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高一数学讲义（复习） 第一讲 集合

【知识要点】
集合
集合的含义与表示
集合间的基本关系
集合的运算
集合的有关概念
集合中元素的特征
元素与集合的关系
集合的表示方法
子集
真子集
集合相等腰三角形
交集
并集
补集
确定性
互异性
无序性
列举法
描述法
韦恩图法
一、集合知识结构

二、要点分析
1、集合的含义与表示：
（1）集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。
（2）集合中元素的特性：
①　　　　性：给定的集合，它的元素是确定的。
②　　　　性：一个给定集合中的元素是互不相同的。
③　　　　性：集合与其中元素的排列次序无关。
（3）集合的表示：
①列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
②描述法：用集合所含元素的　　　　表示集合的方法。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
③韦恩图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。
2、集合间的关系
（1）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中　　　　　都是集合B中的元素，则这两个
集合有 关系，称集合A是集合B的 ，记 。
（2）集合相等：若AÍB，BÍA，则集合A与集合B相等，记作 。
（3）真子集：若AÍB，但存在元素x∈B，且 ，则称A是B的 ，记作 。
（4）性质： ①任何一个集合A都是它本身的子集，即AÍA。
②空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 。
③n个元素的集合有 个子集，有 个真子集。
3、集合的运算
（1）并集：由所有属于集合A 集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的 ，
记作 ，即A∪B＝{x| }。
（2）交集：由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的 ，
记作 ，即A∩B＝{x| }。
（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为A相对于
全集U的 ，简称A的补集，记作 ，即CuA＝{x| }。
（4）重要性质：A∩B＝AÞAÍB；A∪B＝AÞBÍA

三、方法指导
【学法指导】
1、在进行集合运算时，不能忘了Æ。
2、在进行集合运算时，要确定好集合属于哪一类集合（数集、点集或图形等）。
3、含参数的集合问题，要注意集合中元素的互异性，需要运用分类讨论，等价转化及数形结合的思想。
4、集合问题经常与函数、方程、不等式有机结合，要注意各知识点的灵活运用。
【例题分析】
例1、下列各组是什么关系，用适当的符号表示出来。
（1）0与｛0｝ （2）0与Æ （3）Æ与{0}
（4）｛0，1｝与｛（0，1）｝ （5）｛0，1｝与N （6）与

变式1、下列各式中：①1∈{0，1，2}，②Æ{0，1，2}，③{1}∈{0，1，2004}，
④{0，1，2}{0，1，2}，⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、（09广东理）已知全集∪=R，集合M={x|}和N={x|x=2k－1，k=1，2……}
的关系的韦恩图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷个
变式2、（10广东）若集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ）
A． B．
C． D．
变式3、如右图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
U
M
S
P
A．（M∩P）∩S
B．（M∩P）∪S
C．（M∩P）∩CuS
D．（M∩P）∪CuS

例3、设A＝{x}，B＝{x}，若BÍA，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集。

变式4、已知A={x|x2－3x+2=0}，B={x|ax－6=0}且A∪B=A，求实数a的值组成的集合C。

例4、已知集合A＝，B＝{x＜a}，（1）若BÍA，求a的取值范围；（2）若AÍB，求a的取值范围；
（3）若CRA CRB，求a的取值范围。

变式5、已知集合，，且A∩B=A，求实数m的取值范围

例5、已知全集∪=｛2，3，+2a－3｝，A=｛，2｝，CuA=｛5｝，求实数a的值。

变式6、（09山东）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
例6、已知集合A={x|x2－ax+ a2－19=0}，B={x|x2－5x+6=0}，C={x| x2+2x－8=0}，满足ABÆ，
AC=Æ，求实数a的值。

变式7、已知集合，，若，求实数m的取值范围。

【课后练习】
1、给出下列关系：（1）∈R；（2）ÏQ；（3）ÏN；（4）∈Q。正确的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
2、已知A＝{0，－1，2}，B＝{－1，2}，则A∩B的非空真子集有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
3、（09广东文）已知全集∪=R，则正确表示集合M={－1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩图是（ ）
A． B．
C． D．
4、若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且BÍA，则满足条件的实数x的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、（全国高考题）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则由CuA与CuB所有元素组成的集合为（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}

6、已知集合A {2，3，7}，且A中至少有1个奇数，则这样的集合共有______个。

7、A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜5}，则A∪B＝ ，A∩B＝ 。

8、设A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－a＜0}若A∩B＝Æ，求a的取值范围。

9、已知集合A＝{x|x2－5x+6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，且A∩B＝B，求由实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集。

10、已知A＝{x|x2+px－12＝0}，B＝{x|x2+qx+r＝0}且A≠B，A∪B＝{－3，4}，A∩B＝{－3}，
求p、q、r的值。

高一数学讲义第一讲参考答案（复习）
【例题分析】
例1、（1）0∈｛0｝ （2） （3）Æ｛0｝ （4）｛0，1｝≠｛（0，1）｝，（5） （6）
变式1、A 例2、B 变式2、D 变式3、C
例3、解：由于A＝{3，5}，BÍA，（1）若B＝Æ，则a＝0； （2）若B≠Æ，则a≠0，这时有＝3或＝5，即a＝或 ， 综上所述，有实数a组成的集合为，非空真子集为： {0}，，
变式4、A={1，2}，BA，（1）B=Æ，则a=0
（2）B≠Æ，则a≠0，这时有或，即a=6或a=3。
∴a的值组成的集合为{0，3，6}
例4、解：（1）因为BÍA，由数轴知a≤3
（2）因为AÍB，A是B的子集，结合数轴知a≥3
（3）因为CRA＝{x|x≥3}，CRB＝{x|x≥a}， ∵CRACRB，即CRA是CRB的真子集， 画出数轴得a＜3。
变式5、由A∩B=A，可得AB，在数轴上表示集合A与集合B，可得m≥4
例5、∵CuA＝｛5｝，∴5∈∪且5A ∴，即a＝2或a＝－4
当a＝2时，，当a＝－4，∪，故所求的值为a＝2。
变式6、D
例6、∵B={2，3} C={－4，－2} A∩C=Æ，A∩B≠Æ，∴3∈A ∴32－a×3+a2－19=0
将，经检验，=5不合题意 ∴a=－2
变式7、设全集，若方程
的两根x1，x2均非负，则，
∵关于的补集为，∴实数m的取值范围为
【课后练习】
1、B 2、A 3、B 4、C 5、C 6、5 7、{x|－1≤x＜5} {x|2≤x＜3}
8、∵A＝{x|－2＜x＜4} B＝{x|x＜a}且A∩B＝Æ
∴利用数轴得a≤－2
9、解：∵A∩B＝B ∴BÍA， （1）当B＝Æ时，m＝0
2）当B≠Æ时，m≠0 ∴B＝，∵BÍA，A＝{2，3} ∴B＝{2}或B＝{3}，∴m＝或m＝，∴M＝
10、解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，－3∈B，∴（－3）2－3P－12＝0得P＝－1， ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}
而A≠B，A∪B＝{－3，4}，故B＝{－3}，又∵{x|x 2+6x+9＝0}＝{－3}，∴q＝6 ，r＝9，综上：p＝－1，q＝6，r＝9

学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！　当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。