23均差与牛顿插值公式.pptx

12.3 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：缺点：当插值节点增减时当插值节点增减时全部插值基函数全部插值基函数 均要随之变均要随之变化，整个公式也将发生变化化，整个公式也将发生变化.能否重新在能否重新在 中寻找新的中寻找新的基函数基函数？希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。2本讲主要内容本讲主要内容:Newton插值多项式的构造插值多项式的构造 差商的定义及性质差商的定义及性质 差分的定义及性质差分的定义及性质 等距节点等距节点Newton插值公式插值公式3（3.13.1）确定确定 .其中其中 为待定系数，为待定系数，可由可由 个插值条件个插值条件基函数基函数 是否是否构成构成 的一组基函数的一组基函数？4依此递推可得到依此递推可得到 .当当 时，时，推得推得由由 ，当当 时，时，当当 时，时，推得推得由由5 称称 为函数为函数 关关于点于点 的的一阶均差一阶均差.称为称为 的的二阶均差二阶均差.定义定义2 2 一般地，称一般地，称为为 的的 阶均差阶均差（均差也称为差商）（均差也称为差商）.2.3.1 2.3.1 均差及其性质均差及其性质6 均差有如下的基本性质：均差有如下的基本性质：这个性质可用归纳法证明这个性质可用归纳法证明.1 1 阶均差可表示为函数值阶均差可表示为函数值 的的线性组合，线性组合，这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性的对称性.即即7 3 3 若若 在在 上存在上存在 阶导数，且节点阶导数，且节点这公式可直接用罗尔定理证明这公式可直接用罗尔定理证明.2 2 由性质由性质11及均差定义可得及均差定义可得 即即则则 阶均差与导数关系如下：阶均差与导数关系如下：8 均差计算可列均差表如下（表均差计算可列均差表如下（表2-12-1）.9 2.3.2 2.3.2 牛顿插值公式牛顿插值公式 根据均差定义，把根据均差定义，把 看成看成 上一点，可得上一点，可得只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 10称称 为为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插值多项式）均差插值多项式.系数系数 就是均差表就是均差表2-12-1中加横线的各阶均差，它比中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.显然，显然，由前式确定的多项式由前式确定的多项式 满足插值条件，满足插值条件，且次数不超过且次数不超过 ，其系数为其系数为 它就是形如（它就是形如（3.13.1）的多项式，）的多项式，其中其中 11 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一每增加一个结点，个结点，NewtonNewton插值多项式只增加一项，克服了插值多项式只增加一项，克服了LagrangeLagrange插值的缺点插值的缺点.F由插值多项式的由插值多项式的唯一性可知唯一性可知 Nn(x)Ln(x)，故其余项也相同，即故其余项也相同，即则则12解解 首先根据给定函数表造出均差表首先根据给定函数表造出均差表 给出给出 的函数表（见表的函数表（见表2-22-2），求），求3 3次牛顿插次牛顿插值多项式，并由此计算值多项式，并由此计算 的近似值的近似值.例例27279 93 31 13 32 21 10 02 26 69 92 24/34/36 6181827273 32 23 31 11 10 0三阶均差三阶均差二阶均差二阶均差一阶均差一阶均差132.3.3 2.3.3 差分与等距节点插值差分与等距节点插值 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多可以进一步简化，计算也简单得多.设函数设函数 在等距节点在等距节点 上上的值的值 为已知，这里为已知，这里 为常数，称为为常数，称为步长步长.为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.14记号记号 定义定义称为称为 在在 处以处以 为步长的为步长的一阶（向前）差分一阶（向前）差分.利用一阶差分可定义二阶差分为利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义一般地可定义 阶差分阶差分为为 15一、差分的基本性质一、差分的基本性质:（2 2）函数值可用差分表示，如）函数值可用差分表示，如（1 1）差分可用函数值表示，如）差分可用函数值表示，如1617计算各阶差分可按如下差分表进行计算各阶差分可按如下差分表进行.18称上公式为称上公式为牛顿前插公式牛顿前插公式,其余项为其余项为利用这些性质利用这些性质,可将可将Newton公式进一步简化为公式进一步简化为19解：先构造差分表如下：解：先构造差分表如下：20取取 由牛顿前插公式由牛顿前插公式得得误差估计为误差估计为其中其中212.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.满足这种要求的插值多项式就是满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式.而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.22(4.1)这里共有这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过个插值条件，可唯一确定一个次数不超过的多项式的多项式 ，问题是求插值多项式问题是求插值多项式 ，设在节点设在节点 上，上，一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求一般采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法来求.在此在此只讨论两个典型的例子只讨论两个典型的例子.满足条件满足条件 其形式为其形式为23 求满足求满足 及及 由给定的由给定的4 4个条件，可确定次数不超过个条件，可确定次数不超过3 3的插值多项式的插值多项式.由于此多项式通过点由于此多项式通过点的插值多项式及其余项表达式的插值多项式及其余项表达式.例例1 1故其形式为故其形式为2.4.2 2.4.2 两个典型的埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值24待定常数待定常数 ，可由条件，可由条件 确定确定，其中其中 为待定函数为待定函数.通过计算可得通过计算可得 为了求出余项为了求出余项 的表达式，的表达式，可设可设25显然显然故故 在在 内有内有5 5个零点（二重根算两个）个零点（二重根算两个）.反复应用罗尔定理，得反复应用罗尔定理，得 在在 内至少有一个内至少有一个零点零点，构造构造且故有故有26(4.2)(4.2)式中式中 位于位于 和和 所界定的范围内所界定的范围内.余项表达式为余项表达式为 于是于是 27另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值。相应的插值基函数为相应的插值基函数为它们取值情况如下表所示。它们取值情况如下表所示。(4.3)插值节点为插值节点为 及及 ，插值多项式为插值多项式为 ，满足满足采用基函数的方法令采用基函数的方法令(4.4)(4.4)28函数值函数值一阶导数值一阶导数值 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1因为在因为在 除函数值为零外其一阶导数除函数值为零外其一阶导数值也是值也是零，所以它必有因子零，所以它必有因子 .另外，另外，最多是一个三次多项式，因此最多是一个三次多项式，因此293031(4.5)于是满足条件（于是满足条件（4.34.3）的插值多项式是）的插值多项式是 其余项其余项 ，类似（类似（4.24.2）得）得3233343536于是37解法三：3839重节点均差重节点均差定理3 由此定义重节点均差由此定义重节点均差40类似地可定义重节点的二阶均差类似地可定义重节点的二阶均差一般地，可定义重节点的一般地，可定义重节点的n n阶均差阶均差在牛顿均差插值多项式中若令在牛顿均差插值多项式中若令x xi ixx0 0(i=0,1,(i=0,1,n),n),则由上式可得则由上式可得泰勒多项式泰勒多项式它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为41例：在上例中42解法四：（带重节点的牛顿插值法）（带重节点的牛顿插值法）0011200111011010-1-1则则43P49 13、14、16作业