专题20：动态几何之存在性问题探讨.doc

【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。
一、等腰（边）三角形存在问题：
典型例题：
例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），
且抛物线与y轴交于点B（0，2）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.

【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。
由题意得 ，解得。
∴物线的解析式为，即。
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA=，PB=，AB=
当PA=PB时，=，解得；
当PA=PB时，=5，方程无实数解；
当PB=AB时，=5，解得。
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。
（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，
此时点P是直线AB与x轴的交点。
设直线AB的解析式为，则
，解得。∴直线AB的解析式为，
当=0时，解得。
∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。
　　　　（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。
　　　　（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。
例2：（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。
由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。
∴点C的坐标为（4，0）。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，
将A（0，2）代入，得，解得。
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。
∵，∴抛物线的对称轴为。
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。
∵点P（m，n）在上，
∴P。
∴，
，。
∴ 。
∵，∴当时，S最大。
当时，。∴点P的坐标为（2，3）。
（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。
【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。
（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。
（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。
　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。
　　由点P在和可得。
　　∴，整理，得。
　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。
　　将代入得，将代入得。
　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。
（4）设点M（），
∵C（4，0）, P（2，3）,
∴PC=,
PM=,
CM=。
分三种情况讨论：
　　①当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。∴M1（）。
　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。
∴M2（），M2（）。
③当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。
∴M4（），M5（）。
　 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，△MPC为等腰三角形。
例3：（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得
，解得。
∴此抛物线的解析式为。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，
当y=时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。
【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。
例4：（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。
（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点，且，求点M 的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。
∴A（－2，0），D（0，4）。
将A（－2，0），D（0，4）代入，得
，解得。
∴这条抛物线的解析式为。
令，解得。∴B（4，0）。
（2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：
①当M在线段AD上时，由得
，
解得，。∴M1（）。
②当M在线段DA延长线上时，
由得
，解得。∴M2（）。
综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。
（3）存在。
∵点C（2，y）在上，
∴。∴C（2，4）。
设P，根据勾股定理，得
，
，。
分三种情况：
①若PB=BC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。
②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。
③若BC=PC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴不符合要求。
当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。
∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。
综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使△BCP为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。
（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。
（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。
例5：（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB
在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求
点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。
∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。
又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。
（2）①当△OCE∽△OBC时，则。
∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C（0，），∴M（2，）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=。 ∴ EN=1。
∴ 。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，
△EPM为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点
B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
练习题：
1. (2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；
（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请
求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．
y=h

2. （2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

3. （2012湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

4. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

5. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
二、直角三角形存在问题：
典型例题：
例1：（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠
在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作
BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所
有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，
∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ 。
（3）存在 。
∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。
由题意可得： ， 解得，。∴P1（－，－）。
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，
∵CD＝OA，∴A（0，2）。
设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。
∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。
由题意可得：，解得，。∴P2（－，－）。
∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。

【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。
（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。
（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。
例2：（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。
∴，即。
解得：x=2，即BE=2。
（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
∴，即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。
∴t=﹣3+。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。
（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。
（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB= ，
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=，∴FL=t﹣，
∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）
=。
④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），
B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述：。
例3：（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。
把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。
（3）存在。理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。
∴P（0，﹣1）。
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。
∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。
【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。
例4：（2012海南省13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，
OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON
（1）求该二次函数的关系式.
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.
（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.

【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。
∴二次函数的关系式为，即。
（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。
∴直线OA的解析式为。
把代入得。∴M（4，－2）。
又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。
∴。
（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则
设A（）,
则直线OA的解析式为。
则M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。
②能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
舍去，（在左侧）。
当时，。
∴此时存在点A（），使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
练习题：
1. （2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所
在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物
线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由.

2：（2012湖南邵阳12分）如图所示，直线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C.
⑴求点C的坐标；
⑵设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC
① 求证：△PBC∽△MPA；
② 是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3. （2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

三、平行四边形存在问题：
典型例题：
例1：（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。
例2：（2012山东日照10分）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为
（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x2＋bx＋c得，
，解得：。
∴抛物线的解析式为y=x2＋2x－3 。
由x2＋2x－3=0，得：x1=－3，x2=1，∴B的坐标是（1，0）。
设直线BD的解析式为y=kx＋b，则
，解得：。
∴直线BD的解析式为y=x－1。
（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,
∴直线EF的解析式为：y=x－a。
若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴。
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3。
由得y2＋（2a＋1）y＋a2＋2a－3=0，解得：y= 。
令=－3，解得：a1=1，a2=3。
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意。
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。
【分析】（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=－3求得合适的a的值即可。
例3：（2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、
B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）作CN⊥x轴于点N。
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，
又∵点C在第二象限，∴d＝－3。
（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，
设C′（c，2），则B′（c＋3，1）。
把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝2 c；k＝c＋3。
∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。∴反比例函数解析式为。
得点C′（3，2）；B′（6，1）。
设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得。
∴直线C′B′的解析式为。
（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为
2＋。∴Q（，）。
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的
图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于。
作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
则△P′EQ≌△QFM′ 。
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，
点M′的坐标是（，0）。
∴P′E＝