第十二章动量矩定理.pdf

第十二章第十二章第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章第十二章第十二章动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理(Theorem of the Moment of Momentum)20112011年年年年5 5月月月月8 8日日日日第十二章第十二章动量矩定理动量矩定理12-1动量矩动量矩12-2动量矩定理动量矩定理12-4刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程12-3刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量？实际问题实际问题实际问题实际问题谁最先到达谁最先到达谁最先到达谁最先到达顶点顶点顶点顶点？实际问题实际问题实际问题实际问题谁最先到达谁最先到达谁最先到达谁最先到达顶点顶点顶点顶点无论力偶加在无论力偶加在无论力偶加在无论力偶加在哪里，为什么哪里，为什么哪里，为什么哪里，为什么圆盘总是绕着圆盘总是绕着圆盘总是绕着圆盘总是绕着质心转动质心转动质心转动质心转动 实际问题实际问题实际问题实际问题为什么二者转为什么二者转为什么二者转为什么二者转动方向相反动方向相反动方向相反动方向相反 实际问题实际问题实际问题实际问题1.1.质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩()Omm=Mvrv()Omm=Mvrv动量矩矢量是定位矢量动量矩矢量是定位矢量动量矩矢量是定位矢量动量矩矢量是定位矢量OOrmv()mvMO质点对质点对质点对质点对z z z z轴的动量矩轴的动量矩轴的动量矩轴的动量矩()()zOzMmm=vMv?对比力对点之矩对比力对点之矩对比力对点之矩对比力对点之矩()O=MFrF()O=MFrF对比力对轴之矩对比力对轴之矩对比力对轴之矩对比力对轴之矩()()zOzM=FMF12-1动量矩动量矩第第第第i i个质点的动量矩个质点的动量矩个质点的动量矩个质点的动量矩()Oi iii imm=Mvrv()Oi iii imm=Mvrv质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩()11nnOOi iii iiimm=LMvrv质点系对质点系对质点系对质点系对z z轴的动量矩轴的动量矩轴的动量矩轴的动量矩()1nzziiiLMm=v2.2.质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩m1mimnm3m2x xz zy yO Oirv vi i3.3.质点系为刚体时的动量矩质点系为刚体时的动量矩质点系为刚体时的动量矩质点系为刚体时的动量矩刚体平移时刚体平移时刚体平移时刚体平移时zzLJ=为刚体对为刚体对为刚体对为刚体对z z z z轴的轴的轴的轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动OCCm=Lrv()11nnzziiii iiiLMmm v r=v211nniii iiimm r=irr记2nziiiJm r=ziimvri11()nnOiii iCiimmm=Lrvrv=rv常见规则形状物体的转动惯量常见规则形状物体的转动惯量常见规则形状物体的转动惯量常见规则形状物体的转动惯量212OJmR=均质细直杆：质量为均质细直杆：质量为均质细直杆：质量为均质细直杆：质量为mm，杆长为，杆长为，杆长为，杆长为l l均质圆盘（圆柱）：质量为均质圆盘（圆柱）：质量为均质圆盘（圆柱）：质量为均质圆盘（圆柱）：质量为mm,半径为半径为半径为半径为R RzzC CC CO213ozJJml=2112cCzJJml=均质圆环：质量为均质圆环：质量为均质圆环：质量为均质圆环：质量为mm，半径为，半径为，半径为，半径为R R2OJmR=RO12-2刚体对轴的转动惯量（刚体对轴的转动惯量（12-3）2zzmdJJC+=2zzJm=平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理 确定确定确定确定转动惯量的方法转动惯量的方法转动惯量的方法转动惯量的方法 积分法积分法积分法积分法 组合法组合法组合法组合法 实验法实验法实验法实验法C C为质心为质心为质心为质心 回转半径回转半径回转半径回转半径z 其 中 其 中回转半径回转半径回转半径回转半径 质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒12-3动量矩定理（动量矩定理（12-2）质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理d()dmt=vFd()dmt=vFd()dmt=vrrFd()dmt=vrrFd()d()ddddmmmttt=vrvrrvd()d()ddddmmmttt=vrvrrv()ddOOt=LMF质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点上的力对该点的矩。用于质点上的力对该点的矩。用于质点上的力对该点的矩。用于质点上的力对该点的矩。d()d()ddmmtt=vrvrd()d()ddmmtt=vrvrddt=rvddt=rv矢量式矢量式矢量式矢量式由由由由ied()()diiiOiOiiiimt=+rvMFMFied()()diiiOiOiiiimt=+rvMFMFm1mnmim3m2x xz zy yO Ov vi ir ri iF Fi iF Fn nF F1 1F F2 2质点系对于定点质点系对于定点质点系对于定点质点系对于定点O O的动量矩对时间的一阶导的动量矩对时间的一阶导的动量矩对时间的一阶导的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上数，等于作用在系统上数，等于作用在系统上数，等于作用在系统上所有外力所有外力所有外力所有外力对于同一对于同一对于同一对于同一点的主矩点的主矩点的主矩点的主矩.eddOOt=LMe()Oii=MFe()Oii=MF 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理0 0eeeddddddxxyyzzLMtLMtLMt=eddOOt=LMeddOOt=LM质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）质点系对于定点的动量矩定理（投影式）质点系对于定点的动量矩定理（投影式）质点系对于定点的动量矩定理（投影式）质点系对于定点的动量矩定理（投影式）？解：解：解：解：已知已知已知已知例例例例1212-1 1求：求：求：求：（1 1）滑轮转动的角加速度；）滑轮转动的角加速度；）滑轮转动的角加速度；）滑轮转动的角加速度；（1 1）取系统为研究对象）取系统为研究对象）取系统为研究对象）取系统为研究对象121Om Jmmr、r2，不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。O O1m g2m g（2 2）滑轮）滑轮）滑轮）滑轮O O处的约束力；处的约束力；处的约束力；处的约束力；（3 3）绳索的拉力。）绳索的拉力。）绳索的拉力。）绳索的拉力。2v1vNFmgmg222111rvmrvmJLOO+=+(e)d()dOOMLt=F(e)1 12 2()()OMm rm r g=F2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO+=)(222211rmrmJO+=（顺时针）（顺时针）（顺时针）（顺时针）（顺时针）（顺时针）（顺时针）（顺时针）解：解：解：解：O O1m g2m g2v1vNFmgmgCyNammmgmmmF)()(2121（2）由质心运动定理（2）由质心运动定理+=+iiCyCim yaym=?)()(221121rmrmgmmmFN+=1 12212m am ammm+=+1 12 212()m rm rmmm+=+=解：解：解：解：（3）分别以两重物为研究对象（3）分别以两重物为研究对象111111rmamFgmT=)(111rgmFT=222222rmamgmFT=)(222rgmFT+=恒矢量=OL恒矢量=OLeddOOt=LMeddOOt=LMe0OMe0OM如果外力系对于定点的主矩等于零，如果外力系对于定点的主矩等于零，如果外力系对于定点的主矩等于零，如果外力系对于定点的主矩等于零，则质点系对这一点的动量矩守恒。则质点系对这一点的动量矩守恒。则质点系对这一点的动量矩守恒。则质点系对这一点的动量矩守恒。动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒动量矩守恒e0zM=e0zM=eddzzLMt=eddzzLMt=OzLC=OzLC=如果外力系对于定轴之矩等于零，如果外力系对于定轴之矩等于零，如果外力系对于定轴之矩等于零，如果外力系对于定轴之矩等于零，则质点系对这一轴的动量矩守恒。则质点系对这一轴的动量矩守恒。则质点系对这一轴的动量矩守恒。则质点系对这一轴的动量矩守恒。思考：思考：两人两人A、B 同时爬绳，设两人质量相同，讨论下面几种情形：（1）同时爬绳，设两人质量相同，讨论下面几种情形：（1）A以绝对速度以绝对速度v 爬绳，爬绳，B不爬，问不爬，问B的绝对速度为多少？的绝对速度为多少？思考：思考：（2）开始时两人静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度（2）开始时两人静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度vAr,vBrBr同时爬绳，问谁先到达顶点？（3）在（2）中同时爬绳，问谁先到达顶点？（3）在（2）中绳子移动的速度为多少？绳子移动的速度为多少？绳子移动的速度为多少？（4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？绳子移动的速度为多少？（4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？刚体定轴转动时的微分方程刚体定轴转动时的微分方程刚体定轴转动时的微分方程刚体定轴转动时的微分方程()dddd)(zzzzJLttMJ=F()zzJM=F()zzJM=?F或或或或12-4刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程例例例例1212-2 2物理摆（复摆），已知。物理摆（复摆），已知。求求:微小摆动的周期微小摆动的周期。,Om Ja解：解：解：解：22dsindOJmgat=sin微小摆动时，微小摆动时，mgatJO=22dd0dd22=+OJmgat即：即：2Om gaJ=周期为周期为周期为周期为22OJTmga=解：解：解：解：)sin(+=tJmgaOO通解为通解为20 令令令令得得得得+=?固有频率固有频率固有频率固有频率图示结构中，一长为图示结构中，一长为图示结构中，一长为图示结构中，一长为l l、质量为质量为质量为质量为mm的均质杆的均质杆的均质杆的均质杆ABAB用光滑用光滑用光滑用光滑铰链铰链铰链铰链A A和弹簧常数为和弹簧常数为和弹簧常数为和弹簧常数为k k的弹簧的弹簧的弹簧的弹簧支持，在水平位置处于平支持，在水平位置处于平支持，在水平位置处于平支持，在水平位置处于平衡。若弹簧重量不计，试求衡。若弹簧重量不计，试求衡。若弹簧重量不计，试求衡。若弹簧重量不计，试求杆作微小振动时的周期。杆作微小振动时的周期。杆作微小振动时的周期。杆作微小振动时的周期。习题讨论课习题讨论课习题讨论课习题讨论课-题题题题1 1b bl lB Bk kA Ab bl lB Bk k k kA Ab bl lB Bk k k kA Ab bl lB Bk k k kA A为了测定半径为了测定半径为了测定半径为了测定半径r r0.5m0.5m的飞的飞的飞的飞轮的转动惯量，在缠于轮缘的绳轮的转动惯量，在缠于轮缘的绳轮的转动惯量，在缠于轮缘的绳轮的转动惯量，在缠于轮缘的绳上系一质量为上系一质量为上系一质量为上系一质量为mm1 1=8kg=8kg的物块。的物块。的物块。的物块。由静止开始释放物块，自高度由静止开始释放物块，自高度由静止开始释放物块，自高度由静止开始释放物块，自高度h h=2m2m处下落，观察到它下落时间为处下落，观察到它下落时间为处下落，观察到它下落时间为处下落，观察到它下落时间为t t1 1=16s=16s。为了从计算中消去轴承。为了从计算中消去轴承。为了从计算中消去轴承。为了从计算中消去轴承摩擦，又换用质量为摩擦，又换用质量为摩擦，又换用质量为摩擦，又换用质量为mm2 2=4kg=4kg的的的的第二个物块，并观察到它下落时第二个物块，并观察到它下落时第二个物块，并观察到它下落时第二个物块，并观察到它下落时间为间为间为间为t t2 2=25s=25s。设由于摩擦所引起。设由于摩擦所引起。设由于摩擦所引起。设由于摩擦所引起的力偶矩为常量，求飞轮的转动的力偶矩为常量，求飞轮的转动的力偶矩为常量，求飞轮的转动的力偶矩为常量，求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力偶矩。惯量和轴承的摩擦力偶矩。惯量和轴承的摩擦力偶矩。惯量和轴承的摩擦力偶矩。习题讨论课习题讨论课习题讨论课习题讨论课-题题题题2 2