三角恒等变换知识点归纳.docx

第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，．
26、

．
27、

（后两个不用判断符号，更加好用）
28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；问： ； ；
③；④；
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：； ；
；；
；；
； ；
；
= ；
= ；（其中 ；）
； ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如： ；
。

基础练习
一 选择题
1．已知且为锐角，则的值是（　　）
Ａ.　　　　　　Ｂ.　　　　　Ｃ.　　　　　　Ｄ.
2．设则的范围是（ ）
A． B. C. D、
3．（ ）
A． B、 C. D.
4.若，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.设，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6.在中，已知则的值是（ ）
A. B. C.或 D.
7.已知则的值等于（ ）
A. B. C. D.
8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为（　　）
Ａ.　　　　　Ｂ.　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ
9.已知是第三象限角，且满足，那么的值等于（　　）
Ａ　　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　　　　Ｄ
10.已知则等于（　　）
Ａ　　　　　　Ｂ　　　　Ｃ　　　　　　Ｄ
11.若则的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
13函数有（ ）
A.最大值0，最小值 B.最大值5，最小值
C.最大值5，最小值 D.最大值，最小值
14.函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
15.函数的最大值是（ ）
A． B. C. D.
16.函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
17.的值是（ ）
A. B. C. D.
18.若则的值为（ ）
A. B. C. D.
19.中，若，则一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
20.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.

二 填空题
1.已知则
2.函数的最大值等于
3.已知则
4.若则的取值范围是
5.函数的最小正周期是_____
6.在中，，则
7.在三角形ABC中，若则=
8.若则
9.已知那么
10.在中，已知则
11.函数的最小正周期是_____
12.已知，则
13. ．
14.在中，那么的值为 ．
15.函数（为锐角）的值域是 ．
16.若，且则 ．
17.化简
18.在中，，则的形状是
19.设，若且，则的范围是
20.若的值域是，则此函数的表达式是
三 解答题
1.已知，求的值．

2.已知且求的值．

3.已知．
（1）化简；（2）求使的最小正角．

4.某工人要从一块圆心角为，半径为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积．

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5.已知．（1）求的值；（2）求的值．

6.已知求的值．

7.求证：

8.求证：．

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9.已知求的值．

10.在中，求证：

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强化练习
一 选择题
1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
[答案]　B
[解析]　cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°
＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
2．cos等于(　　)
A.－cosα B.cosα
C.cosα＋sinα D.cosα－sinα
[答案]　C
[解析]　cos＝coscosα＋sinsinα
＝cosα＋sinα.
3．cos165°等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　C
[解析]　cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－.
4．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是(　　)
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
[答案]　B
[解析]　由条件cosαcosβ＝－sinαsinβ得
cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝满足条件．
5．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　B
[解析]　cos39°cos9°＋sin39°sin9°
＝cos(39°－9°)＝cos30°＝.
6．cos555°的值为(　　)
A. B．－
C. D.
[答案]　B
[解析]　cos555°＝cos(360°＋195°)＝cos(180°＋15°)
＝－cos15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)
＝－.
7．(福建高考)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.
[答案]　A
[解析]　∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.∴选A.
8．(新课标高考)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝(－－)＝－.
9．在△ABC中，sinAsinB<cosAcosB，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
[答案]　B
[解析]　由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0，
则cos(A＋B)>0，所以cos(π－C)>0，
即cosC<0，所以∠C是钝角．
10．(2011～2012·杭州高一检测)下列命题中不正确的是(　　)
A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对于任意的α和β，都有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[答案]　B
[解析]　若sinα或sinβ有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)则有cos(α＋β)＝cosαcosβ，故A、C、D正确，选B.
11．下列等式成立的是(　　)
A．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝
B．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝
C．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝
D．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝
[答案]　D
12．cos的值等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
13．已知tanα＝4，tan(π－β)＝－3，则tan(α＋β)＝(　　)
A.　　 　 B．－　　
C.　 　　 D．－
[答案]　B
[解析]　由已知得tanα＝4，tanβ＝3，
∴tan(α＋β)＝＝＝－.
14．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值为(　　)
A．－ B.
C．3 D.
[答案]　B
[解析]　原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝.
15.的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　C
[解析]　＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.
16．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A. B.
C.π D.
[答案]　C
[解析]　∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝
＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，
∴α＝－＋(k∈Z)．
又∵α为锐角，∴α＝－＝.
17．(2012·全国高考重庆卷)设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　A
[解析]　tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，则tan(α＋β)＝＝＝－3
18．若α、β∈(0，)且tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)(　　)
A．－ B．1
C. D.
[答案]　C
[解析]　tan(α－β)＝＝＝.
19．已知sin＝，则cosα的值为(　　)
A.　　 　 B．－　　
C．－　　 D.
[答案]　D
[解析]　∵sin＝，
∴cosα＝1－2sin2＝1－2×()2＝.
20．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos＋sin的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵cosα＝，且α∈(0，π)，∴∈(0，)．
∴cos＝＝＝＝.
sin＝＝＝
∴cos＋sin＝＋＝.
21．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　若5π<θ<6π，则<<，
则sin＝－＝－.
22．y＝sinxcosx＋sin2x可化为(　　)
A.sin＋ B.sin－
C．sin＋ D．2sin＋1
[答案]　A
[解析]　y＝sin2x＋
＝sin2x－cos2x＋
＝＋
＝sin＋.
23．设－3π<α<－，则化简的结果是(　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
[答案]　C
[解析]　∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，
∴cos<0，
∴原式＝＝|cos|＝－cos.
24．已知cosα＝－，<α<π，则sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　D
[解析]　∵<α<π，∴<<，
则sin＝＝.
25．函数y＝cos2－sin2是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
[答案]　A
[解析]　y＝cos2－sin2
＝cos2＝－sin2x，周期T＝＝π.
26．函数f(x)＝sinx＋cosx的最大值是(　　)
A.　　 　B.　　 　C.　　 　D．2
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
∴当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值为.
27．函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是(　　)
A. B.
C．π D．2π
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝|sinx＋cosx|，
∴f(x)＝|sin(x＋)|.
∵f(x＋π)＝|sin(x＋π＋)|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
28．化简·的结果为(　　)
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
[答案]　B
[解析]　原式＝·＝tan2α.
29．已知tan＝3，则cosα－sinα＝(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　D
[解析]　∵tan＝3，∴tan2＝＝9，
∴cosα＝－.
∵tan＝，∴sinα＝3×()＝，
∴cosα－sinα＝－－＝－.
30．(2013·江西文)若sin＝，则cosα＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　C
[解析]　本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2()2＝.
31．下列各式中，值为的是(　　)
A．sin15°cos15°　　　　　 B．2cos2－1
C. D.
[答案]　D
[解析]　sin15°cos15°＝sin30°＝；
2cos2－1＝cos＝，
＝cos15°≠，
＝tan45°＝，∴选D.
32．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
[答案]　A
[解析]　∵α∈，∴sinα>cosα.
又∵(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝，
∴cosα－sinα＝－.
33．(2012·全国高考全国卷)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　A
[解析]　sinα＋cosα＝，两边平方可得1＋sin2α＝⇒sin2α＝－
α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－＝－＝－
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－
34．若α∈，则＋的值为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案]　D
[解析]　∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.
35．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
[答案]　B
[解析]　因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B.
36.－sin215°的值是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　原式＝－＝＝.
二 填空题
1．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝________.
[答案]　cosβ
[解析]　原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ
2．已知sinθ＝，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为___________．
[答案]　
[解析]　∵sinθ＝，θ∈(，π)，
∴cosθ＝－＝－＝－，
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×＝.
3．sin15°＝________.
[答案]　
[解析]　∵sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°·cos30°－cos45°·sin30°
＝×－×＝－＝.
4．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝________.
[答案]　－
[解析]　由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得
sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，
cosβ＝－＝－＝－
5．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案]　
[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
6．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝________.
[答案]　－
[解析]　∵tan70°＋tan50°
＝tan120°(1－tan50°·tan70°)
＝－＋tan50°·tan70°
∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°
＝－.
7．已知sinθ＝，θ∈，则cos＝________.
[答案]　
[解析]　∵θ∈，∴∈.
∴cosθ＝－＝－.
∴cos＝＝.
8．若α－β＝，则sinαsinβ的最大值为________．
[答案]　
[解析]　α＝β＋，则sinαsinβ＝sin(β＋)sinβ
＝－[cos(2β＋)－sin]
＝－cos(2β＋)＋
∴最大值为.
9．函数f(x)＝sinx－cosx的递增区间是________．
[答案]　[2kπ－，2kπ＋π](k∈Z)
[解析]　∵f(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，
∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)
10．已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx(ω>0)的周期为，则ω＝________.
[答案]　2
[解析]　f(x)＝sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx－
＝sin－，
则有＝，∴ω＝2.
11．已知cosα＝，则cos2α＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1
＝2×()2－1＝.
12.＝________.
[答案]　
[解析]　原式＝×＝tan(2×)
＝tan＝.
三 解答题
1．设α∈(0，)，若sinα＝，求cos(α－)的值．
[解析]　∵α∈(0，)，sinα＝，∴cosα＝，
∴cos(α－)＝(cosαcos＋sinαsin)
＝cosα＋sinα＝＋＝.
2．已知sin＝，且<α<，求cosα的值．
[解析]　∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
3．化简求值
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)
[解析]　(1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－；
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
4．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．
[解析]　cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－.
5．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．
[解析]　∵sinα＝－且α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝3.
∴tan(α－)＝＝＝.
6．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α、β∈(0，π)．
(1)求tanα的值；
(2)求2α－β的值．
[解析]　(1)tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝.
(2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π.
又∵tanα＝>0，∴0<α<.
∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－.
∴2α－β∈(－π，0)．
∴2α－β＝－.
7．(2013·安徽文)设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋)．
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．
[解析]　(1)因为f(x)＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin(x＋)．
所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取最小值.
此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．
(2)先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图象；再将y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象．
8．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)的形式(A>0，ω>0)；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解析]　(1)f(x)＝2sin(π－x)cosx
＝2sinxcosx＝sin2x.
(2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(3)由－≤x≤，得－≤2x≤π，
所以－≤sin2x≤1，
即f(x)的最大值为1，最小值为－.
9．已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)
＝(cosx，－1)，定义f(x)＝·.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析]　(1)∵f(x)＝·
＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)·(cosx，－1)
＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1
＝sinx＋cosx
＝sin(x＋)，
∴函数f(x)＝sin(x＋)的最小正周期为2π.
(2)当x＋＝2kπ＋，k∈Z即
x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝.
当x＋＝2kπ－即x＝2kπ－，k∈Z时，
f(x)min＝－.
10．如图所示，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA＝2，点C是上任一点，且CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，设∠AOC＝x，矩形OECF的面积为f(x)，

求：(1)f(x)的解析式；
(2)矩形OECF面积的最大值．
[解析]　(1)∵f(x)＝OE·EC＝OCcosx·OCsinx
＝4sinxcosx＝2sin2x，
∴f(x)＝2sin2x，x∈.
(2)∵f(x)＝2sin2x，x∈，
∴0<2x<π.
∴当x＝时，f(x)取得最大值2，
即矩形OECF面积的最大值为2.
11．已知sinα＝，α∈，求sin2α、cos2α、tan2α的值．
[解析]　∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－
＝－＝－.
∴sin2α＝2sinαcosα
＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
tan2α＝＝－×＝－.
12．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．
[解析]　(Ⅰ)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋)＝2sinxω·cosωx＋2cos2ωx
＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减.

章节测试
一、选择题
1．的值是( )．
A． B．－ C．2 D．－2
2．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos2 15°－1的值是( )．
A．0 B． C． D．
3．已知sin(a－b)cos a－cos(a－b)sin a＝，且b在第三象限，则sin的值是( )．
A．－ B．－ C．± D．±
4．已知＝，则tan q＝( )．
A． B． C． D．
5．tan(a +45°)－tan(45°－a)等于( )．
A．2tan 2a B．－2tan 2a C． D．－
6．已知sin(a－b)cos a－cos(a－b)sin a＝，且 b 为第三象限角，则cos b等于( )．
A． B．－ C． D．－
7．2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于( )．
A． B．－ C． D．－
8．在△ABC中，若0＜tan Α·tan B＜1，那么△ABC一定是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不确定
9．已知 q 为第三象限角且sin4q＋cos4q＝，则sin 2q等于( )．
A． B． C．－ D．－[来源:高[考∴试﹤题∴库GkStK]
10．sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为( )．
A． B． C． D．
二、填空题
11．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为 ．
12．化简＝__________．
13．若3sin q＝cos q，则tan 4q＝ ．
14．若＜a＜，＝－，则tan a＝ ．
15． 求函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x的最小正周期＝ ．
16．已知＝k(＜a＜)，试用k表示sin a－cos a的值 ．
三、解答题
17．化简：cos2A＋cos2(＋A)＋cos2(＋A)．
18．已知：b∈(0，)，a∈(，)且cos(－a)＝ ，sin(＋b)＝，
求：cos a，cos(a＋b)．
19．(1)已知tan(a－b)＝，tan b＝-，且a，b∈(0，p)，求2a－b的值．
(2)已知cos(a－)＝，sin(－b)＝，且＜a＜p，0＜b＜，求cos(a＋b)的值．
20．已知tan 2q＝-2，2q∈，求．

第三章 三角恒等变换
参考答案
一、选择题
1．D
解析：原式＝＝＝＝－＝－2．
2．C
解析：原式＝＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°
＝＋
＝．
3．D
解析：∵sin(a－b－a)＝，∴sin b＝－．
又知 b 是第三象限角，∴cos b＝－．又cos b＝1－2sin2，
∴sin ＝±＝±．
4．B
解析：∵＝＝，
∴＝，即tan ＝2．
∴ ＝＝＝－．
5．A
解析：原式＝－
＝
＝
＝2tan 2a．
6．B
解析：由已知得sin(－b)＝，即sin b＝－，又 b 为第三象限角，
∴cos b＝－．
7．A
解析：原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)
＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°
＝sin(31°＋14°)
＝sin 45°
＝．
8．B
解析：∵A，B是△ABC内角，
又∵0＜tan Α·tan B＜1，∴A，B∈(0，)．
∵0＜＜1，cos Acos B＞0，
∴cos Acos B－sin Asin B＞0，
即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，
∴p－(A＋B)＝C＞，
∴△ABC一定是钝角三角形．
9．A
解析：∵＝，
∴(sin2q＋cos2q)2－2sin2q·cos2q＝，
∴1－sin22q＝，
∴sin22q＝．
∵2kp＋p＜q＜2kp＋p，[来源:高[考∴试﹤题∴库]
∴4kp＋2p＜2q＜4kp＋3p．
∴sin 2q＝．
10．A
解析：sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°
＝
＝
＝
＝．
二、填空题
11．答案：－．
解析：由 平方相加，可求cos(x－y)＝．
∵0＜x＜，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，
∴0＜x＜y＜，
∴－＜x－y＜0，
∴ sin(x－y)＝－，
∴tan(x－y)＝－．
12．答案: －cos 2．
解析：原式＝
＝
＝
＝|cos 2|．
∵＜2＜p，
∴cos 2＜0．
∴原式＝－cos 2．
13．答案：．
解析：∵3sin q＝cos q，
∴tan q＝．
∴tan 2q ＝＝，
tan 4q ＝＝．
14．答案： -2．
解析：∵＜a＜，
∴5p＜2a＜，＜＜，
∴，2a 均为第三象限角，a为第二象限角．
∵sin 2a＝－，∴cos 2a＝－，
又cos 2a＝2cos2 a－1，
∴cos a＝－＝＝－．
又sin 2a＝2sin acos a＝－，
∴sin a＝＝，
∴tan a＝＝－2．
15．答案：p．
解析：y＝1＋sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin(2x＋)＋2．
故最小正周期为p．
16．答案：．
解析：∵＝＝2sin acos a，
∴k＝2sin acos a．
而(sin a－cos a)2＝1－2sin acos a＝1－k．
又＜a＜，于是sin a－cos a＞0，所以sin a－cos a＝．
三、解答题
17．解析：
原式＝＋＋
＝＋[cos 2A＋cos()＋cos()][来源:高[考∴试﹤题∴库GkStK]
＝＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)
＝．
18．答案：＝，cos(a＋b)＝－．
解析：∵＜a＜，∴－＜－a＜0．
∵cos(－a)＝，∴sin(－a)＝－，
∴cos a＝cos[－(－a)]
＝cos·cos(－a)＋cos·sin(－a)
＝·＋·(－)
＝．
又∵0＜b＜，∴＜＋b＜p．
∵sin(＋b)＝，∴cos(＋b)＝，
∴cos(a＋b)＝sin[＋(a＋b)]＝sin[(＋b)－(－a)]
＝sin(＋b)·cos(－a)－cos(＋b)·sin(－a)
＝·－(－)·(－)[来源:GkStK.Com]
＝－．
19．答案：(1)2a－b＝－；(2)cos(a＋b)＝－．
解析：(1)∵tan(a－b)＝，
∴tan 2(a－b)＝＝．
又∵2a－b＝2(a－b)＋b且tan b＝－，
∴tan(2a－b)＝＝1．
∵a，b∈(0，p)且tan b＝－＜0，
tan a＝＝∈(0，1)，
∴0＜a＜，＜b＜p0＜2a＜，－p＜－b＜－－p＜2a－b＜0，
而在(－p，0)内使正切值为1的角只有一个－，
∴2a－b＝－．
(2)∵＜a＜p，0＜b＜，∴＜a－＜p，-＜－b＜．
又∵cos(a－)＝－，sin(－b)＝，
∴sin(a－)＝，cos(－b)＝，
∴cos＝cos[(a－)－(－b)]
＝cos(a－)cos(－b)＋sin(a－)sin(－b)[来源:高[考∴试﹤题∴库]
＝，
∴cos(a＋b)＝2cos2－1＝．
20．答案：－3＋2．
解析：＝＝，
∵tan 2q＝＝－2，
∴tan2q－tan q－＝0，
解得 tan q＝或tan q＝－．
∵＜2q＜p，∴＜q＜，∴tan q＝，
∴原式＝＝－3＋2．

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