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小学奥数知识点分类

小学奥数大约 80 个知识点，可分成 5 大类，数论和行程是重点也是难点。

小学奥数系统复习讲义(完整版)
2 2 2 2
3 3 3 3

6． 速算巧算基本方法


凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法
7． 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，
【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：

等差数列公式：

第一部分

计算能力

万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！

基本公式
1． 运算顺序
第一级：括号：（ ）→[ ] → { }
第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序
简单等比公式：

例题分析

第三级：＋－： 同一级别可以交换运算次序
2． 去括号
1.
393+404+397+398+405+401+400+399+391+402

①
②
③
a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c
a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c
a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c

2.

比较下面 A,B 两数的大小：A=2009×2009， B=2008×2010

④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
3． 分配律/结合律
乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×c
a×b＋a×c = a×(b＋c)
除法：(a＋b) ÷c = a÷c＋b÷ c
a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c
4． 两个必须掌握的性质
两个数的和一定，则两数越相近，积越大
3.

4.
结果末尾有多少个零？

100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1

两个数的积一定，则两数越分散，和越大
巩固练习

5． 几个计算公式

2 2

2
5.
376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378

2 2
求和公式一:1+2+3+……+n =

计算能力
速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等
基础知识
和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等
图形问题
平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积
行程问题
相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等
数论问题
平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制

求和公式二：1 +2 +3 +……n =
求和公式三：1 +2 +3 +……n =
完全平方和（差）公式：（a±b） = a ±2ab+b
平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)



6.
1÷50+2÷50+3÷50+……50÷50
2010
÷2010
第二部分
基础知识

基础知识点列表

7.

8.

9999999×2009

7777×3333÷1111

9.


比较下面 A,B 两数的大小：
A＝987654321×123456789；


B＝987654322×123456788


Ø


归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标
准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1 份数量

10. 1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978
－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2
1 份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？
解：（1）买 1 支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）
（2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
列成综合算式：0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要 1.92 元。
11. 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？

12. 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105
吨钢材，需要运几次？

Ø


归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求
的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）
的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

序号
知识点名称
序号
知识点名称
序号
知识点名称
1
归一归总
9
鸡兔问题
17
加法乘法原理
2
和差问题
10
方阵问题
18
排列与组合
3
和倍问题
11
抽屉问题
19
商品利润
4
差倍问题
12
容斥问题
20
存款利息
5
植树问题
13
逻辑问题
21
浓度问题
6
年龄问题
14
数字谜
22
工程问题
7
盈亏问题
15
等差数列
23
正反比例
8
周期问题
16
一笔画
24
牛吃草问题




【数量关系】 1 份数量×份数＝总量
总量÷1 份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
17. 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲
车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？

【例题】服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服

Ø

和倍问题

用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？
解：（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）
（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：现在可以做 904 套。
13. 小华每天读 24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书，
几天可以读完《红岩》？

14. 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬
菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可
以吃多少天？
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏
树、桃树各多少棵？
解：（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。
18. 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求
两库各存粮多少吨？

Ø

和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和
差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？
解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。

19. 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，
从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？

20. 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三
数各是多少？

15. 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积?
Ø
差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，
甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。




【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求
杏树、桃树各多少棵？
25. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取 1.6 米，2 米，1.2 米长的
钢条，要求都按 0.4 米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了 24

解：（1）杏树有多少棵？
（2）桃树有多少棵？
124÷（3－1）＝62（棵）
62×3＝186（棵）
段，25 段，27 段，谁锯钢条的速度最快？

答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。

21. 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子
二人今年各是多少岁？

26. 某一淡水湖的周长 1350 米,在湖边每隔 9 米种柳树一株,在两株柳树
中间种植 2 株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝

桃之间相距多少米?

22. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，

又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，这两个月盈利各是多少万元？
27. 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一

个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

23. 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 10 吨，

多少天后，玉米是小麦的 12 倍？
Ø
年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄
差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

Ø
植树问题
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其

基本类型及公式：
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③在封闭曲线上植树：
基本公式：棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长
关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

【例题】一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵
垂柳？
解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽 69 棵垂柳。
24. 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能
栽多少棵白杨树？
与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。
28. 母亲今年 37 岁，女儿 7 岁，几年后母亲年龄是女儿的 4 倍？

29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父
子今年各多少岁？



30. 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对
甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙
现在的岁数各是多少？
识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出
现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周
期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，
最后根据余数的大小得出正确的结果。

Ø

盈亏问题
周期现象：事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），
一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类
应用题叫做盈亏问题。
闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；
月份：1、3、5、7、8、10、12 月大。
解答周期问题的关键：

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
Ø
Ø
找出周期 T,
考察余数，注意周期的首尾两数。

如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4
个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。
31. 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天
修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？

32. 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45
人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

例题分析

【例 1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？
【解】平年元旦到国庆节共有的天数：
31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；
循环的周期和余数：274÷7=39…1；
平年的国庆节是星期日；[整周期的第一个数]
闰年元旦到国庆节共有的天数：274+1=275；
循环的周期和余数：275÷7=39…2；
闰年的国庆节是星期一；[整周期的第二个数]

【例 2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次
取奶是星期一，那么，他第 100 次取奶是星期______。
【解】21 天内，每人取奶 7 次，甲第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶
为一个周期 100÷7＝14……2，所以甲第 100 次取奶是星期二。

基础务实
33. 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5 日是星期几？

Ø

周期问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调
查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年
有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有
一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知

34. 《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994 年 10 月份第 1 期是 10
月 7 日出版的，1995 年 1 月份第 1 期应在 1 月几日出版？





35. 果园里要种 100 棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、
Ø
鸡兔同笼

三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。那么，最后
一棵应种什么树？在这 100 棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？

36. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接
着有 3 盏彩灯。那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？

37. 小明把节省下来的硬币先按四个 1 分，再按三个 2 分，最后按两个 5
分这样的顺序往下排。那么，他排的第 111 个是几分硬币，这 111 个
硬币共多少元？

38. 如果时钟现在表示的时间是 18 点整，那么分针旋转 1990 圈之后是几
点钟？

39. 某年的 10 月里有 5 个星期六，4 个星期日。问：这年的 10 月 1 日是
星期几？
【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，
求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和
鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以
假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然
后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到
解决。
【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有
九十四．请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解：假设 35 只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡 23 只，有兔 12 只。
43. 2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施

肥 9 千克，求白菜有多少亩？

40. 学校一学期共安排 86 节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、

四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，
则最后一节数学课是星期几上的？

41. 1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五，1993 年 1 月 4 日是星期几？
44. 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20
元，日记本每本 0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？

45. （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，

问鸡与兔各多少只？

42. 有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个

数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第 1991 个数
被 3 除，所得的余数是多少？
46. 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个
馍，问大小和尚各多少人？



Ø
方阵问题
个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素）。

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条
件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数
自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22
人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解：22×22＝484（人）
抽屉原则可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 k×m＋r（0＜r≤m）个元素那
么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽
屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路】（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
【例题】育才小学有 367 个 1999 年出生的学生，那么其中至少有几个学
生的生日是同一天的？
解：由于 1999 年是润年，全年共有 366 天，可以看作 366 个“抽屉”，
把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个“元素”。367 个“元素”放进
366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多的“元
素”。 这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。
50. 有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在 200
个信号中至少有多少个信号相同？

答：参加体操表演的同学一共有 484 人。
47. 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。
51. 书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种
奖品。问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有 4 名同学得

48. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数
到的奖品完全相同？

是 28 人，这队学生共多少人？

52. 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球 10 个，白

49. 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增
加一层，则缺少 9 只棋子，问有棋子多少个？
球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2 个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问
他至少要取多少个球，才能保证至少有 4 个球颜色相同？

Ø


抽屉原理


Ø


容斥原理

【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把 2 只苹
果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把 3 只苹果都放进同
一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了 2 只或
2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把 n＋1 个物体（也叫元素）放到 n
公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解
容斥原理一：C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC 利用这一公式可计算三个集
合圈的有关问题。
图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，




逐块地计算出各个部分，从而解答问题。

【例 1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有 15 人，数
学得优的有 24，其中语文、数学都得优的有 12 人。全班得优共有多少人？
【解】全班得优分 3 种:语数均得优;语文得优数学不得优;数学得优语文
不得优。 语数均得优=12 人
语文得优数学不得优=15-12=3 人
数学得优语文不得优=24-12=12 人
全班得优共有 12+3+12=27 人

53. 某班共 50 人,参加课外兴趣小组学书法的 32 人,学绘画的 28 人，其
中两种都学的 15 人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组？

54. 从 1 到 100 的自然数中，
（1）不能被 6 和 10 整除的数有多少个？
（2）至少能被 2，3，5 中一个数整除的数有多少个？
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

56. 甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、
英语。根据下面的已知条件：
（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语；
（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。
则丙不教什么学科？

57. 执行一项任务，要派 A、B、C、D、E 五人中的一些人去，受下述条件
约束：（1）若 A 去，B 必须去；（2）D、E 两人至少去 1 人；（3）B、C
两人只能去 1 人；（4）C、D 两人都去或都不去；（5）若 E 去，A、D
两人也必须去。问应派哪些人去？

Ø

数字谜

Ø

逻辑推理

数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是
根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终
找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷
惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要
始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律
和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，
在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。

55. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是 2 号，乙是 3 号.”钱说：“丙是 4 号，乙是 2 号.”
孙说：“丁是 2 号，丙是 3 号.”李说：“丁是 4 号，甲是 1 号.”
某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从
而确定这些字母或汉字所代表的数字。
步骤： 1、先确定明显部分的数字
2、寻找突破口，缩小范围
3、分情况讨论
58. 下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，
相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？

59. 每个汉字代表的数字是多少？

60. 下边的算式中的不同汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数

2） 求该数列第 200 项与第 100 项的差。


字，如果巧+解+数+字+谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数
是多少？

65. 在大于 1000 的整数中，找出所有被 34 除后商与余数相等的数，那么
这些数的和是多少？

61. A、B 各代表什么数字？

Ø

一笔画

一笔画性质：

Ø
等差数列
²
凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点

若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第
一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数
列，后项与前项的差称为公差。

²

²
为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图
需几笔画成。)

例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为 3，末项为 96，
项数为 32，公差为 3 的数列。
等差数列相关公式：
66. 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、
入口应设在哪里？

²
²
通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

²
²
求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2
67. 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街
道，甲从 A 点出发，乙从 B 点出发，最后都回到邮局（C 点）。如果要

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项
数，然后再利用等差数列求和公式求和。
62. 某剧院有 25 排座位，后一排比前一排多两个座位,最后一排有 70 个
座位，这个剧院一共有多少个座位?
选择最短的线路，谁先回到邮局？

68. 邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各
横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要

63. 等差数列第一项是 3，第四项是 15，求等差数列第二项和公差？
走
千米。

64. 等差数列 1，5，9，13，17……
1） 数字 2009 是不是该数列的项？


Ø
u


加法乘法原理
加法原理

如果完成一件任务有 n 类方法，在一类方法中有 m1 种不同的方法，在第二
类方法中有 m2 种不同的方法……，在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法，则
完成这件任务共有：m1+m2+m3+……＋mn 种不同的方法。
u 乘法原理
如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第
1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法……不管前面 n-1 步用哪一种方
法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有 m1×m2×m3×…×mn 种
r r r
r n n

=
r

72. 某铁路线共有 14 个车站，该铁路共需要多少种不同的车票？

不同的方法。

69. 下图中的“我爱希望杯”有


种不同的读法。
73. 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同
信号，一共可以组成多少种不同信号？

74. 一个篮球队，五名队员 A、B、C、D、E，在于某种原因，C 不能做中
锋．而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上，共有多少种不

70. 如图，把 A、B、C、D、E 这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的
同的站位方法？

部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，
这幅图一共有多少种不同的着色方法。

75. 七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：
（1）七个人排成一排；
71. 从 l、2、3、4、5 中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少不同
的真分数?

（2）7 个人排成一排，某人必须站在中间；

Ø
排列与组合

u

u
排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复排列的
r r

我们记 n！表示 n 的阶乘，即 n！＝1×2×3×4×5×…×n。
组合：一般的，从 n 个不同元素中任取 r 个不同元素，不考虑取出元
素的顺序并成一组，这类任务叫做从 n 个不同元素中取出 r 个不同元
素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位
置或顺序。符号 C nr 表示从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重
r r

n 个不同元素中选出 r 个不同的元素的排列”分为两步：
（3）个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；

（4）七个人排成一排，某两人必须站在两头；

（5）七个人排成一排，某两人不能站在两头；

（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；

（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。

①从 n 个不同的元素中选取 r 个不同的元素，方法有 C nr 种；②对选出的 r
Ø
商品利润

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润
率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】某商品的平均价格在一月份上调了 10%，到二月份又下调了 10%，
这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？
解:设这种商品的原价为 1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为
（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了 1%。
76. 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去 52 元，
已知衣服原来按期望盈利 30%定价，那么该店是亏本还是盈利？求亏
（盈）率？
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
【例题】李大强存入银行 1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出
1488 元，求存款期多长。
解：因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为（1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大强的存款期是 30 月即两年半。
79. 银行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年
期 9%。如果甲乙二人同时各存入 1 万元，甲先存二年期，到期后连本
带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的
收益多？多多少元？

80. 某厂向银行申请甲乙两种贷款一共 40 万元，每年需付利息 5 万元，
甲种贷款的年利率是 12%，乙种贷款的年利率是 14%。该厂申请的甲

乙两种贷款的金额各是多少？

77. 成本 0.25 元的作业本 1200 册，按期望获得 40%的利润定价出售，当

销售出 80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的 86%。
问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

Ø

浓度问题

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究
的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例

78. 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10%，甲店按 30%的利
润定价，乙店按 20%的利润定价，结果乙店