23等差数列的前n项和解析.pptx

1+2+3+100=？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。这个问题，德国著名数学家高斯（1777年1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）问题呈现 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。进而提出有无简单的方法？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？123212120191获得算法：探究探究1+2+3+n1+2+3+n的问题的问题,得到如下算式得到如下算式1+2 +3 +n-1 +n n +n-1 +n-2 +2 +1(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)可知可知1+2+3+n=进一步探究等差数列进一步探究等差数列 的前的前n n项和的问题项和的问题S n =a1 +a2 +a3 +anS n =an +an-1 +an-2 +a12S n =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)由此可得等差数列由此可得等差数列 的前的前n项和公式项和公式:根据等差数列的定义，上式用a1和d可写成：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d 把项的次序反过来，Sn又可用an和d表示成：Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d 把、两边分别相加，得：等差数列前等差数列前n n项的和项的和即Sn=a1+a2+an设等差数列 an前n项的和为SnSn=an+an-1+a1把项的次序反过来，=n(a1+an)由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d两个公式的共同点是需知两个公式的共同点是需知 a1 1和和 n n，不同点是前者还需知不同点是前者还需知 an，后者还需知后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。1、等差数列中a1=5，an=95，n=10，Sn=；2、等差数列中a1=100，d=-2，n=50,则Sn=；3、等差数列中a1=14.5，d=0.7，an=32，则Sn=；4、等差数列5，4，3，2，前 项和为-30；抢答题5002550604.5 15 抢答题练习1 练习2 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得答：V形架上共放着 7 260支铅笔。练习练习3 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是 54？解解：设题中的等差数列为an，前n项和是 Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设 Sn=54，根据等差数列前 n项和公式，得整理，得解得 n1=9，n2=-3(舍去)因此等差数列-10，-6，-2，2，前9项的和是54。练习练习4：在等差数列：在等差数列an中，中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32 n=26（1）a3=-2，a8=12，求，求S10解解：（1）a1+a10=a3+a8=10变式训练变式训练 设设 为等差数列为等差数列 的前的前 n项和项和,求求解:由即解得巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S202、凸、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角，最小内角为为 100，则，则等于等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或或 9 a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20 a1+a20=96由题意，得由题意，得:解得解得 n=8 或或 9,但但 n=9时，时，a9=180,不合题意，故选（不合题意，故选（B）B解：解：由由7n100,得得 即即所以所以 n 14所以集合中的元素为：所以集合中的元素为：这个数列是等差数列这个数列是等差数列,记为记为 an ,a1=7,a14=98.因此，因此，练习练习5 求集合求集合M=m|m=7n,n N*,且且m100中元素的个数，并求这些元素的和。中元素的个数，并求这些元素的和。因为因为 n N*把课本例把课本例2的结论加以变化的结论加以变化,可得到一个一可得到一个一般性结论般性结论:数列数列 为等差数列为等差数列,若若,则则:、成等差数列成等差数列（每个均为连续（每个均为连续n项的和）项的和）等差数列 的前m项和为30，前2m项和为100，求数列前3m项的和解：在等差数列中，成等差数列 成等差数列公式法 已知数列的前n项和求通项公式时,通常用公式 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”，即分段式，另一种是“合二为一”，即 和合为一个表达式已知数列 的前n项和 满足，求此数列的通项公式解：由条件可得当 n=1 时，当 时，所以分析公式的结构特征分析公式的结构特征设若a1、d是确定的，那么上式可写成上式可写成S n=An2+Bn 若A0（即d0）时，S n是关于n的二次函数且缺常数项。课本45 探究:若一个数列 的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常数，且p，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，它的首项与公差分别是什么？(解答过程在下一个幻灯片)an解:当n=1时,a1=S1=p+q+r.当n2时,an=Sn-Sn-1=2pn-p+q an=p+q+r2pn p+q(n=1)(n 2)当 r=0时，an=2pn-p+q(n 1)是等差数列，首项是 a1=p+q，公差是d=2p.练习：一个等差数列的前练习：一个等差数列的前10项之和为项之和为100，前前100项之和为项之和为10，求其前，求其前110项之和。项之和。设首项为 ，公差为 则则得得 练习：一个等差数列的前练习：一个等差数列的前10项之和为项之和为100，前前100项之和为项之和为10，求其前，求其前110项之和。项之和。设等差数列的前n项和例4己知等差数列 5,4 ,3 ,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.解:由题意知,等差数列5,4 ,3 ,的公差为 ,所以Sn=25+(n-1)()=(n-)2+对对Sn的深入认识的深入认识nanOan=4n14已知一个等差数列已知一个等差数列an=4n14 它是一个关于它是一个关于n的一次的一次函数，它的图象是在一条函数，它的图象是在一条直线上的一群孤立的点。直线上的一群孤立的点。nSnO6Sn=2n212n它的前它的前n项和是项和是Sn=2n212n 这是一个关于这是一个关于n的二次函数，的二次函数，且二次函数的常数项为且二次函数的常数项为0.反之若一个数列反之若一个数列an，它的前，它的前n项和的表达式是关于项和的表达式是关于n的二次的二次函数，且二次函数的常数项为函数，且二次函数的常数项为0，则这个数列是等差数列，则这个数列是等差数列它的图象是抛物线上的一群孤它的图象是抛物线上的一群孤立的点。立的点。联系联系:an=a1+(n-1)d的图象是相的图象是相 应直线应直线 上上 一群孤立的点一群孤立的点.它的最值又是怎样它的最值又是怎样?已知等差数列已知等差数列an中，中，a a10,S9=S12,则该数列则该数列前多少项和最小？前多少项和最小？解法一：设等差数列解法一：设等差数列an的公差为的公差为则由题意，得则由题意，得即即 有最小值有最小值又又 当当 或或 ，有最小值有最小值即即又又 已知等差数列已知等差数列an中，中，a10,S9=S12,则该数列则该数列前多少项和最小？前多少项和最小？解法二：解法二：由解法一知，由解法一知，又又 数列数列 an 为递增数列为递增数列 当当 或或 ，有最小值有最小值即即解得解得 已知等差数列已知等差数列an中，中，a10,S9=S12,则该数列则该数列前多少项和最小？前多少项和最小？解法三：解法三：S 9=S12即即又又 数列数列 an 为递增数列为递增数列 因此数列前因此数列前10项均为负值，项均为负值，从第，从第12项项起为正值起为正值 当当 或或 ，有最小值有最小值 已知等差数列已知等差数列an中，中，a10时，求n 的最大值等差数列奇数项与偶数项的性质等差数列奇数项与偶数项的性质（1）若项数为2n,则S偶S奇 nd(2)若项数为2n-1,则S奇S偶 已知某等差数列共有已知某等差数列共有10项，其奇数项之和项，其奇数项之和为为15,偶数项之和为偶数项之和为30,求公差求公差解：，一个等差数列的前一个等差数列的前12项和为项和为354,前前12项中偶项中偶数项和与奇数项和之比为数项和与奇数项和之比为32：27,求公差求公差解：又 一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为数项之和分别为24和和30,最后一项与第一项之差最后一项与第一项之差为为10.5,求此数列的首项、公差、项数求此数列的首项、公差、项数解：由题目知代入得 两等差数列an、bn与前n项和S n、T n之间的关系为 已知两个等差数列已知两个等差数列an,bn，它们的前，它们的前n项和分别是项和分别是Sn,Tn，若，若 ，求求 解：已知两个等差数列已知两个等差数列an,b n，它们的前，它们的前n项项和分别是和分别是An,Bn，若，若 ，求使得，求使得 为整数的正整数为整数的正整数n的个数的个数解：当n=1，2，3，5，11时，是正整数设设 S n 是等差数列是等差数列an的前的前n 项和，若项和，若求：求：解：一等差数列的前四项之和为一等差数列的前四项之和为124,后四项之和后四项之和为为156,各项和为各项和为210,求此数列的项数求此数列的项数解：由知又