八、函数思想.doc

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点.题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关.
本讲讲述其中的函数思想.
函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括的思维，从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑和解决问题.函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，亦可以研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容.
一、什么是函数思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，将静态的数量关系转化成动态的变量函数关系，运用函数的图象和性质去分析、解决问题，从而使问题获得解决.
二、函数思想在解题中的应用主要表现在两大方面：
一是借助有关初等函数的性质，解有关求最值、解(证)不等式、解方程及讨论参数取值范围等问题；
二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造辅助函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质.
三、函数思想可用于解决函数问题，也可用于解决非函数问题.下面来看函数思想在非函数问题中的几种常见应用：
1. 利用函数思想解决方程问题，例如解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；求方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数；可见函数思想与方程思想的联系十分密切，这些联系，可以促成函数思想与方程思想在数学解题中互化互换.
2. 利用函数思想处理不等式问题，例如求不等式f(x)＞0，就相当于函数y＝f(x)，当y＞0时，自变量x的取值范围，可利用函数图象转化为函数图象在x轴上方时，对应的自变量取值范围.
在不等式问题或其他问题中构造辅助函数时，要注意选择适合的自变量.比如：
例：对于满足0≤a≤4的一切实数，不等式x²＋ax＞4x＋a－3恒成立，试求x取值范围.

显然，解法二就比解法一简单，由于确定的自变量不同.
3. 利用函数思想解决数列问题，例如等差数列的通项公式、前n项和公式是自变量为正整数的函数，可以用函数的观点处理数列相关的单调性、最值等问题.
4. 利用函数思想解决相关二项式定理的问题，例如函数与二项式定理密切相关，对这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.
5. 利用函数思想也可解决立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，建立函数表达式的方法加以解决.
6. 利用函数思想解决实际应用问题，根据题意建立恰当的目标函数关系，根据函数性质来求解最值.
以下通过几个练习题来体会函数思想在解题中的应用：[来源:Zxxk.Com]
练习题：
1.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________.

2.【2015福建文，12】“对任意，”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.【2014福建理，13】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元)
4.设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.[来源:学科网]
（1）求a，b的值；（2）证明：f(x)≤2x－2.
提示：第2问构造函数，利用函数最值证明题目中的不等式.
5.【2015北京理，18】已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值.
练习题解析：
1.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________.

2.【2015福建文，12】“对任意，”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[来源:学。科。网]
3.【2014福建理，13】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元)
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
4.设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.
（1）求a，b的值；（2）证明：f(x)≤2x－2.

5.【2015北京理，18】已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值.