第四章扭转讲稿材料力学同济大学.docx

一、教学目标与教学内容
1、教学目标
(1)掌握扭转的概念；
(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；
(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；
(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；
(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；
(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容
(1) 扭转的概念和工程实例；
(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；
(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;
(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；
(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；
(6) 圆轴受扭破坏分析；
(7) 矩形截面杆的只有扭转；
(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点
1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式
通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
6学时
五、实施学时
六、讲课提纲
工程实例：

图4-1
**扭转和扭转变形
1、何谓扭转？
如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？
在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。

I 圆轴扭转时的应力和强度计算
一、外力偶矩、扭矩和扭矩图
1、外力偶矩(T)的计算
KN·m (7-1)
Pp指轴所传递的功率（马力）
n指轴的转速（转/分、r/min）
KN·m (7-2)
PkW指轴所传递的功率（千瓦、Kw）
n指轴的转速（转/分、r/min）

2、扭矩（Mn）的确定及其符号规定
（1）Mn的确定 截面法

图4-3

（2）Mn的符号规定 右手螺旋法则

图4-4

3、扭矩图
扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
作法：轴线（基线）x —— 横截面的位置
纵坐标—— Mn的值
正、负 —— 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

图4-5
解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。
（2）作扭矩图，见图4-5，b
一、 圆轴扭转时横截面上的应力
1、实心圆轴
（1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6
（2）τ的方向
由Mn确定，τ与M n同向（见图4-6，a） 注意τ⊥半径
（3）τ的计算
(7-3)
式中Mn---- 横截面上的扭矩；
ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离;
Ip----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为。
（4）计算公式的讨论：
①对于某一根受扭的圆轴而言，一定发生在所在段；
②在确定的截面上，一定发生在ρ处（周边上）；
③Ip的意义
从τ的计算公式讨论Ip ：Ip愈大，τ愈小；
从应力分布状况讨Ip ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。
设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴
（1）τ的分布规律
（2）τ的计算

图4-7
计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同
空心圆轴的Ip空计算

式中的
（3）τ的方向
仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。
3、薄壁圆筒
（1） 界限及误差
当时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。
（2） τ的分布规律
图4-8
（3）τ的计算
（r0见图4-8） （7-4）

三、圆轴扭转时斜截面上的应力
横截面上：发生在周边各点，σ=0
圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。
在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:

图4-9
分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn上的应力：
设斜截面mn的面积为dA,则mb面和bn面的面积：

选取参考轴η、ξ
写出平衡方程：

利用，整理上两式，得：
(a)
(b)
据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：
（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。

（2）由（a）式知：

即：

图4-11
这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。
（低碳钢）
（ 铸铁 ）

图4-11
四、圆轴扭转时强度条件
（7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件
对于实心圆截面
对于空心圆截面
而 ：（1）可通过扭转试验测定：
τS---塑性材料
τb---脆性材料
（2）

例题4-2 已知：主传动轴AB由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,
壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受Mnmax=1.5KN·m
试：校核该轴的强度。

图4-12
解：
1、 按薄壁圆管公式计算τ：

2、 按空心圆轴公式计算τ：

校核结果：强度足够。
两种计算方法的误差比较：

例题4-3 若将AB轴改为实心轴，应力条件相同（即），试确定实心轴的直径D1=？并比较空心轴和实心轴的重量。
解：
两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比
则： （用料）
（重量）
小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；
⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；
⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；
⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。

图4-13

Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算
1、扭转角与剪切角的概念

图4-14

2、圆轴扭转时的变形计算
⑴扭转角的计算
rad（弧度）
（7-6）
°（度）
（7-7）
⑵单位长度扭转角的计算
Rad/m
（7-8）
°/m
（7-9）
3、扭转时刚度条件
Rad/m
（7-10）
°/m
（7-11）
例题4-4 某轴AB段是空心轴，内外径之比；BC段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa、[θ]=1、G=80GPa,试设计D和d 应等于多少？

图4-15
解：1、作扭矩图

2、根据强度条件设计D、d
AB段：

BC段：

3、根据刚度条件设计D、d
AB段：

BC段：

4 结论：
D=61.1mm – 刚度条件确定。
d=48.1mm – 刚度条件确定。

Ⅲ 扭转超静定
例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, [τ]=50MPa、[θ]=2.5、G=,试对此轴进行强度和刚度校核。

图4-16
解：①截面的几何性质计算：
AC段：
CE段：
②求约束反力:
解除A端约束，建立变形协调条件：

图4-17
，即：将G、、代入上式运算，得
再由静力平衡方程解出

③强度校核
BC段：

DE段：

④刚度校核
BC段：
DE段：
均

Ⅳ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。
一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别

（a） (b)
图4-18
圆截面杆受扭：平面假定
非圆截面受扭：截面翘曲—图a所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图b）。说明：原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。
二、非圆截面杆扭转的两种情况
1、自由扭转
等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。
因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。
2、约束扭转
由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。
三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形
1、矩形截面杆
（1）截面上剪应力的分布规律

图4-19
①最大剪应力发生在截面长边的中点处

-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数

（短边中点）
-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数
式中：α 、υ可按截面尺寸比值从教材提供的表格中查取。
②截面周边各点处的剪应力方向一定与周围平行（相切）。
③截面凸角点处的剪应力一定为零。
（2）单位长度扭转角θ的计算式

-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数
2、狭长矩形截面杆
当矩形截面的h/t>10时，称为狭长矩形。
（1）截面上的应力分布规律

①最大剪应力发生在截面长边除靠近顶点外的各点。

长边上除靠近顶点以外均相等
②长边各点处的剪应力方向均与长边相切。
③截面凸角点的剪应力为零。

图4-20
（2）单位长度扭转角θ的计算式

例题4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面I-I上的τ可近似地按矩形截面杆受扭计算。若t=23mm,h=102mm,Mn=26.3mm,求该截面上的τmax=?

截面I-I
图4-21
解：由截面I-I的尺寸求得

查教材P159表４－１，并利用插入法，求出
α＝０.286
则　

例题4-7 试求由薄板卷成的薄壁圆管的应力和扭角。圆管用两种不同的制作方法；1）开口圆管；2）焊接封闭圆管。请比较两种截面的应力和扭角。

图4-22
解：

注S—截面中线长度
若D=30cm,t=1cm,则τ1=45τ2 , θ1=675θ2