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二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般 一般式：
（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3） 顶点式：
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数

图像
a>0
a<0

y

0 x

y

0 x

性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
Y
如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为 A
0 x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

③平移规律

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
(必须理解记忆)
说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，
X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号；
原点对称最好记,横纵坐标变符号。
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是
关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
(2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b．则M，N，P中，值小于0的数有（　　）
A．3个
B．2个
C．1个 D 0个
D．0个

分析：根据图象得到x=-2时对应的函数值小于0，得到N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b-c的符号．
解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，∴M=a+b-c＜0当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴N=4a-2b+c＜0，
对称抽大于-1∴b＞2a，∴2a-b＜0，∴P=2a-b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．
（2013•漳州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0
B．b2-4ac＜0
C．当-1＜x＜3时，y＞0
D．对称轴等于1

．
分析：根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故本选项错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2-4ac＞0，故本选项错误；
C、由函数图象可知，当-1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（-1，0），（3，0），∴对称轴=
−1+3
2
=1

（2013•张家界）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
分析：根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
解答：解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选A．
（2013•岳阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②∵对称轴x=-b/2a=1，∴b=-2a＞0，即b＞0．故②错误；
③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；
④∵对称轴x=- b/2a=1

∴b+2a=0．故④正确；⑤根据图示知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故⑤错误．
综上所述，正确的说法是①③④，共有3个．故选C．
（2013•乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m-k+1=2k+n=1，则代数式2k2-8k+6的最小值为（　　）
A．-2
B．0
C．2
D．2.5

解答：解：∵m，n，k为非负实数，且m-k+1=2k+n=1，
∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：1/2
∴0≤k≤1/2
∵2k2-8k+6=2（k-2）2-2，
∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2-8k+6的值随x的增大而减小
故选：D．
（2013•黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2-4ac＞0，正确；
（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；
（3）∵对称轴在-1的右边，∴-b/2a＞-1，又a＜0，∴2a-b＜0，正确；
（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
故错误的有1个．
故选：A．
（2013•茂名）下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（　　）
A．y=3x2+2
B．y=3（x-1）2
C．y=3（x-1）2+2
D．y=2x2
分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、y=3x2的图象向上平移2个单位得到y=3x2+2，故本选项错误；
B、y=3x2的图象向右平移1个单位得到y=3（x-1）2，故本选项错误；
C、y=3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3（x-1）2+2，故本选项错误；D、y=3x2的图象平移不能得到y=2x2，故本选项正确．故选D．
（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y=
−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　）

A．2
B．4
C．8
D．16
根据抛物线解析式计算出y= −2x的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．
（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2013•达州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝b/x与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）

A．
B．
C．
D．
（2013•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a-b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将x=1，-1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，-b/2a＞0，则b＜0，正确；
②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；
③当x=-1时，y=a-b+c＞0，正确；
④∵a-b+c＞0，∴a+c＞b；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜-b；∴b＜a+c＜-b，∴|a+c|＜|b|，∴（a+c）2＜b2，正确．
所以正确的结论是①③④．故选C．
（2013•松北区三模）已知抛物线的解析式为为y=（x-2）2+1，则当x≥2时，y随x增大的变化规律是（　　）
A．增大
B．减小
C．先增大再减小
D．先减小再增大
（2013•浦东新区一模）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0）和（3，0），那么对称轴是直线（　　）
A．x=0
B．x=1
C．x=2
D．x=3
（2013•德州）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（　　）
A．y=-x+1
B．y=x2-1
C．y=1/x

D．y=-x2+1
（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜-3
B．k＞-3
C．k＜3
D．k＞3
．分析：先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
解答：解：∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）
∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3，
∴函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y=|ax2+bx+c|的图象如右图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y=3的上边，
故k＞3，
故选D．
（2013•镇江）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；
（3）点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．

分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；
（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是（3，2），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式．
解答：解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1，0）；

（2）抛物线的对称轴是直线x=1．
根据图示知，当x＜1时，y随x的增大而减小，
所以，当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
（3）∵对称轴是x=1，点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标是（3，2）．
设直线AC的关系式为y=kx+b（k≠0）．

0＝2k+b
2＝3k+b

解得

k＝2
b＝−4

∴直线AC的函数关系式是：y=2x-4．
（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标
．
（2010•通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
分析：（1）因为y=（x-50）w，w=-2x+240
故y与x的关系式为y=-2x2+340x-12000．
（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．
（3）令y=2250时，求出x的解即可．
解答：解：（1）y=（x-50）•w=（x-50）•（-2x+240）=-2x2+340x-12000，
∴y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000． （3分）
（2）y=-2x2+340x-12000=-2（x-85）2+2450∴当x=85时，y的值最大．（6分）
（3）当y=2250时，可得方程-2（x-85）2+2450=2250
解这个方程，得x1=75，x2=95
根据题意，x2=95不合题意应舍去
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元． （10分）
（2010•青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．
解答：解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6 000（4分）
解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5．（6分）
（2）设涨价x元时总利润为y，
则y=（10+x）（500-20x）
=-20x2+300x+5 000
=-20（x2-15x）+5000
=-20（x2-15x+225/4-225/4）+5000
=-20（x-7.5）2+6125
当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125．（8分）
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．（10分）
（2010•锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2-2x-8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．
②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．
③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．
（2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=1/3
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=
1
3
，则A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．
（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解．
（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．

（2009•青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-3/4 x与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2-9/4x经过点A，试确定此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

分析：前两问由抛物线性质，用待定系数求出点D的坐标和抛物线的表达式；最后一问找三角形相似，作辅助线过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，再根据相似三角形比例关系求出P点坐标．

（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
．
分析：（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，-2）代入即可；
（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；
（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．

（2009•江苏）如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式．
．
分析：（1）二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴． y=x2-2x-1=（x-1）2-2，所以顶点A的坐标为（1，-2）对称轴为x=1，
所以二次函数y=ax2+bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分别是原点和C点，
所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为（2，0）；
（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，点B的坐标为（1，2），
二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式，可得，

a+b＝−2
4a+2b＝0

解得

a＝−2
b＝4

所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x．
（2009•武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

分析：（1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=-10-（x-5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．
解答：解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5．
∵a=-10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．
（2006•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；
（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象．
分析：本题的关键是求出抛物线的解析式，在题目给出的图象中可得出A、B、C三点的坐标，可用待定系数求出抛物线的解析式，进而可画出x＜0时抛物线的图象，以及y＞0时x的取值范围．

（2011•天水）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是
．

（2007•舟山）抛物线y=2（x-2）2-6的顶点为C，已知y=-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）