历届全国大学生数学竞赛预赛试卷.docx

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算，其中区域由直线及两坐标轴所围成三角形区域.
2．设是连续函数，且满足，则.
3．曲面平行平面的切平面方程是.
4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则.
二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线过原点.当时，，又已知该抛物线及轴及直线所围图形的面积为.试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知满足，且，求函数项级数之和.
八、（10分）求时，及等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分）
（1）设，其中求
（2）求.
（3）设，求.
（4）设函数有二阶连续导数，，求.
（5）求直线及直线的距离.
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且，，
，且存在一点，使得. 证明：方程在恰有两个实根.
三、 （15分）设函数由参数方程所确定，且，
其中具有二阶导数，曲线及在出相切，求函数.
四、（15分）设，证明：
（1）当时，级数收敛；
（2）当且时，级数发散.
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球
（其中，密度为1）绕旋转.
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数.
（1）设为正向闭曲线，证明；
（2）求函数；
（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）求；
（2）.求；
（3）已知，求.
二、（本题10分）求方程的通解.
三、（本题15分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得
四、（本题17分）设，其中，，为及的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、（本题16分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧），是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示的正法向的方向余弦. 计算：
（1）；（2）
六、（本题12分）设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.
七、（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，，
?请说明理由.
2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
（1）求极限.
（2）求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点.
（3）已知函数，且. 确定常数和，使函数满足方程.
（4）设函数连续可微，，且在右半平面及路径无关，求.
（5）求极限.
二、（本题10分）计算.
三、（本题10分）求方程的近似解，精确到0.001.
四、（本题12分）设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.
五、（本题12分）求最小实数，使得满足的连续函数都有.
六、（本题12分）设为连续函数，. 区域是由抛物面和球面
所围起来的部分. 定义三重积分，
求的导数.
七、（本题14分）设及为正项级数，证明：
（1）若，则级数收敛；
（2）若，且级数发散，则级数发散.
2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限.
2.证明广义积分不是绝对收敛的.
3.设函数由确定，求的极值.
4.过曲线上的点作切线，使该切线及曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点的坐标.
二、（满分12分）计算定积分.
三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且.证明：级数收敛.
四、（满分12分）设，证明.
五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分.试确定曲面，使积分的值最小，并求该最小值.
六、（满分14分）设，其中为常数，曲线为椭圆，取正向.求极限.
七、（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.
2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）
1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .
2.设有曲面和平面. 则及平行的的切平面方程是 .
3.设函数由方程所确定.求 .
4.设，则 .
5.已知，则 .
二、（本题12分）设为正整数，计算.
三、（本题14分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得，. 证明：对任意，有.
四、（本题14分）（1）设一球缺高为，所在球半径为. 证明该球缺体积为，球冠面积为；（2）设球体被平面所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分
五、（本题15分）设在上非负连续，严格单增，且存在，使得.求.
六、（本题15分）设，求.
2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
（1）极限 .
（2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且则 .
（3）曲面在点的切平面及曲面所围区域的体积是 .
（4）函数在的傅立叶级数在收敛的是 .
（5）设区间上的函数定义域为，则的初等函数表达式是 .
二、（12分）设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.
三、（12分）设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，则在内无穷次可导.
四、（14分）求幂级数的收敛域及其和函数.
五、（16分）设函数在上连续，且. 试证：
（1）使；
（2）使.
五、（16分）设在上有连续的二阶偏导数，且. 若
，证明：.
2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、 填空题（每小题5分，满分30分）
1、 若在点可导，且，则.
2、 若，存在，求极限.
3、设有连续导数，且，记，若，求在的表达式.
4、 设，求，.
5、 求曲面平行于平面的切平面方程.
二、（14分）设在上可导，，且当，，试证当，.
三、 （14分）某物体所在的空间区域为，密度函数为，求质量.
四、（14分）设函数在闭区间上具有连续导数，，，
证明：.
五、 （14分）设函数在闭区间上连续，且，证明：在内存在不同的两点，使得.
六、 （14分）设在可导，且.用级数理论证明为常数.
2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、1. 已知可导函数fx满足，则.
2． 求.
3. 设具有二阶连续偏导数，且，其中为非零常数. 则.
4. 设有二阶导数连续，且，则.
5. 不定积分.
6. 记曲面和围成空间区域为，则三重积分.
二、（本题满分14分) 设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数
若对任何都有且. 证明是的极小值.
三、(本题满分14分) 设曲线为在
上从到的一段. 求曲线积分.
四、 (本题满分15分) 设函数且在实轴上连续，若对任意实数，有，则，.
五、(本题满分15分) 设为一个数列，为固定的正整数。若
其中为常数，证明.
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