三角恒等变换知识点归纳.docx

第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式； （）； （）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：升幂公式降幂公式， 26、 27、 （后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ；问： ； ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：； ； ； ； ； = ； = ；（其中 ；） ； ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ； 。 基础练习一 选择题1已知且为锐角，则的值是（）.2设则的范围是（ ）A B. C. D、3（ ）A B、 C. D.4.若，若，则（ ）A. B. C. D.5.设，则的值是（ ）A. B. C. D.6.在中，已知则的值是（ ）A. B. C.或 D.7.已知则的值等于（ ）A. B. C. D.8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为（）.9.已知是第三象限角，且满足，那么的值等于（）10.已知则等于（）11.若则的终边在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知，则等于（ ）A. B. C. D.13函数有（ ）A.最大值0，最小值 B.最大值5，最小值C.最大值5，最小值 D.最大值，最小值 14.函数的最大值为（ ） A. B. C. D.15.函数的最大值是（ ） A B. C. D. 16.函数ysin4xcos2x的最小正周期为（ ）A B C D217.的值是（ ）A. B. C. D.18.若则的值为（ ）A. B. C. D.19.中，若，则一定是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形20.函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.二 填空题1.已知则 2.函数的最大值等于 3.已知则 4.若则的取值范围是 5.函数的最小正周期是_6.在中，则 7.在三角形ABC中，若则= 8.若则 9.已知那么 10.在中，已知则 11.函数的最小正周期是_12.已知，则 13. 14.在中，那么的值为 15.函数（为锐角）的值域是 16.若，且则 17.化简 18.在中，则的形状是 19.设，若且，则的范围是 20.若的值域是，则此函数的表达式是 三 解答题1.已知，求的值2.已知且求的值3.已知（1）化简；（2）求使的最小正角 4.某工人要从一块圆心角为，半径为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库5.已知（1）求的值；（2）求的值6.已知求的值7.求证： 8.求证：高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库9.已知求的值10.在中，求证： 高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库强化练习一 选择题1cos45cos15sin45sin15()A. B. C. D.答案B解析cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30.2cos等于()A.cos B.cosC.cossin D.cossin答案C解析coscoscossinsincossin.3cos165等于()A. B.C D答案C解析cos165cos(18015)cos(4530)(cos45cos30sin45sin30).4满足coscossinsin的一组，的值是()A， B，C， D，答案B解析由条件coscossinsin得coscossinsin，即cos()，满足条件5cos39cos9sin39sin9等于()A. B. C D答案B解析cos39cos9sin39sin9cos(399)cos30.6cos555的值为()A. BC. D.答案B解析cos555cos(360195)cos(18015)cos15cos(4530)(cos45cos30sin45sin30).7(福建高考)计算sin43cos13cos43sin13的结果等于()A. B. C. D.答案A解析sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30.选A.8(新课标高考)若cos，是第三象限的角，则sin()等于()A B. C D.答案A解析sin()(sincos)().9在ABC中，sinAsinB0，则cos(AB)0，所以cos(C)0，即cosC0，所以C是钝角10(20112012杭州高一检测)下列命题中不正确的是()A存在这样的和的值，使得cos()coscossinsinB不存在无穷多个和的值，使得cos()coscossinsinC对于任意的和，都有cos()coscossinsinD不存在这样的和的值，使得cos()coscossinsin答案B解析若sin或sin有一个为0，即k(kZ)或k(kZ)则有cos()coscos，故A、C、D正确，选B.11下列等式成立的是()Acos80cos20sin80sin20Bsin13cos17cos13sin17Csin70cos25sin25sin20Dsin140cos20sin50sin20答案D12cos的值等于()A. B.C. D.答案C解析coscoscos.13已知tan4，tan()3，则tan()()A. BC. D答案B解析由已知得tan4，tan3，tan().14tan20tan40tan20tan40的值为()A B. C3 D.答案B解析原式tan(2040)(1tan20tan40)tan20tan40(1tan20tan40)tan20tan40.15.的值为()A. B C. D答案C解析tan(4515)tan60.16已知为锐角，且tan()3，tan()2，则角等于()A. B. C. D.答案C解析tan2tan()()1，2k(kZ)，(kZ)又为锐角，.17(2012全国高考重庆卷)设tan、tan是方程x23x20的两个根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D3答案A解析tantan3，tantan2，则tan()318若、(0，)且tan，tan，则tan()()A B1 C. D.答案C解析tan().19已知sin，则cos的值为()A. BCD.答案D解析sin，cos12sin212()2.20若cos，且(0，)，则cossin的值为()A. B.C. D.答案B解析cos，且(0，)，(0，)cos.sincossin.21设56，cosa，那么sin等于()A BC D答案D解析若56，则，则sin.22ysinxcosxsin2x可化为()A.sin B.sinCsin D2sin1答案A解析ysin2xsin2xcos2xsin.23设3，则化简的结果是()Asin BcosCcos Dsin答案C解析3，cos0，原式|cos|cos.24已知cos，则sin等于()A B.C D.答案D解析，cos.又(cossin)21sin21，cossin.33(2012全国高考全国卷)已知为第二象限角，sincos，则cos2()A BC. D.答案A解析sincos，两边平方可得1sin2sin2是第二象限角，因此sin0，cos0)的周期为，则_.答案2解析f(x)sin2xsin2xcos2xsin，则有，2.11已知cos，则cos2_.答案解析cos，cos22cos212()21.12._.答案解析原式tan(2)tan.三 解答题1设(0，)，若sin，求cos()的值解析(0，)，sin，cos，cos()(coscossinsin)cossin.2已知sin，且，求cos的值解析sin，且，.cos.coscoscoscossinsin.3化简求值(1)cos44sin14sin44cos14；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解析(1)原式sin(1444)sin(30)；(2)原式sin(54x)(36x)sin901.4已知cos，求cos的值解析cos，sin，coscoscossinsin.5已知sin且是第三象限角，求tan()的值解析sin且是第三象限角，cos.tan3.tan().6已知tan()，tan，且、(0，)(1)求tan的值；(2)求2的值解析(1)tantan().(2)tan(2)tan()1.tan0，0，0.0，0，0)；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)f(x)2sin(x)cosx2sinxcosxsin2x.(2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T.(3)由x，得2x，所以sin2x1，即f(x)的最大值为1，最小值为.9已知向量(2cosx1，cos2xsinx1)(cosx，1)，定义f(x).(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)的最大值和最小值解析(1)f(x)(2cosx1，cos2xsinx1)(cosx，1)2cos2xcosxcos2xsinx1sinxcosxsin(x)，函数f(x)sin(x)的最小正周期为2.(2)当x2k，kZ即x2k，kZ时，f(x)max.当x2k即x2k，kZ时，f(x)min.10如图所示，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA2，点C是上任一点，且CEOA于E，CFOB于F，设AOCx，矩形OECF的面积为f(x)，求：(1)f(x)的解析式；(2)矩形OECF面积的最大值解析(1)f(x)OEECOCcosxOCsinx4sinxcosx2sin2x，f(x)2sin2x，x.(2)f(x)2sin2x，x，02x0)的最小正周期为()求的值；()讨论f(x)在区间0，上的单调性解析()f(x)4cosxsin(x)2sinxcosx2cos2x(sin2xcos2x)2sin(2x).因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.()由()知f(x)2sin(2x).若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减.章节测试一、选择题1的值是( ) ABC2D22cos 40cos 602cos 140cos2 151的值是( )A0BCD3已知sin(ab)cos acos(ab)sin a，且b在第三象限，则sin的值是( )ABCD4已知，则tan q( )ABCD5tan(a +45)tan(45a)等于( )A2tan 2aB2tan 2aCD6已知sin(ab)cos acos(ab)sin a，且 b 为第三象限角，则cos b等于( )ABCD72sin 14cos 31sin 17等于( )ABCD8在ABC中，若0tan tan B1，那么ABC一定是( )A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D形状不确定9已知 q 为第三象限角且sin4qcos4q，则sin 2q等于( )ABCD来源:高考试题库GkStK10sin 6cos 24sin 78cos 48的值为( )ABCD二、填空题11若sin xsin y，cos xcos y，x，y都是锐角，则tan(xy)的值为 12化简_13若3sin qcos q，则tan 4q 14若a，则tan a 15 求函数y(sin xcos x)22cos2x的最小正周期 16已知k(a)，试用k表示sin acos a的值 三、解答题17化简：cos2Acos2(A)cos2(A)18已知：b(0，)，a(，)且cos(a) ，sin(b)，求：cos a，cos(ab)19(1)已知tan(ab)，tan b-，且a，b(0，p)，求2ab的值(2)已知cos(a)，sin(b)，且ap，0b，求cos(ab)的值20已知tan 2q-2，2q，求第三章 三角恒等变换参考答案一、选择题1D解析：原式22C解析：原式cos 40cos 40cos 303D解析：sin(aba)，sin b又知 b 是第三象限角，cos b又cos b12sin2，sin 4B解析：，即tan 2 5A解析：原式2tan 2a6B解析：由已知得sin(b)，即sin b，又 b 为第三象限角，cos b7A解析：原式2sin 14cos 31sin(3114)sin 31cos 14cos 31sin 14sin(3114)sin 458B解析：A，B是ABC内角，又0tan tan B1，A，B(0，)01，cos Acos B0，cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0，0AB，p(AB)C，ABC一定是钝角三角形9A解析：，(sin2qcos2q)22sin2qcos2q，1sin22q，sin22q2kppq2kpp，来源:高考试题库4kp2p2q4kp3psin 2q10A解析：sin 6cos 24sin 78cos 48二、填空题11答案：解析：由 平方相加，可求cos(xy)0x，0y且sin xsin y0，0xy，xy0， sin(xy)，tan(xy)12答案: cos 2解析：原式|cos 2|2p，cos 20原式cos 213答案：解析：3sin qcos q，tan qtan 2q ，tan 4q 14答案： -2解析：a，5p2a，2a 均为第三象限角，a为第二象限角sin 2a，cos 2a，又cos 2a2cos2 a1，cos a又sin 2a2sin acos a，sin a，tan a215答案：p解析：y1sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)2故最小正周期为p16答案：解析：2sin acos a，k2sin acos a而(sin acos a)212sin acos a1k又a，于是sin acos a0，所以sin acos a三、解答题17解析：原式cos 2Acos()cos()来源:高考试题库GkStK(cos 2Acos 2Asin 2Acos 2Asin 2A)18答案：，cos(ab)解析：a，a0cos(a)，sin(a)，cos acos(a)coscos(a)cossin(a)()又0b，bpsin(b)，cos(b)，cos(ab)sin(ab)sin(b)(a) sin(b)cos(a)cos(b)sin(a)()()来源:GkStK.Com19答案：(1)2ab；(2)cos(ab)解析：(1)tan(ab)，tan 2(ab)又2ab2(ab)b且tan b，tan(2ab)1a，b(0，p)且tan b0，tan a(0，1)，0a，bp02a，pbp2ab0，而在(p，0)内使正切值为1的角只有一个，2ab(2)ap，0b，ap，-b又cos(a)，sin(b)，sin(a)，cos(b)，coscos(a)(b) cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)来源:高考试题库，cos(ab)2cos2120答案：32解析：，tan 2q2，tan2qtan q0，解得 tan q或tan q2qp，q，tan q，原式32 39