平方差完全平方公式(培优1)52940.doc

平方差完全平方公式　
一．选择题（共1小题）
1．（1999•烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

二．填空题（共3小题）
2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是　_________　次　_________　项式．

3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式　_________　．（答案不唯一，只要写出一个）

4． （2004•南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是　_________　．
5． （1999•内江）配方：x2+4x+___=(x+___）2 配方：x2-x+ ___=(x-）2
三．解答题（共26小题）
5．计算：
（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）
（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）

6．计算：1232﹣124×122．

7．计算：．

8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．

9．运用乘法公式计算．
（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；
（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；
（3）79.8×80.2；
（4）19.92．

10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．

11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）

12．计算
（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；
（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．

13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．

14．利用乘法公式计算：
①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）
②472﹣94×27+272．

15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．　_________　

16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…
（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=　_________　；（其中n为正整数）；
（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269 的值．

17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．
解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．
问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．

18．．

19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　_________　．

20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．

21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．

23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．

24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；（2）xy．

25．已知x+=4，求x﹣的值．

26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．

27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．

28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．

29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．

30．已，求下列各式的值：
（1）；
（2）．

平方差完全平方公式
参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）
1．（1999•烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
整式．2384219
分析：
解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．
解答：
解：整式有x2+x﹣，共2个．
故选B．
点评：
主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．

二．填空题（共3小题）
2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是　二　次　三　项式．

考点：
多项式．2384219
专题：
计算题．
分析：
根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．
解答：
解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是 二次 三项式．
故答案为：二，三．
点评：
本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项；
多项式中不含字母的项叫常数项；
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式　x2y2　．（答案不唯一，只要写出一个）

考点：
单项式．2384219
专题：
开放型．
分析：
单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．
解答：
解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．
点评：
考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．

4．（2004•南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是　x3+2x2﹣3x　．

考点：
多项式．2384219
分析：
按照x的次数从大到小排列即可．
解答：
解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．
点评：
主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．

三．解答题（共26小题）
5．计算：
（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）
（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）

考点：
平方差公式；完全平方公式．2384219
分析：
（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；
（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．
解答：
解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），
=（x2﹣y2）（x2+y2），
=x4﹣y4；
（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），
=a2﹣（2b﹣c）2，
=a2﹣4b2+4bc﹣c2．
点评：
本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．
平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

6．计算：1232﹣124×122．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．
解答：
解：1232﹣124×122，
=1232﹣（123+1）（123﹣1），
=1232﹣（1232﹣12），
=1．
点评：
本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．

7．计算：．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．
解答：
解：，
=，
=，
=2004．
点评：
本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．

8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．

考点：
平方差公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．
解答：
解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），
=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，
=z2﹣（x﹣2y）2，
=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），
=z2﹣x2+4xy﹣4y2．
点评：
本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．

9．运用乘法公式计算．
（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；
（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；
（3）79.8×80.2；
（4）19.92．

考点：
平方差公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；
（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；
（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；
（4）19.92可以转化为（20﹣0.1）2进行简便计算．
解答：
解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），
=4xy；

（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），
=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，
=x2﹣y2+4y﹣4；

（3）79.8×80.2，
=（80﹣0.2）（80+0.2），
=6399.96；

（4）19.92=（20﹣0.1）2=400﹣2×20×0.1+0.01，
=396.01．
点评：
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．

10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
解答：
解：（m+n﹣2）（m+n+2），
=（m+n）2﹣22，
=m2+n2+2mn﹣4．
点评：
本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）

考点：
平方差公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．
解答：
解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），
=（x﹣2y）2﹣m2，
=x2﹣4xy+4y2﹣m2．
点评：
本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．

12．计算
（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；
（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．

考点：
平方差公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．
解答：
解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]
=（c﹣b﹣d）2﹣a2
=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，
（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2
∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3
=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3
=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．
点评：
本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．

13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．
解答：
解：原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），
=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），
=2008+2007+2006+2005+…+2+1，
=2017036．
点评：
本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．

14．利用乘法公式计算：
①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）
②472﹣94×27+272．

考点：
平方差公式；完全平方公式．2384219
分析：
①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，
②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．
解答：
解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；
②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=400．
点评：
本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．
①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；
②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．

15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．　5　

考点：
平方差公式．2384219
分析：
本题是平方差公式的应用．
解答：
解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20
把x+y=4代入求得x﹣y=5．
点评：
运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．把x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．

16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…
（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=　xm﹣1　；（其中n为正整数）；
（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269 的值．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；

（2）先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn=（xn+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可．
解答：
解：（1）（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x2+x+1）=xm﹣1；
（2）根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn=（xn+1﹣1）÷（x﹣1），
∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1）=270﹣1．
点评：
本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．

17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．
解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．
问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．

考点：
平方差公式．2384219
分析：
根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．
解答：
解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），（4分）
=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），
=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），
=（38﹣1）（38+1）（364+1），
=（364﹣1）（364+1），（8分）
=（3128﹣1）．（10分）
点评：
本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，

18．．

考点：
平方差公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．
解答：
解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）
=（1﹣）（1+）（1+）（1+）
=（1﹣）（1+）（1+）
=（1﹣）（1+）
=1﹣．
点评：
本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．

19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　7　．

考点：
完全平方公式．2384219
专题：
计算题．
分析：
将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．
解答：
解：由题意得，x+=3，
两边平方得：x2+2+=9，
故x2+=7．
故答案为：7．
点评：
此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．

20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．
解答：
解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，
∴a=1；
把a=1代入=1+1=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．

21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

考点：
完全平方公式．2384219
专题：
阅读型．
分析：
（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
解答：
解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：
x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，
x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；

（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，
a2+ab+b2=（a+b）2+b2；

（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），
=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，
从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
即a=1，b=2，c=1，
∴a+b+c=4．
点评：
本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．

22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．
解答：
解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，
∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．
∴4ab=﹣24，ab=﹣6，
∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．
点评：
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．

23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．
解答：
解：原式==，
∵a﹣b=﹣2，
∴原式==2．
点评：
本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．

24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；（2）xy．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．
解答：
解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，
（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，
①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，
=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，
=2（x2+y2），
=49+1，
=50，
∴x2+y2=25；
①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，
∴xy=12．
点评：
本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．

25．已知x+=4，求x﹣的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．
解答：
解：∵，
∴，
∴x2+=14，
∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，
∴x﹣=．
点评：
本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．

26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
利用完全平方公式巧妙转化即可．
解答：
解：∵x+y=3，
∴x2+y2+2xy=9，
∵xy=2，
∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．
点评：
本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．

27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．
解答：
解：∵a+b=3，
∴a2+2ab+b2=9，
∵ab=2，
∴a2+b2=9﹣2×2=5；
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×2=1．
点评：
本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．

28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．

考点：
完全平方公式．2384219
专题：
整体思想．
分析：
先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值．
解答：
解：∵（x+2）（y+2）=5，
∴xy+2（x+y）+4=5，
∵x+y=2，
∴xy=﹣3，
∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=22﹣（﹣3）=7．
点评：
本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．

29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
先把x2﹣11x+1=0两边同除x（由题意可知x≠0），得到x+=11，然后把该式子两边平方即可得到x2+的值．
解答：
解：∵x≠0，
∴x+，
（x+）2=121，
∴x2+2+，
∴x2+．
点评：
本题考查了完全平方公式，关键是知道隐含条件x≠0，x2﹣11x+1=0两边同除x得到x+=11，利用x和互为倒数乘积是1，利用完全平方公式来进行解题．

30．已，求下列各式的值：
（1）；
（2）．

考点：
完全平方公式．2384219
分析：
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．使分式中含有的形式，代入求值．
解答：
解：（1），
=（x﹣）2﹣2，
=42﹣2，
=14；

（2），
=，
=，
=．
点评：
本题主要考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．

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