专题6：导数的综合应用.doc

专题6：导数的综合应用 专题6导数的综合应用 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题; 3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题; 4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式. 5. 导数与其他方面的知识的综合 1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解; 【例1】(2005年高考全国卷II理22) 已知（）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；（）设在1，1上是单调函数，求a的取值范围. 【分析及解】（I）对函数求导数，得 令，得，从而，解得，其中当变化时，的变化情况如下表：00增极大值减极小值增当在处取到极大值，在处取到极小值。当时，在上为减函数，在上为增函数，而当时，；当时，所以当时，取得最小值。（II）当时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得。综上，在上为单调函数的充要条件。即的取值范围是。解法二.由（I）知, 当时，在上为减函数,因此,要使在1，1上是单调函数，只能使在1，1上是单调减函数，即在1，1上恒成立，亦即在1，1上恒成立设.则又等价于在1，1上恒成立, 从而等价于,为此解解得.即的取值范围是。2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题; 【例1】(2005年，重庆卷，理19)已知，讨论函数的极值点的个数. 【分析及解】 （1）当xx1+00+增极大值减极小值增即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根,于是无极值.（3）为增函数，此时无极值. 因此当无极值点. 【例2】(2004年，湖北卷，文22)已知,函数的图象与函数的图象的相切.（）求b与c的关系式（用c表示b）；（）设函数内有极值点，求c的取值范围. 【分析及解】 （）依题意，令（）xx0（+0+于是不是函数的极值点.的变化如下：xx1（+00+由此，的极小值点.综上所述，当且仅当 3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题; 【例1】(2005年，湖南卷，文19)设，点P（，0）是函数)的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围. 【分析及解】（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为 【例2】(2004年，浙江卷，理20)设曲线0）在点M（t,e-t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（）求切线的方程；（）求S（t）的最大值. 【分析及解】（）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即.（）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）= =从而当（0，1）时，0, 当（1,+）时,1时,方程f (x)= 0,在内有两个实根. 【分析及解】（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且当x(-m, )时, f （ x） f () 当x(, +)时, f（x）0, f (x)为增函数, f (x) f ()根据函数极值判别方法，f ()= 为极小值，而且对x(-m, +)都有f (x)f ()=故当整数m1时，f (x) 0(II)由（I）知，当整数m1时，f ()=1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x - ln(x+m),在 上为连续增函数且 f()与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。