材料力学之扭转讲义.docx

材 料 力 学
扭  转
【内容提要】
扭转是杆件的又一种基本变形形式，本节主要学习杆件发生扭转时的受力和变形特点，熟悉传动轴的外力偶矩计算，掌握求扭矩和作扭矩图的方法。掌握横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，了解斜截面上的应力计算，掌握剪应力强度条件的应用。熟悉圆截面极惯性矩，抗扭截面系数计算公式的应用。熟悉圆截面杆扭转角的计算和刚度条件的应用，了解受扭圆杆应变能的计算。
【重点、难点】
求扭矩和作扭矩图的方法，横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，剪应力强度条件。

【内容讲解】
一、扭转的概念
受力特征：杆两端承受一对力偶矩相等．转向相反作用面与杆轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征：杆件各横截面绕轴线作相对旋转。
截面间轴线的相对角位移，称为扭转角，用 表示。杆件表面上的纵向线同时倾斜了一个角，即剪应变。以扭转变形为主要变形的直杆，简称为轴。

二、传动轴外力偶矩
    传动轴所传递的功率、转速与外力偶矩之间关系

    式中P为传递功率，常用单位为kW(千瓦)， 为转速，常用单位为r／min(转每分)，T为外力偶矩，常用单位为N•m(牛•米)。

三、扭矩扭矩图
    扭矩:受扭杆件横截面上产生的内力，是一个在横截面平面内的力偶，其力偶矩称为

扭矩，用 表示。
扭矩正负号规定  扭矩 以右手法则表示扭矩矢量方向，若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正，反之为负。
扭矩计算  应用截面法和扭矩正负号的规定，可直接根据横截面左侧(或右侧)杆上作用的外力
偶矩，计算该横截面上的扭矩法则：某横截面上的扭矩 ，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩矢量方向(按右手法则离开该横截面的均取正值，反之取负值。
    扭矩图  表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。以横坐标轴表示横截面的位置．纵坐标表示相应横截面上扭矩。
    根据平面假设，应用几何、物理与静力学三方面，可建立圆截面轴扭转剪应力，变形公式。

四、圆轴扭转剪应力与强度条件
  (一)横截面上的剪应力
1．    剪应力分布规律  横截面上任一点的剪应力，其值与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点所在的半径。剪应力沿截面半径线性变化。如下图所示。

    2．剪应力计算公式  横截面上距圆心为 的任一点处剪应力 。

横截面上最大剪应力 ，发生在横截面边缘各点处( )，其值为

上列两式中： 为所要求剪应力的点所在横截面上的扭矩， 称为截面的极惯性矩， 称为抗扭截面系数。
 、  是仅与横截面尺寸有关的几何量，分别为实心圆截面。(直径为d)

空心圆截面(外径为D．内径为 ；

  (二)圆轴扭转强度条件
  为了保证圆轴扭转工作时，不致因强度不够而破坏，最大剪应力 不得超过材料的扭转许用剪应力[]，即要求，强度条件：

对于等截面圆轴

式中[ ]为扭转(纯剪切)许用剪应力，其值与许用应力[ ]之间存在下述关系：
  对于塑性材料． ﹝0.5～0.577﹞ [ ]
  对于脆性材料， ﹝0.8～1.0﹞
式中， 代表许用拉应力。

由上述强度条件，可对受扭圆轴进行强度校核、截面设计以及许可载荷的确定等三类问题的计算。

五、圆轴扭转变形与刚度条件
  (一)圆轴扭转变形
  单位长度的扭转角，即扭转角沿轴线的变化率．
对于在长度 范围内， 均为常量，则扭转角
上式表明，扭转角 与扭矩 轴长 成正比，与 成反比。乘积 表示圆轴抵抗扭转弹性变形的能力，称为圆轴抗扭刚度。 
 （二）圆轴扭转刚度条件
  刚度条件  圆轴扭转最大单位长度扭转角 不得超过某一规定的迕用值[ ]。即

对于等截面均质圆轴

上式中，[]代表单位长度许用扭转角。对于一般传动轴，[]为 ～ 对于精密机器与仪表的轴，[ ]值可根据有关设计标准或规范确定。
六、扭转应变能
    圆轴因扭转变形而贮存的能量，称为扭转应变能，用 表示，其数值上等于外力偶矩 在相应的扭转角位移 上所作之功。在线弹性范围内扭矩与扭转角成正比。于是，得扭转应变能

上式表明，应变能 是扭矩 的二次函数。
单位体积应变能，称为比能．用 表示。圆轴扭转单元体处于纯剪状态，在线弹性范围内，剪应力 与剪应变 成正比，于是比能

【小结】本节推导公式的理论基础是剪力互等定律和剪切虎克定律，其扭转剪应力和变形的公式仅适用于圆形截面的构件，计算的基本公式是扭转剪应力公式： ，扭转变形公式： 及其强度条件： ，刚度条件 = 。