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专题6：导数的综合应用

专题6．导数的综合应用
导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.
导数综合试题,主要有以下几方面的内容:
1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;
2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;
3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;
4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.
5. 导数与其他方面的知识的综合

1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;

【例1】(2005年高考·全国卷II·理22)
已知
（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

【分析及解】（I）对函数求导数，得
令，得，
从而，
解得，，其中
当变化时，的变化情况如下表：

＋
0
－
0
＋

增
极大值
减
极小值
增

当在处取到极大值，在处取到极小值。
当时，，，在上为减函数，在上为增函数，
而当时，；当时，
所以当时，取得最小值。
（II）当时，在上为单调函数的充要条件是，
即，解得。
综上，在上为单调函数的充要条件。
即的取值范围是。
解法二.由（I）知, 当时，，，在上为减函数,因此,要使在[－1，1]上是单调函数，只能使在[－1，1]上是单调减函数，
即在[－1，1]上恒成立，
亦即在[－1，1]上恒成立
设.
则又等价于在[－1，1]上恒成立,
从而等价于,为此解解得.
即的取值范围是。

2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;
【例1】(2005年，重庆卷，理19)
已知，讨论函数的极值点的个数.

【分析及解】

（1）当

x

x1

+
0
－
0
+

增
极大值
减
极小值
增
即此时有两个极值点.
（2）当有两个相同的实根,于是
无极值.
（3）
为增函数，
此时无极值. 因此当无极值点. 【例2】(2004年，湖北卷，文22)
已知,函数的图象与函数的图象的相切.
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围.

【分析及解】 （Ⅰ）依题意，令

（Ⅱ）

x

x0
（

+
0
+
于是不是函数的极值点.
的变化如下：
x

x1

（

+
0
—
0
+
由此，的极小值点.
综上所述，当且仅当

3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题; 【例1】(2005年，湖南卷，文19)
设，点P（，0）是函数)的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

【分析及解】（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.

又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）

因为函数在（－1，3）上单调递减，
且是（－1，3）上的抛物线，
所以
即
解得
所以的取值范围为

【例2】(2004年，浙江卷，理20)
设曲线≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值.
【分析及解】（Ⅰ）因为所以切线的斜率为
故切线的方程为即.
（Ⅱ）令y=0得x=t+1,
又令x=0得
所以S（t）=
=
从而
∵当（0，1）时，>0,
当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=

4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式
【例1】（2004年，全国卷Ⅱ，理.22)
已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值;
（Ⅱ）设,
证明

【分析及解】 （Ⅰ） 函数的定义域为.
令
当
当 又
故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.
（Ⅱ）
设
则
当上为增函数.
因为
即
设
则
当 因此上为减函数.
因为
即
5. 导数与其他方面的知识的综合
【例1】(2004年，全国卷Ⅲ，理22)
已知函数的所有正数从小到大排成数列
（Ⅰ）证明数列{}为等比数列；
（Ⅱ）记是数列{}的前n项和，求

【分析及解】（Ⅰ）
由得
解出为整数，从而

所以数列是公比的等比数列，且首项
（Ⅱ）

从而

因为，
所以,

【例2】（2004年，广东卷，21)
设函数f(x)=x ln(x+m)，其中常数m为整数.
（I）当m为何值时,；
(II)定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g (x 0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f (x)= 0,在内有两个实根.

【分析及解】（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且

当x∈(-m, )时, f ’（ x）<0, f (x)为减函数, f (x)> f ()
当x∈(, +∞)时, f’（x）>0, f (x)为增函数, f (x)> f ()
根据函数极值判别方法，f ()= 为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f (x)≥f ()=
故当整数m≤1时，f (x) ≥≥0
(II)由（I）知，当整数m>1时，f ()=<0,
函数f(x)= x -ln(x +m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x - ln(x+m),在 上为连续增函数且 f()与异号，
由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。