2.设

则它必为某随机变量的分布列； （ ）
3.设的分布密度为，则当时，有; ( )
4.若～，则也是一随机变量，且～ ( )
三、（12分）设～分布，其分布列为,其中,求的分布函数，并作出其图形。
四、（13分）设服从泊松分布，且,求.
五、（15分）设一支步枪击中飞机的概率为0.005，试求当1000支步枪同时开火时，
1.飞机被击中的概率；2. 飞机恰中一弹的概率。
六、（12分）随机变量在内的分布密度为,在外为0，求随机变量的分布密度。
七、（12分）若随机变量在内服从均匀分布，则方程有实根的概率为多大？
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第三章 随机向量
练习3.1 二维随机向量及其分布
一、 填空
1.设二维随机变量的概率密度为,则 ;
2. 设二维随机变量的概率密度为,则 ;
3.设二维随机变量的分布函数为,则二维随机变量的概率密度为 ;
4. 设二维随机变量的概率密度为,则二维随机变量的分布函数为 ;
5.用的联合分布函数表示下述概率：
（1） ; （2） ;
（3） ; （4） .
二、掷二枚硬币，以表示第一枚硬币出现正面的次数，表示第二枚硬币出现正面的次数，试求二维随机变量的联合分布。
三、设二维随机变量的概率密度,试求。
四、设二维随机变量的概率密度,
求:(1) 系数; (2) 落在内的概率。
五、设随机变量的联合分布律如下表：

0
1
1/4
1/4
2
1/6

试求：（1）的值；（2）的联合分布函数.

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练习3.2-3.3 二维随机变量的边缘分布和条件分布
一、 设二维随机变量的概率密度
1. 试确定常数；2. 求边缘概率密度。
二、设连续型随机变量在以原点为中心，各边平行于坐标轴，边长为和的矩形内服从均匀分布，求：
1. 的概率密度；2.关于和的边缘分布密度。
三、已知的概率密度函数为,而且在及的条件下关于的条件分布如下表：
试求：1. 二维随机变量的联合分布律；

1
2
3

1/7
2/7
4/7

1/2
1/3
1/6
2. 关于的边缘分布；
3. 在的条件下关于的条件分布律。
四、设随机变量的概率密度求条件概率密度.

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练习3.4 随机变量的独立性
一、 填空
1.设的联合分布律如下表所示，则 时，与相互独立。

1
0
1/15

1

1/5
2
1/5
3/10

2. 离散型随机变量的联合分布律为：

(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)

1/6
1/9
1/18
1/3

若与独立，则 ， 。
二、设的联合分布为

0
1
0
9/25
6/25
1
6/25
4/25

判断与是否相互独立。

三、设的概率密度为：试求关于与的边缘分布密度，且问与是否相互独立。
四、设二维随机变量的联合分布律为

1/9

1/9

1/3

若与相互独立，求参数的值。
五、设为上的均匀分布，求
1.关于与的边缘分布密度；2. 判断与是否独立。
六、设与是两个相互独立的随机变量，在（0，0.2）上服从均匀分布，的概率密度是
1.求与的联合分布密度；2.求.

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练习3.5 两个随机变量的函数的分布
一、 填空
1.设与是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为,则的分布函数是 ，的分布函数是 。
2.设随机变量与是相互独立，且，，则仍具有正态分布，且有 。
3.已知随机变量，，且与是相互独立的，，则 。
二、设两个相互独立的随机变量与的分布律分别为

1
3

0.3
0.7

2
4

0.6
0.4

求的分布律。
三、两个相互独立的均匀分布的随机变量与的分布密度分别为：

求的概率密度。
四、设与是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布.
五、设随机变量的分布密度为,试求的分布函数和分布密度。
六、设随机变量的分布密度为,求的分布函数。
七、设随机变量与相互独立，且服从同一分布，证明：

八、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。
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自测题(第三章)
一、填空（每小题4分）
1.设离散型随机变量的分布律如表（1），则 .
2.设离散型随机变量的分布律如表（2），则 .

0
1
0
1/6
1/3
1
1/9

2
1/18
1/9

1
2
3
4
1
0.1
0
0.1
0
2
0.3
0
0.1
0.2
3
0
0.2
0
0

(1) (2)

3．设与的分布律分别为

0
1

0
1

,且与相互独立，则的分布律为 .
4. 设两个相互独立的随机变量与均在[0，1]上服从均匀分布，则的概率密度为 .
二、（15分）设随机变量的概率密度函数为：

(1) 确定常数;
(2) 求的分布函数。
三、（10分）设随机变量的概率密度函数为：
，求关于、的边缘分布密度。
四、（15分）设随机变量与相互独立，且它们的概率密度分别为：
,
试求：1. 的联合分布密度与分布函数；2. .
五、（10分）设随机变量的分布函数为：

求的概率密度，且问与是否相互独立？
六、（10分）设相互独立的随机变量与的概率密度分别为：
,
试求的分布密度。
七、（10分）设随机变量与的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度.

八、(14分)设二维随机变量的密度函数为：

（1） 确定常数;
（2） 求边缘分布密度;
（3） 求的联合分布密度；
（4） 讨论与的独立性；
（5） 求.

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a) 随机变量的数字特征
练习4.1 数学期望
一、 填空
1.设随机变量的分布律为：

0
1
2

0.2
0.1
0.3
0.4

则 ; ; ; .
2. 随机变量的分布函数为则 ; ; ; .
3. 设随机变量的分布密度为：
则 ; ; ; .
4. 设随机变量~,则 .
5. 设随机变量的分布函数为则 .
6. 设,则 .
7. 若随机变量的期望存在，则 .
8. 设都服从[0，2]上的均匀分布，则 .
9. 设的联合分布律如下表所示，则 .

0
1
2
-1
1/10
1/20
7/20
2
3/10
1/10
1/10

二、对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，求试验次数的数学期望。
三、设随机变量的概率密度为,试求数学期望.
四、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[]内，求圆面积的数学期望。
五、平面上点的坐标为,其中,过点的直线与轴的夹角为，交轴于点，已知在上均匀分布，求的面积的数学期望。
六、设与是相互独立的两个随机变量，密度函数分别为： 求.

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练习4.2 方差
一、 填空
1. 设为随机变量，且,则
2. 设，则
3. 已知随机变量服从二项分布，且,,则二项分布的参数 , 。
4. 设随机变量的期望存在，且,为常数，则 .
5. 设随机变量服从某一区间上的均匀分布，且，，则的概率密度为 , , .
6. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且,则 , .
7. 设为一随机变量，若,则 .
8. 设随机变量的期望为一非负值，且,,则 。
9. 若随机变量,则服从 分布。
10. 若随机变量相互独立，且服从相同的两点分布，则服从 分布，且 , .
二、设随机变量的分布律为其中为常数，求。
三、设随机变量的概率密度为，其中的常数，求。
四、（1）设随机变量相互独立，且有设,求.
(2)设随机变量与相互独立，且求的分布。
五、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
六、设的联合分布律如下表所示，求

1
2
3
-1
0
1/15
3/15
0
2/15
5/15
4/15

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练习4.3 协方差与相关系数
一、 填空
1. 设，，，则 .
2. 设两随机变量与的方差分别为25和16，相关系数为0.4，则 ； 。
3. 设与是两相互独立的随机变量，其概率分布分别为：,在（，1）上服从均匀分布，则 。
4.如果存在常数,使,且,那么为 。
5. 如果与满足,则必有与 。
二、设随机变量具有概率密度,求。
三、设随机变量与的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求及.
四、已知三个随机变量、、中， ,设,求.
五、设随机变量具有概率密度,试证与是不相关的，但是与不是相互独立的。
六、设与是两个随机变量，已知, , , , ,
求：（1），;（2），.
七、假设随机变量在区间[0,2]上均匀分布，求与的相关系数

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第五章 大数定律和中心极限定理
一、设随机变量的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率的值。
二、设某批产品的次品率为,现从这批产品中随机地抽取1000件，求抽得次品数在90到100件的概率。
三、设某单位有200台电话机，每台电话大约有5%的时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。
四、设一大批电子元件中，合格品占，从中任意选购6000个，试问把误差限定为多少时，才能保证合格品的频率与概率之差的绝对值不大于的概率为0.99？此时，合格品数在哪个范围内？
五、如果为正的单调递增函数，而存在，试证明.
六、掷均匀硬币4000次，求正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过0.01的概率。
七、设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

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自测题（第四、五章）
一、 填空
1. 设在上服从均匀分布，其分布密度 ，
2. 设服从参数为的指数分布，其分布密度 ，
3. 设,则
4. 当与相互独立时，则与 相关；当与不相关时，则与 独立。
5. 设与的方差为相关系数，则.
二、设二维随机变量具有概率密度,求数学期望,方差，协方差及相关系数。
三、已知随机变量的概率分布密度为,求及。
四、设随机变量的概率分布密度为,求及。
五、设随机变量与相互独立，且都服从密度为的分布，求
(1) 的分布密度；（2）.
六、设随机变量服从泊松分布，且，证明.
七、设为连续随机变量，概率密度满足：当时，,求证：
.

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第六章 数理统计的基本概念
练习6.1 随机样本
一、 填空：
1. 设为总体，若满足条件 和 ,则称为从总体得到的容量为的简单随机样本，简称为样本。
2.样本均值样本方差
二、在五块条件基本上相同的田地上种某种家作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求样本均值和样本方差。
三、设总体服从均值为的指数分布，为的一个样本，求 ,.
四、设为（0—1）分布的一个样本，,,求,,.
五、设总体,为的一个样本, 未知，求对每个应取多大，才能保证.

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