概率统计习题答案(2016).doc

习 题 一

1．写出下列随机试验的样本空间：
(1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)。
(2)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
(3)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
(5)在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
(6)实测某种型号灯泡的寿命。
解：（1），其中n为小班人数。
（2）W={3, 4,…,18}。
（3）W={10，11，…}。
（4）W={00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，1110，1111}，其中0表示“次品”，1表示“正品”。
（5）。
（6）。
2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。 X
(1)A发生，B与C不发生。 (2)A与B都发生，而C不发生。
(3)A，B，C中至少有一个发生。 (4)A，B，C都发生。
(5)A，B，C都不发生。 (6)A，B，C中不多于一个发生。
(7)A，B，C至少有一个不发生。 (8)A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）；（2）；（3）A∪B∪C 或 ；
（4）ABC；（5） ；
（6）或；（7）；（8）AB∪AC∪BC或.
3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
(1)； (2)；
(3)若，则； (4)若，则；
(5)； (6) 若且， 则。
解：（1）有A∪B=(A∪B) (∪B)=(A∪B)=A∪B，所以成立。
（2）因为右边，所以不成立。
（3）由BÌA即B发生导致A发生故AB发生，即BÌAB，且ABÌB显然，所以B=AB成立。
（4）若即B不发生不导致A不发生，等价说法即A发生导致B不发生与已知AÌB矛盾，所以等式成立。
（5）左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。
（6）若BC≠φ，则因CÌA，必有BCÌAB，所以AB≠φ与已知矛盾，所以成立。
4．化简下列各式：
(1)； (2)； (3)。
解：(1)
；
(2)
；
(3)
。
5．设A，B，C是三事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8。试求A、B、C至少有一个发生的概率。
解：∵ABCÌAB ∴0≤P(ABC)≤P(AB)=0，故P(ABC)=0
∴所求概率为
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

6．从1、2、3、4、5这5个数中，任取其3个，构成一个三位数。试求下列事件的概率：
(1)三位数是奇数； (2)三位数为5的倍数； (3)三位数为3的倍数； (4)三位数小于350。
解：设A={三位数是奇数}， B={三位数为5的倍数}，
C={三位数为3的倍数}，D={三位数小于350}。
基本事件总数为 ，

7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。试问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？
解：随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有种交货方式。其中符合定货要求的有··种，故所求概率为
8．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。试求：(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率。
解：试验E为1700个产品中任取200个，共有种取法，其中恰有90个次品的取法为·，故恰有90个次品的概率为

（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=W-(B∪C)，且BC=φ，B∪CÌW
∴P(A)=P[W-(B∪C)]=P(W)-[P(B)+P(C)]
9．把10本书任意地放在书架上。试求其中指定的三本书放在一起的概率。
解：设事件A表示指定的三本书放在一起，则

10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？
解：法一 设={4只鞋中至少有2只配成一双}，则
={4只鞋中没有2只能配成一双}。先求出，再求。
5双不同的鞋子共有10只，任取4只，则基本事件总数为。
有利于的情形共有 种（先在10只中取1只，去掉能与其配对的1只，再在剩下的8只中取1只，如此等等。因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。

故
法二 有利于事件A的总数为，因为4只恰能配成两双被重复计数）
所以
法三 “恰有2只配成一双”，共有（由于配成对的一双有种取法，剩下的两只可在其余四双中任取两双各取一只有种取法，以上搭配共有种取法）。四只配成两双共有种取法。于是

11．将3只鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。
解：依题意知基本事件总数为53个。
以Ai表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”(i=1, 2, 3)，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有种放法，故

A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为种

A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有种放法，故

12．把长度为A的线段在任意二点折断成为三线段，试求它们可以构成一个三角形的概率。
解：设B表示事件“长度为A的线段在任意二点折断成为三线段，它们可以构成一个三角形”，线段A被分成的三段长度分别用x，y和表示，则样本空间Ω为：，其面积为而有利于B的情形必须满足构成三角形的条件，即

其面积为

故

13．甲、乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，试求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。
解：设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则Ω为：0≤x≤24，0≤y≤24，∴L(Ω)=242，
设A={它们中任何一艘都不需要等候码头空出}，则有利于A的情形分别为：
（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即y-x≥1或y≥1+x；
（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y≥2或y≤x-2；
所以，事件A应满足关系：y≥1+x，y≤x-2，
L(A)
故， 。
14．已知P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)=1/2。试求。
解：由乘法公式知
，
，
∴ ，
∴ .
15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求下列事件的概率：(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；(3)一只是正品，一只是次品；(4)第二次取出的是次品。
解：设A={两只都是正品}，B={两只都是次品}，C={一只是正品，一只是次品}。以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品”，
则有
因为不放回抽样，故
（1）
（2）

16．在做钢筋混凝土构件之前，要通过拉伸试验，以检查钢筋的强度指标。今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0.95，则认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，试问这组钢筋能否用于做构件？
解：设A表示事件任取3根都是合格品，则

故，这组钢筋不能用于做构件。
17．某人忘记了密码锁的最后一个数字，他随意地拨数，试求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率又是多少？
解：设以Ai表示事件“第i次接通”（i=1，2，3），A表示“不超过三次接通”，则有

易知：是互不相容的。故

同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是

*18．袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少？
解：设以Ai(i=1，2，…，8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则，
又，由概率的乘法公式得

类似地有

∴
19．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，试问另一件也是不合格品的概率是多少？
解：设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为

20．由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率是0.7，活到80岁以上的概率是0.4。若已知某人现在70岁，试问他能活到80岁的概率是多少？
解：设A表示事件居民从出生算起活到70岁以上，B表示事件居民从出生算起活到80岁以上，则P(A)=0.7，P(B)=0.4，且B=AB，故有

21．对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为0.9，达到600#的概率为0.3，现取一水泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，试求其为600#的概率。
解：设A表示事件该水泥达到500#，B表示事件达到600#，则P(A)=0.9，P(B)=0.3，且B=AB，故有

22．以A、B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P(A)＝0.35，P(B)＝0.30，并知条件概率为P(AçB)＝0.15。试求：(1)两个区同时发生停水事件的概率；(2) 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。
解：由题设，
(1)；
（2）。
23．设有甲、乙两口袋，甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。试问取到白球的概率是多少？
解：设A1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则
，，
，
由全概率公式

24．盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，试求第二次取出的球都是新球的概率。
解：设表示第一次取到的i个新球（i=0，1，2，3），A表示第二次取出的球都是新球。则；。
因此，
25．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02．而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2 ：l。若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
解：设事件H表示原发信息为A，C表示收到信息为A，则表示原发信息是B。H，是W的一个划分。依题意有

由贝叶斯公式有

26．甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，试求它不是乙组加工的概率。
解：设分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”。
则

由贝叶斯公式，有

所以
27．有两箱同种类型的零件。第一箱装有50只，其中10只一等品；第二箱装有30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求：
(1)第一次取到的零件是一等品的概率；
(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设事件A表示“取到第一箱”，则表示“取到第二箱”，B1，B2分别表示第一、二次取到一等品。
（1）依题意有：
，，
由全概率公式

（2）
由全概率公式

∴
28．设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4。今任取一张，设事件A为取到4或2，事件B为取到4或3，事件C为取到4或1。试验证
P(AB)＝P(A)P(B)， P(BC)＝P(B)P(C)， P(CA)＝P(C)P(A)，P(ABC)¹P(A)P(B)P(C)。
解：样本空间W中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个样本点，故

又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到1”
故
∴
P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
又ABC中有1个样本点取到1
∴
29．假设关于条件与都相互独立，证明
。
证明：

30．如果一危险情况C发生时，则报警电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少有一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)。试问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。
解：设n只开关并联，以 Ai（i=1，2，3，…，n）表示事件“在C发生时，第i只开关闭合”，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为

又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须
0.9999≤
即
故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。
31．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。试求飞机被击落的概率。
解：以 Ai（i=0，1，2，3）表示事件“有i个人击中飞机”，A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机，D表示飞机被击落，则，又，故，。
同理，，故

。
。
=0.14。
因而，由全概率公式得飞机被击落的概率为
。
32．在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。
解： 设Ai（i=1，2，3，4，5）表示事件第i次取到非白球，A恰有3次取到非白球。则。故
。
33．在四次独立试验中，事件A至少出现一次的概率为0.5904，求在三次独立试验中，事件A出现一次的概率。
解：设事件A出现的概率为，表示第独立试验中事件A发生， C表示在四次独立试验中，事件A至少出现一次，D表示在三次独立试验中，事件A出现一次。则

可以解得，故

34．甲、乙、丙三同学各自去解一道数学难题，他们能答出的概率分别为。求：
（1）恰有1个人答出的概率；（2）难题能解出的概率。
解：设A，B，C分别表示甲、乙、丙独立解出数学难题，D表示数学难题被解出，则

35．某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为
其中，若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的。证明：一天孵出k只母鸡的概率。
解：设是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，
则是互不相容事件，且，，。

习 题 二
1．设有函数

试说明F(x)能否是某随机变量的分布函数。
解：F(x)不能作为某随机变量的分布函数，因为随机变量的分布函数要求为单调非减函数，而本题中F(x)当时，F(x)是单调减函数，故本题中F(x)不能作为某随机变量的分布函数。
2．－筐中装有7只篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7。在筐中同时取3只，以随机变量X表示取出的3只当中的最大号码，试写出随机变量X的分布律。
解：由题设知，X的可能取值为3、4、5，6，7.且其分布律为
,,，
，。即
X
3
4
5
6
7

3．设在6只零件中有4只是正品，从中抽取4次，每次任取1只，以X表示取出正品的只数。试分别在有放回、不放回抽样下求：(1)X的分布律，(2) X的分布函数并画出图形。
解：（1）在有放回抽样下，X服从 为参数的二项分布，其分布律为
。
X
0
1
2
3
4

在不放回抽样下，X服从 为参数的超几何分布，其分布列为
。
X
2
3
4

(2)离散型场合下，求分布函数是按公式

对x的不同取值实施逐段求和。于是，先就不放回抽取进行逐段讨论。
当x<2时，有
；
当2x<3时，有
；
当3x<4时，有
；
当x4时，有
。
综合逐段求和的结果，有

其图象略。
有放回抽取下的分布函数可按如下方法求解：

其图象略。
4．设X服从(0－1)分布，其分布律为。试求X的分布函数，并作出其图形。
解：图象略。
5．将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次所得点数之和，以Y表示两次中得到的小的点，试分别求X与Y的分布律。
解：抛掷两次骰子，点数出现情况构成样本空间，W={(1, 1), (1, 2), …, (1, 6), (2, 1), (2, 2), …,(2,6), (3,1), (3, 2), …, (3, 6), (4, 1), …, (6,6)} 共36个样本点。
故两次所得点数之和X的分布律为

X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pk

两次中得到小的点数Y的分布律为
Y
1
2
3
4
5
6
pk

6．试求下列分布律中的待定系数k:
(1)~。
(2) ~。
(3) ~为常数。
解：（1）由 ，即 ，，。
（2）由 有 ，即 ，
，。
(3) 由 有 ，即 ，
，。
7．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为q＝1-p(0＜p＜1。
(1)将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，试求X的分布律 (此时称X服从以p为参数的几何分布) 。
(2)将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需的试验次数，试求X的分布律 (此时称X服从以r，p为参数的巴斯卡分布) 。
(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%。以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。
解：设表示第次试验取得成功，则
（1）
。
（2）由题设知，X的可能取值，当X取时，表示前次共发生了次，故所求的概率为

（3）由题设知X是服从参数的几何分布，即

。
8．有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，试求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数X的分布律。
解：设A={甲口袋中取出的一只黑球}，Bi= {从乙口袋中取出的4只球中有i个黑球}，则 。由全概公式可得

类似可得
。
故X的分布律为
X
0
1
2
3

9．设X服从泊松(Poisson)分布，且已知。试求。
解：由
因为，P{X=1}=P{X=2}，即得
解出，但应是正数，故舍去，取，
故 。
10．一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每套系统被使用的概率为0.1。试问在同一时刻
(1)恰有2套系统被使用的概率是多少? (2)至少有3套系统被使用的概率是多少?
(3)至多有3套系统被使用的概率是多少? (4)至少有1套系统被使用的概率是多少？
解：设X表示在任一时刻t正在使用的空调系统套数，则。故有
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
11．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。
(1)某人随机地去猜，试问他试验成功一次的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)。
解：（1）设X表示一次试验成功的次数，则X~(0, 1)分布，且

（2）设X表示10次试验成功的次数，则

试验10次，成功3次的概率极小，即成功可能性小，所以说他猜对的可能性小，但他成功了还是应该说他确实具有区分能力。
12．在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0.005。试求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。
解：设X表示在这段时间内断纱次数，则，取。故有
。
13．国际羽联为缩短比赛时间，把汤姆斯杯的赛制由9局5胜制改为5局3胜制。问这种赛制的改动是对强队有利还是对弱队有利 (假定强队每名队员对弱队队员的胜率均为0.6)？
解：设分别表示强队在9局5胜制以及5局3胜制下取胜的概率，表示第局强队取胜，记强队每名队员对弱队队员的胜率为，则在9局5胜制下，可以比5局，也可以比6局、7局、8局、9局，只要最后1局强队取胜，而前面比赛中取胜4局即可，且每种情况下都服从二项分布。故

同理，在5局3胜制下，可以比3局，也可以比4局、5局，只要最后1局强队取胜，而前面比赛中取胜2局，同样每种情况下都服从二项分布。故

因此，赛制由9局5胜制改为5局3胜制对弱队有利。
14．某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年是否发生洪水是相互独立的。试求：(1)洪水十年一遇的概率； (2)至少要多少年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。
解：设X表示在年内发生洪水的年份，则。
（1）。
（2）设至少需要年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水，则
，
即，。
故至少需要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水.
15．在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：
(1)产生断桩的概率是多少？ (2)甲组断两根的概率是多少？
解：设甲组打断根桩，乙组打断根桩，则。又A、B分别表示甲、乙断桩，且A、B是独立的，C表示产生断桩。则
（1）=0.1413，
。
故，

（2）
16．一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布。试求：(1)每分钟恰有7次寻呼的概率。(2)每分钟的寻呼次数大于10的概率。
解：设X表示寻呼台每分钟收到寻呼的次数，则由题设

故
（1）。
（2）
17．某商店出售某种商品，据历史记载分析，月销售量服从泊松分布，参数为5。试问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要？
解：设X表示月销售量，则由题设

又设在月初进货时要库存件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要，故
，
即，。查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初进货时，至少要库存13件此种商品。
18．试确定下列函数中的待定系数a，使它们成为概率密度，并求它们的分布函数。
(1) (2)
解：（1）由规范性知，，即
。

（2）由规范性知，，即
。

19．设随机变量X的分布函数为

试求：(1)； (2)求概率密度。
解：（1），
，
。
（2） 即
20．设随机变量X的概率密度为，且是随机变量的分布函数，则对任意实数a 有。试证之。
证明：有
，
所以
。
21．设随机变量X的概率密度为
(1) (2)
试求X的分布函数，并画出(2)中的及的图形。
解：（1）

（2）
22．设k在(0，5)上服从均匀分布。试求方程有实根的概率。
解：依题意得k的密度函数为：
而方程有实根的条件是：
即，，解得或。因此，所求概率为
。
23．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布，其概率密度为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。试写出Y的分布律，并求。
解：由于，故，其的分布律为
。
24．设随机变量X服从正态分布，试求：
1)；(3)决定C，使得。
解：(1)

(2)

（3）由于，故，
即，，所以，，即C=3。
25．某地区18岁的女青年的血压X(收缩压，以mm Hg计)服从N (110，122)，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X。(1)试求(2)试确定最小的x使得。
解：（1）由于X~N(110, 122)，故

（2），即，也即，
，查表，，即。
26．在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布N(220，252)。
试求：(1)该电子元件损坏的概率；
(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240之间的概率。
解：设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200V～240V}，A3={电压超过240V}，B={电子元件损坏}。
由于X~N(220, 252)，因此

.
由题设知 P(B|A1)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(B|A3)=0.2。
（1）由全概率公式

（2）由贝叶斯公式

27．一个口袋中有6个一样的球，其中3个球各标有一个点，2个球各标有2个点，一个球上标有3个点。从袋中任取3个球，设X表示这3个球上点数的和。(1)试求X的分布律；(2)若任取10次(有放回抽样)，试求8次出现X=6的概率；(3)试求的概率分布。
解：（1）X的可能取值为3，4，5，6，7.且
，类似可求得X取其它值的概率，列表如下：
X
3
4
5
6
7

（2）设Y表示10次有放回的抽样中8次出现X=6的次数，则。故
。
28．设随机变量X的分布律为

X
-2
-1
0
1
2

试求的分布律。
解：用对应列表的思路，先给出辅助表格，再据此重新排序后直接写出分布律。
X
-2
-1
0
1
2
Y=X2
4
1
0
1
4

于是Y的分布律分别为：
Y
0
1
4
pi

29．设随机变量X在(0，1)区间内服从均匀分布。试求：(1) 的概率密度。(2)求的概率密度。
解：由题设知，
（1）由，即 y=ex 为严格单调函数，其反函数为，，
于是
（2）由，即为严格单调函数，其反函数为，，于是
30．(1)设随机变量的概率密度为。试求的概率密度。
(2)设随机变量X的概率密度为 ，试求的概率密度。
解：（1），即，故，。
当时，亦，因此有
。
（2），即，，y>0，故当时有

故，
当时有。
综合以上可得

31．设随机变量X～N (0，1)。 (1)试求的概率密度，(2)试求的概率密度。
解：由题设知，
（1）因函数，即不是x的严格单调函数，故不能直接引用定理求解。用分布函数法分段讨论求解。
，
当时，，故
当时，

故
最后得，
（2），即y=|x|，不是x的严格单调函数，故不能直接引用定理求解。与（1）一样用分布函数法分段讨论求解。
当，y≥0，此时

故 ，
当y<0时，显然有。
所以
32．设随机变量X服从参数为2的指数分布。证明：在区间(0，1)上服从均匀分布。
解：由题设知，
由，即为严格单调函数，其反函数为
，，
于是

习 题 三

1．设二维随机变量(X，Y)只取下列数组中的值：
(0，0)，(-1，1)，(-1，)，(2，0)。
且取这些值的概率依次为。试求表示这二维随机变量联合分布律的矩形表格。
解：由题设可得(X，Y)的联合分布律如下：
Y
X
0
1/3
1
-1
0
1/12
1/3
0
1/6
0
0
2
5/12
0
0
2．一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字。试求(X，Y)的联合分布律。
解：(X，Y)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率：
P{(X，Y)=(1，2)}=(1/3)´1=1/3；
P{(X，Y)=(2，1)}=(2/3)´(1/2)=1/3；
P{(X，Y)=(2，2)}=(2/3)´(1/2)=1/3；
将上述结果列表如下：
Y X
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
3．一整数n等可能地在1，2，3，…，10十个值中取一个值，设X=X(n)是能整除n的正整数的个数，Y=Y(n)是能整除n的素数的个数(注意：1不是素数)。试写出(X，Y)的联合分布律。
解：依题意有：
n：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X(n)：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
Y(n)：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
因此X=1，2，3，4；Y=0，1，2。由此易求得x和h联合分布律为：
Y (n) X(n)
1
2
3
4
0
1/10
0
0
0
1
0
4/10
2/10
1/10
2
0
0
0
2/10
4．设随机变量(X，Y)的联合概率密度为

(1)试确定常数k；(2)试求：、、。
解：(1) 由概率密度的性质知：
,
即 8k=1 ∴ k=1/8;
(2) ;
(3) ;
(4)。
5．设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为

试求：(1)联合概率密度f(x，y)；(2)。
解：(1)
(2) =F(1，1)- F(1，0)- F(0，1)+ F(0，0)=0.444。
6．在第2题中，若改为袋内装有号码是1，2，2，3的4个球，其它假设不变。试求(X，Y)的联合分布律和边缘分布律。
解： X、Y的取值均为1，2，3，因而(X、Y)的可能取值为
(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，3)、(3，1)、(3，2)。
由此可算得P{X=1，Y=2}=(1/4)´(2/3)=1/6，类似地可计算(X、Y)取其它值的概率，列表如下：
Y
X
1
2
3
1
0
1/6
1/12
2
1/6
1/6
1/6
3
5/15
1/6
0
7．已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用X表示所含的一级品件数，Y表示二级品件数。试求：(1)( X，Y)的联合分布律；(2)关于X和关于Y的边缘分布律；(3)。
解：(1)显然X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。计算相应的概率为
，
类似地，可计算其它概率，列表如下(含边际分布列)：
Y
X
0
1
2
3
X的边缘分布列
0
0
0
10/56
10/56
20/56
1
0
10/56
20/56
0
30/56
2
1/56
5/56
0
0
6/56
Y的边缘分布列
1/56
15/56
30/56
10/56
1
(1)因0=P{X=1，Y=1}≠P{X=1}´P{Y=1}=(20/56)´(1/56)，故X与Y不独立。
(2)P{X<1.5，Y <2.5}= P{X=0，Y=0}+ P{X=1，Y=0}+ P{X=0，Y=1}+ P{X=1，Y=1}
+ P{X=0，Y=2}+P{X=1，Y=2}=40/56；
(3)P{X≤2}=1，P{Y<0}=0。
8．已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

试确定待定系数c，并求关于X、Y的边缘概率密度。
解：确定常数c。由
=

即得
当0≤x、y≤π/4时，有

因，且，故

于是。显然当及时，因有于是

由对称性易知

9．设二维随机变量(X，Y)在区域G上服从均匀分布，其中。试求（X，Y）的联合概率密度及关于X和Y的边缘概率密度。
解：从图(图略)易知G的面积，
因此(1)联合分布函数为
(2)
(3)
10．已知X服从参数p=0.6的(0-1)分布，且在X=0及X=1下，关于Y的条件分布分别如下表所示：
Y
1
2
3

Y
1
2
3
P{ Y | X =0}
1/4
1/2
1/4

P｛Y | X =1｝
1/2
1/6
1/3
试求二维随机变量(X，Y)的联合分布律，以及在Y≠1时关于X的条件分布。
解：显然(X，Y)的可能取值为(0，1)、(0，2)、(0，3)、(1，1)、(1，2)、(1，3)。利用条件概率可求得联合分布律如下：
Y
X
1
2
3
0
0.1
0.2
0.1
2
0.3
0.1
0.2
例如，P{X=0，Y=1}= P{X=0}P{Y=1|X=0}=0.4´(1/4)=0.1,其它类似。
(2)P{X=0|Y≠1}=；
P{X=1|Y≠1}=。因此，Y¹1时关于X的条件分布为
X
0
1
p
0.5
0.5
11．在第2题中的两个随机变量X与Y是否独立？当X=1时，Y的条件分布是什么？
解：不独立；因为P{Y=2|X=1}=1，而P{Y=2}·P{X=1}=(2/3)·(1/3)≠P{Y=2|X=1}。
。
12．设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为
试求：(1) 条件概率密度。
解：(1)因为
故 ；
(2)由于 故
.
13．设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

试求条件概率密度并计算。
解：先求边缘概率密度

故有
当时，
当时，

14．已知相互独立的随机变量X，Y的分布律分别为
X
0
1

Y
0
1
2
3

0.7
0.3

0.4
0.2
0.1
0.3
试求：(1) (X，Y)的联合分布律；(2)的分布律。
解：(1)由题设可知
。