平行四边形的存在性问题.doc

平行四边形的存在性问题2019 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便引例1, 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标引例2, 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+2x3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标 1,（2017泰安）如图，是将抛物线y=x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由 2.（2017菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DCx轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 3（2018徐汇区二模）如图，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线ly轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足DBA=CAO，求点D的坐标4（2018杨浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CPAO时，求PAC的正切值；（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标5（2018河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=x5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标6（2018浦东新区二模）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E在线段OC上，且CBE=ACO，求点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标7.（2017成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由 答案1,（2017泰安）如图，是将抛物线y=x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由 优网版权所有【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证OBC是等腰直角三角形，过点N作NHy轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），代入y=x+，即可求解【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=（x1）2+k把（1，0）代入得0=（11）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）在y=x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3B的坐标是（3，0），OB=3，OC=OB，则OBC是等腰直角三角形OCB=45，过点N作NHy轴，垂足是HNCB=90，NCH=45，NH=CH，HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N坐标是（a，a2+2a+3）a+3=a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，N的坐标是（1，4）；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），代入y=x+，则t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2t=0，解得t=0或t2+2t+3的值为3或P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到OBC是等腰直角三角形是解题的关键2.（2017菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DCx轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出PCM面积的最大值；（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得，解得：，抛物线的表达式为y=x2+x+1；（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，A（0，1），D（3，），直线AD的解析式为y=x+1，设P（t，0）， M（t，t+1）， PM=t+1，CDx轴， PC=3t，SPCM=PCPM=（3t）（t+1），SPCM=t2+t+=（t）2+，PCM面积的最大值是；（3）OP=t，点M，N的横坐标为t，设M（t，t+1），N（t，t2+t+1），|MN|=|t2+t+1t1|=|t2+t|，CD=，如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即t2+t=，整理得：3t29t+10=0，=39， 方程t2+t=无实数根，不存在t，如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，MN=CD，即t2t=， t=，（负值舍去），当t=时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形 【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用3.（2018徐汇区二模）如图，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线ly轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足DBA=CAO，求点D的坐标【分析】（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；（2）设M（m，m+2），则N（m，+2），则MN=（+2）（m+2）=m2+2m，根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；（3）分两种情况：当D在x轴的下方：根据ACBD，直线解析式k相等可设直线BD的解析式为：y=2x+b，把B（4，0）代入得直线BD的解析式为：y=2x8，联立方程可得D的坐标；当D在x轴的上方，根据对称可得M的坐标，利用待定系数法求直线BM的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D的坐标【解答】解：（1）当x=0时，y=2，C（0，2），当y=0时，x+2=0，x=4，B（4，0），把C（0，2）和B（4，0）代入抛物线y=+bx+c中得：，解得：，该抛物线的表达式：；（2）如图1，C（0，2），OC=2，设M（m，m+2），则N（m，+2），MN=（+2）（m+2）=m2+2m，MNy轴，当四边形OMNC是平行四边形时，MN=OC，即m2+2m=2，解得：m1=m2=2，SOCMN=OC2=22=4；（3）分两种情况：当y=0时，x+2=0，解得：x1=4，x2=1，A（1，0），易得直线AC的解析式为：y=2x+2，当D在x轴的下方时，如图2，ACBD，设直线BD的解析式为：y=2x+b，把B（4，0）代入得：0=24+b，b=8，直线BD的解析式为：y=2x8，则2x8=x+2，解得：x1=5，x2=4（舍），D（5，18）；当D在x轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD于M，将BE（图2中的点D）于N，对称轴是：x=，CAO=ABE=DAB，M与N关于x轴对称，直线BE的解析式：y=2x8，当x=时，y=5，N（，5），M（，5），直线BM的解析式为：y=2x+8，2x+8=x+2，解得：x1=3，x2=4（舍），D（3，2），综上所述，点D的坐标为：（5，18）或（3，2）【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题4（2018杨浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CPAO时，求PAC的正切值；（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，4），A（4，0），然后根据待定系数法求抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=1，再利用对称性得到P（2，4），作PHAC于H，如图1，证明OAC和PCH为等腰直角三角形得到AC=4，PH=CH=，则AH=3，然后根据正切的定义求解；（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，利用平行四边形的性质得PQOA，PQ=OA=4，设P（t，t2t+4），则Q（t+4，t2t+4），然后Q点坐标代入y=x2x+4得（t+4）2（t+4）+4=t2t+4，再解关于t的方程即可得到P点坐标【解答】解：（1）当x=0时，y=x+4=4，则C（0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=4，则A（4，0），把A（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线解析式为y=x2x+4；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，而PCOA，点P与点C关于直线x=1对称，P（2，4），PC=2，作PHAC于H，如图1，OA=OC=4，OAC为等腰直角三角形，OAC=45，AC=4，PCOA，PCA=OAC=45，PCH为等腰直角三角形，PH=CH=2=，AH=ACCH=4=3，在RtPAH中，tanPAH=，即PAC的正切值为；（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，四边形APQO为平行四边形，PQOA，PQ=OA=4，设P（t，t2t+4），则Q（t+4，t2t+4），把（t+4，t2t+4）代入y=x2x+4得（t+4）2（t+4）+4=t2t+4，解得t=3，此时P点坐标为（3，）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质5（2018河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=x5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先解方程x2+6x5=0得A（1，0），再判断OCB为等腰直角三角形得到OBC=OCB=45，则AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQBC，作PDx轴交直线BC于D，如图1，利用PDQ=45得到PD=PQ=4，设P（m，m2+6m5），则D（m，m5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=m2+6m5（m5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m5（m2+6m5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到AM1B=2ACB，再确定N（3，2），AC的解析式为y=5x5，E点坐标为（，），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=x+b，把E（，）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=x，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到AM2C=AM1B=2ACB，设M2（x，x5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标【解答】解：（1）当x=0时，y=x5=5，则C（0，5），当y=0时，x5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+6x+c得，解得，抛物线解析式为y=x2+6x5；（2）解方程x2+6x5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），B（5，0），C（0，5），OCB为等腰直角三角形，OBC=OCB=45，AMBC，AMB为等腰直角三角形，AM=AB=4=2，以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AMPQ，PQ=AM=2，PQBC，作PDx轴交直线BC于D，如图1，则PDQ=45，PD=PQ=2=4，设P（m，m2+6m5），则D（m，m5），当P点在直线BC上方时，PD=m2+6m5（m5）=m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m5（m2+6m5）=m25m=4，解得m1=，m2=，综上所述，P点的横坐标为4或或；作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，M1A=M1C，ACM1=CAM1，AM1B=2ACB，ANB为等腰直角三角形，AH=BH=NH=2，N（3，2），易得AC的解析式为y=5x5，E点坐标为（，），设直线EM1的解析式为y=x+b，把E（，）代入得+b=，解得b=，直线EM1的解析式为y=x，解方程组得，则M1（，）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则AM2C=AM1B=2ACB，设M2（x，x5），3=，x=，M2（，），综上所述，点M的坐标为（，）或（，）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题6（2018浦东新区二模）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E在线段OC上，且CBE=ACO，求点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出OA=2，OC=4，进而求出BC，再得出和，进而建立方程即可得出结论；（3）当MC为菱形MCNP的边时，先求出进而得出，即可得出结论；当MC为菱形MCPN的边时，不存在，当MC为菱形MNCP的对角线时，先判断出CM、NP互相垂直平分，进而得出NQ=QP=1MQ=QC，即可得出QN=CQ=1，MQ=CQ=1，即可得出结论【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（2，0），B（4，0），解得，抛物线的解析式为，（2）如图1，过点E作EHBC于点H在RtACO中，A（2，0），OA=2，OC=4，在RtCOB中，COB=90，OC=OB=4，EHBC，CH=EH在RtACO中，CBE=ACO，在RtEBH中，设EH=k（k0），则BH=2k，CH=k，（3）A（1，0），B（5，0），抛物线的对称轴为直线x=1，当MC为菱形MCNP的边时，CMPN，PNC=NCO=45点P在二次函数的对称轴上，点P的横坐标为1，点N的横坐标为1四边形MCNP是菱形，当MC为菱形MCPN的边时，不存在，如图2，当MC为菱形MNCP的对角线时，设NP交CM于点Q，CM、NP互相垂直平分，NQ=QP=1MQ=QC，点N在直线BC上，NCM=OCB=45在RtCQN中，NCQ=CNQ=45，QN=CQ=1，MQ=CQ=1，CM=2，OM=OC+CM=4+2=6，M（0，6），综上所述或 M（0，6）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，线段垂直平分线的判定和性质，特殊直角三角形的性质，用分类讨论的思想是解本题的关键7.（2017成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28=0，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMPN能成为正方形作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，推出PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，可得M（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=，抛物线C的函数表达式为y=x2+4（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28=0，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m2，满足条件的m的取值范围为2m2（3）结论：四边形PMPN能成为正方形理由：1情形1，如图，作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，M（m+2，m2），点M在y=x2+4上，m2=（m+2）2+4，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形PMPN是正方形情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），把M（m2，2m）代入y=x2+4中，2m=（m2）2+4，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形PMPN是正方形综上，四边形PMPN能成为正方形，m=3或627平行四边形的存在性问题