静定预应力混凝土桥梁变形全量形式矩阵分析.pdf

第 6卷第 5期 2 0 0 9年 1 0月 铁道科学 与工程学报 J OURN AL OF RAI L WAY SCI ENCE AND ENGI NEERI NG Vo 1 6 NO 5 OC t 2 0 O 9 静定预应力混凝土桥梁 变形全量形式矩 阵分析 胡狄 。 余志武 ( 中南大学 土木建筑学院， 湖南 长沙 4 1 0 0 7 5 ) 摘要： 基于小时段 内混凝土应力线性变化的假定， 将积分形式的混凝土时变本构方程在持荷 时段 内写成矩阵形式， 提出 了分析静 定预 应力混凝 土桥 梁弹性 变形和 时变变形 的全量形式矩阵方法 ， 建立 了相应 的矩 阵方程 。 关键词 ： -N应力混凝土 ； 静定桥 梁； 变形 ； 全量形式矩 阵分析 ； 时变 中图分类号 ： U 4 4 1 ； U 4 4 8 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 6 7 2 7 0 2 9 ( 2 0 0 9 ) 0 5 0 0 0 1一 o 4 T o t a l t y p e ma t r i x a n a l y s i s f o r d e f o r ma t i o n o f s t a t i c a l ly d e t e r mi n a t e p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b r i d g e s HU Di YU Zh i WH ( S c h o l l o fC i v i l a n d A r c h i t e c t u r a l E n g i n e e r i n g ， C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y ， C h a n g s h a 4 1 0 0 7 5 ，C h i n a ) Abs t r a c t ： Ba s e d o n t h e a s s ump t i o n o f l i n e a r c h a n g e o f c o n c r e t e s t r e s s d u rin g s h o r t t i me i n t e r v a l ，t h e i n t e g r a l t i me d e pe n d e n t c o n s t i t u t i v e f o r mu l a f o r c o n c r e t e d u rin g l o a d d u r a t i o n wa s writ t e n a s a ma t rix e q ua t i o n，t h e t o t a l t y p e ma t rix a p p r o a c h t o a na l y z e e l a s t i c a n d t i me d e p e nd e n t de f o rm a t i o n o f s t a t i c a l l y a nd d e t e rm i n a t e p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b r i d g e s wa s p u t f o r wa r d，a n d t h e a n a l y t i c a l ma t rix e s we r e e s t a b l i s he d Ke y wo r ds： pr e s t r e s s e d c o n c r e t e；s t a t i c a l l y d e t e rm i n a t e b rid g e；d e f o rm a t i o n；t o t a l t y p e ma t r i x a n a l y s i s ；t i me d e p e nd e n t 高速铁路和城市轻轨大量采用高架桥梁， 其 中， 预应力混凝土桥梁被广泛使用。对于简支梁 ， 由于跨 中附近长期处于偏心受压状态 ， 梁端变形 自 由， 混凝土徐变 、 收缩导致跨 中挠度或拱 度随时间 不断增加 ， 较准确预测和控制梁体 的时变变形是设 计中的关键技术 ； 对于大跨度超静定体系梁 ， 常采 用悬臂法施工 ， 合拢前为悬臂结构 ， 较准确预测合 拢前静定体系的时变变形是施工监控 的核心 内容 之一。因此 ， 较准确预测静定预应力混凝土桥梁的 变形具有实际意义。桥梁时变效应分析方法有两 大类 ， 即结合有 限元法的复杂分析法 和基于钢 筋约束影响的近似分析法 。复杂分析法通常 具有较高计算精度 ， 但工作量大 。目前 ， 国内外规 范 I 9 提供的和研究者 驯提出的近似分析法计 算结果 常出现较大误差 挖 ； H u等 系统 而明 确地提出了基于钢筋约束影响系数 的结构时变效 应分析 ， 在同类方法 中具有较 高的计算精度 ， 但由 于公式推导中采用 混凝 土老化 系数 的概念_ 1 ， 而 老化系数本身计算 复杂且不 易获得较精确值 ， 因此 ， 近似分析法较适用于初步设计或对时变变形 无严格要求的结 构分析 中。本文作者针对未开裂 静定预应力混凝土桥梁的受力和变形特点 ， 提出全 面考虑钢筋约束 、 预应力钢筋松弛 、 昆凝土弹性模 量时变等综合影响的分析梁体 弹性变形和时变变 形 的全 量形 式矩 阵分 析方 法 ， 建 立相 应 的矩 阵 方程 。 1 加载时刻弹性变形全量形式矩 阵 分析- 预应力混凝土桥梁施加荷载分次进行 ， 包括各 收稿 日期 ： 2 0 0 90 3 0 5 基金项 目： 中国博 士后科学基金资助项 目( 2 0 0 9年 ) ； 中南 大学博士后基金资助项 目( 2 0 0 8年 ) 作者简介： 胡狄( 1 9 6 8 一) ， 男， 浙江永康人， 博士， 博士后 ， 副教授， 从事桥梁工程教学与研究 2 铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2 0 0 9年 l 0月 次张拉预应力钢筋 、 施加一期恒载 ( 梁 自重等)和 二期恒载( 桥面系等) 。 设配筋 由 n 层普通钢筋和 n 。 束预应力钢筋组成 ， n 为某时刻张拉的预应力 钢筋束数 ， n 。 为某时刻张拉前已张拉且孔道 已灌 浆 的预应力钢筋束数 ( 参与主梁工作) 。 各变量下 标“ C ” 、 “ S ”和“ P ”分别代表混凝土 、 普通钢筋和预 应力钢筋。 t ， 时刻施加荷载( n 不为 0表示张拉预 应力钢筋 ) ， 假 定未开裂 截面变形符合 平截面假 定 ， 根据内力平衡方程可得如下关系 ： 1 ( t ， ) 1 J 1 - ( 由此得 ： s 。 ( t ， ) H I ( 【 2 ， 一盯 帅 A c o s O i=l np k 一 e p iO 帅 A c o s 0 p f ， 一 A c o s 0 p f i = l np k M ， 一e p i O r 帅 A c o s O = ，混凝土的总应变 s ( t )= ， 混凝土的收缩 应变 8 ( t ， t 。 )： ，徐变柔量 J ( t ， t )=J ， 则 预应力混凝土梁体中考虑收缩 、 徐变的混凝土时变 本构关系积分方程可写为 1 = 一 ( ， +J ， 一。)+o r 0 ( J ，oJ ， 1 )+ nl ( I， + ) + s 。 ( 3 ) 写成矩阵形式 ： A ， r ) + 曰) = ) 。 ( 4 ) 。 式中： A】 为徐变柔量方阵， 各元素为 ： ( ，i ( 2 ) 式中： ( t )为混凝土净截面重心处混凝土弹性应 变 ； ( t 。 )为截面弹性 曲率 ； 和 M 为施加荷载引 起的弹性值 ； e 和 e 。 为第 i 排预应力钢筋和普通钢 筋至混凝土净截面重心的距离 ； o - ( ， )为第 i 束预 应力钢筋张拉完成瞬间考虑摩阻和钢筋 回缩等应 力损失后的有效初始应力 ， 可按文献 1 6 计算 ； 为预应力钢筋切线与梁轴所夹之锐角 ； H。=E A +aA ； t 1 2 = E S + ； = E I c+xA ； i x = , ： l s i ； = A p i ； =E。 n s + E n o j c 。 s 卢= E e +E e p i C O S O p f ， =E e 2 + E p 2 c o s O ； A =f d A； Js =f y d A ； I = J y 2 d A 。 2 任意时刻时变变形全量形式矩阵 分析 将持荷 时段 ( t 。 ， t )细分为 n个小 时段 ( t ， t ) ( i=1 ， 2 ， ， n ) ， 设混凝土应力在小时段( t ， t )内线性变化， 记任意时刻混凝土总应力 D r ( t ) +J 一 J )， ： 一 ( t， 一 一-， + 1 ) ( i ) ， 0 =0 ( i ； i ， =1 ， 2 ， ， n ) ； 曰) 为应变列阵， 各元素为 b = o ( t， 【0 一 J ) 十 ； ) 为总应力列阵； ) 为 总应变列阵。 记 o r ， ( t ， t 。 ) = ， ，为预应力钢筋应力 固有松 弛 ； o - ( t )：o r ， 为距混凝土净截面重心 Y处混 凝 土 的 应 力。 令 。 ， =一 ( + ) ， ： ， = 一 ( 卢 + ) ，k s ， = 0 7 5 z 1 + 等 ) ，r 为 截 面 回 转 半径 ， 则引入变形协调条件及考虑预应力钢筋应力 松弛及与徐变、 收缩的相互影响后 ， 可推导得到任 意时刻距混凝土净截面重心 Y处混凝土的应力与 混凝土净截 面重 心处混 凝土应 变及截 面 曲率 的 关系 ： )= l ， 8)+k 2 ,y )+k 3，y )+ cl n 1 。 ( 5 ) 式 中： )= 【 1 y 2， y 】 T ； )= 【 I I ， ， 】 ， ) 为 截 面 曲率 列 阵； s ) 为混凝土净截面重心处混凝土 的总应变列阵； ， 为单位列阵 ； 。 为距混凝土净截面重心y 处扣 除预应力损失影响的混凝土初始弹性应力。 引入平截面假定， 选取 Y =0 ， Y =e 。 ， 分别为 混凝土净截面重心和预应力筋面积中心处 ， 则有 咖 = 卜 。 ) 。 ( 6 t o ) - c u 分别将 Y ：0， Y =e 。 及相应的变量代人式 ( 4 )和式 ( 5 ) ， 加上式 ( 6 )共 5个方程， 可求解 o r e )， s 印 ) ， ) ， s ) 和 咖) 共 5个未知量 ， 得 ) = D】 ( 】 。 ) 一 W1 】 _ 。 曰0 ) + ( k 3 ， 】 一 k 3 ，0 W1 ) A】 ) + 第 5期 胡 狄， 等： 静定预应力混凝土桥梁变形全量形式矩阵分析 3 ( w， 一一【 W， 一) 【 A l n x 1 ) 。 ( 7 ) 式 中： 【 D】 =【 k 2 0 【 】 AI ! ( e p J+ k 2 【 A ) 】 ； W l Il= ，一k l ，o A1； 【W 2 】= Ik 1 ，【 A】 ； ， 为 nn 阶单位矩阵； 带下标“ 0 ” ， “ e ”的参数分别对应 于 y ，=0和 Y =e 的j _l = ( 4 ) 和式( 5 ) 中相应 的 值。 式( 7 )中的弹性变肜初始值 l f 式( 2 )确定 。 对 于小挠度变形 ， 某一时刻结构竖向变形的积分公式 可由下 面代数公式来近似计算 ： b f ( t )=J ( ) ( ， ) d =A j ( ， ) 。 U ( 8 ) 式中： M( )为计算点处施加单位荷载时计算长度 内的弯矩 ； f 为节点 ； f 为系数 ； ( ， t )为 t 时刻 节点处截面曲率。 对简支梁和悬臂梁 ， 和 A 取 值不同， 如对于简支梁 ， 可取为 G a u s s 节点。 上述诸式可用于 1次加载后结构的弹性变形 和时变变形分析。 由于梁体在施工过程中或正常使 用时混凝土通常在弹性范围内工作( o r 。 0 ) ， 徐变行为表现为线性 ， 因此 ， 叠加各次加载结果即 为总结果。 3 算 例 用本文方法计算 了文献 1 2 中 6片跨度 为 6 m的预应力混凝土简支“ T ”梁持荷 5 3 3 d的变形 试验。 3片采用高性能混凝土 HP C 5 0 ， 3 片采用普通 混凝土 HS C 5 0， 混凝土徐变 、 收缩及弹性模 量表达 式采用基 于试验实测值 的规范修正公式。 对 HP C 5 0梁 ： ( t ， t 0 )：0 8 o 8 ( ， t 0 ) 1 3 ( t ， t o ) ； ( t ， t )=0 9 8 1 卢 ( t ， t ) ； E c ( f )-4 7 6 。 对 H S C 5 0梁 ： ( t ， t 0 )：0 9 1 9 o ( ， t 0 ) ( t ， t 0 ) ； ( t ， t )=1 0 2 3 s 卢 ( t ， t ) ； z) = 4 7 6 。 上述徐变 、 收缩 中各项表达式采用 C E BF I P ( MC 9 0 ) 中的计算式( 时间单位为 d ) 。 梁体施加 二期恒 载前 仅受一次荷载作 用 ( 一 期恒载和预加力) ， 不必考虑叠加原理对徐变效应 是否成立， 且此时梁体上下缘应力水平相差大( 约 8 9 M P a ) ， 徐 变 、 收缩作用下梁体拱度变化快 ， 因 此 ， 将理论分析值 与试验结果 比较更具实际意义。 施加预加力和一期恒载时 HP C 5 0梁实测弹性上拱 为 2 6 0 2 mm， 本文方法计算值为 2 6 3 8 m m( 与实 测值 相 差 1 4 ) ； HS C 5 0梁 实 测 弹性 上 拱 为 2 8 5 3 m m， 本文方法计算值为 2 7 4 1 m m( 与实测值 相差一3 9 ) 。图 1所 示 为 施 加 二期 恒 载 前 H P C 5 0梁和 H S C 5 0梁的跨中上拱增量时程图。计 算时环境参数采用实测值。 图 1所示为持荷 6 0 d时跨 中上拱 比较结果。 可见 ， H P C 5 0梁初始 7 d内上拱增量实测值与计算 值相差较大 ， 其余相对误差均在 6 1 以内； H S C 5 0 梁上拱增量实测值 与计算 值相对 误差均在 5 0 以内。 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 持 荷时问， 1 1一HS C梁( 试验值 ) ； 2一H S C梁 ( 理论值 ) ； 3一H P C梁 ( 试验值 ) ； 4一H P C梁 ( 理 论值 ) 图 l 跨 中时变上拱 Fi g1 Ti med e p e nd e n t c a mbe r a t mi ds p a n 表 1 梁体上拱增量试验值 与理论值 的比较 Tabl e 1 Co mp a r i s o n o f i n c r e me n t a l c amb e l s b e t we e n e x p e r i me n t a l r e s u l t s a n d t h e o r e t i c a l v a l u e s 说 明： 瞬时弹性变形均 采用试 验值 ； 括号 内为误差 值 ， 均 以试 验值为基准 。 表 1 所示为持荷 6 0 d时上拱增量试验值与各 种计算方法理论值的比较结果。从表 1 可见， 本文 方法具有较高的计算精度 。理论上 ， 复杂分析法的 2 2 O L u 掣磐 4 铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2 0 0 9年 1 0月 计算精度最高 ， 但 目前考虑徐变 、 收缩影响的有限 元法大都采用基于按龄期调整概念的拟弹性初应 变法 ( 包括 P R B P程序 ) ， 此法难以较准确考虑混凝 土弹模时变、 钢筋约束等影响， 且计算精度与时间 步长关系极大 ， 有限元法结果均比实测值大。公路 桥梁规范公式对钢筋的约束影 响考虑不够， 而 A C I 3 1 8 - _ 0 5建议 的公式则过大地考虑了钢筋 的约束 影 响 。 4 结论 ( 1 )根据预应力筋多次张拉特征 ， 将静定预应 力混凝土桥梁多次加载时混凝土净 截面重心处混 凝土弹性应变和截面弹性曲率写成矩阵形式 。 ( 2 )将混凝土时变本构关 系写成矩阵形式 ， 适 用于任意形式的混凝土时变弹性模量、 徐变系数和 收缩应变表达式。 ( 3 )建立了严格满足 内力平衡 和变形协调条 件的静定预应力混凝土桥梁变形全量形式矩 阵计 算式 ， 便于编程计算。 ( 4 )对于在弹性范 围内工作 的预应力混凝土 桥梁 ， 采用本文矩阵方法所得计算精度与采用分时 步复杂分析法所得计算精度相 当， 计算简便且具高 效性 。本文所得公式亦适用于开裂混凝土桥梁计 算 ， 只需将截面特性及惯性矩用开裂截面相应量值 代入 即可 。 参考文献： 1 B a a n t Z P Ma t h e ma t i c a l m o d e l i n g o f c r e e p a n d s h ri n k a g e o f c o n c r e t e M J h o n Wi l e y& L t d ， 1 9 8 8 ：2 7 5 31 0 2 B r a d f o r d M A， G i l b e r t R I ， S u n S C HT i m e d e p e n d e n t a na l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t r uc t u r e s u s i n g t he l a y e r e d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d J S t ruc t u r a l E n g i n e e ri n g a n d M e c h a n i c s ， 1 9 9 9 ， 8 ( 6 ) ： 5 6 1 5 7 8 3 B u r a g o h a i n D N， S i s s h a y e V R F i n i t e l e m e n t ana l y s i s o f p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b o x b ri d g e s J J o u r n a l o f S t r u c t u r - a l E n g i n e e ri n g ，1 9 9 7 ， 2 4 ( 3 ) ： 1 3 51 4 1 4 A A S H T O L R F D B ri d g e d e s i g n s p e c i fi c a t i o n s S I u n i t s fi r s t e d i t i o n M Wa s h i n g t o n ： A m e ri c a n A s s o c i a t i o n o f S t a t e Hi g h w a y a n d T r a n s p o r t a t i o n Of fi c i als ， Wa s h i n gto n ， 1 9 9 4 5 2 0 9 R -9 2 ， P r e d i c t i o n o f c r e e p ， s h ri n k a g e ， a n d t e m p e r a t u r e e f f e c t s i n c o n c r e t e s t ruc t u r e s S 6 J T G D 6 2 -2 0 0 4 ， 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵 设计规范 S J I G D 6 22 0 0 4，C o d e f o r d e s i gn o n r e i nfo r c e d a n d p r e s - t r e s s e d c o n c r e t e s t ruc t u r e o f h i g h w a y S 7 1 C EB F I P Mo d e l C o d e for C o n c r e t e S t r u c t u r e s 1 9 9 0 C o mi t 6 E u r o I n t e r n a t i o n al d u B 6 t o n F 6 d r r a t i o n I n t e m a t i o n al d e l a P r 6 c o n s t r a i n t e M P a r i s ，1 9 9 0 8 D i l g e r W HC r e e p a n al y s i s o f p r e s t r e s s e d c o n c r e t e s t r u c - t u r e s u s i n g c r e e pt r a n s f o r m e d s e c t i o n p r o p e rt i e s J P C I J o u r n al， 1 9 8 2 ， 2 7 ( 1 ) ： 9 81 1 8 9 B and y o p a d h y a y T K，S e n g u p t a B E ff e c t o f d e f e r r e d i n i - t i al l o a d i n g a n d p e r c e n t a g e o f s t e e l o n t i me d e p e n d e n t l o s s e s a n d d e f o r ma t i o n s o f p r e s t r e s s e d m e m b e r s J A C I S t r u c t u r al J o u r n al， 1 9 9 9 ， 9 6 ( 5 ) ： 8 0 78 1 6 1 0 G i l b e rt R I D e fl e c t i o n c al c u l a t i o n fo r r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t ruc t u r e sWh y w e s o m e t i m e s g e t w r o n g J A C I S t ruc t u r al J o u r n al，1 9 9 9 ， 9 6 ( 6 ) ： 1 0 2 71 0 3 2 1 1 H U D i ， T A N G M i an，C H E N Z h e n g - q i n g T h e r e s t r a i n t i n f l u e n c e c o e ffic i e n t me t h o d t o a n a l y z e s h r i n k age a n d c r e e p i n p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b ri d g e s C T h e 8 t h I n t e r n a t i o n al S y mp o s i u m o n S t r u c t u r al E n g i n e e ri n g f o r Yo un g Ex pe rts 20 0 4： 20 821 3 1 2 胡狄 ， 陈政清预应力混凝土桥梁收缩与徐变变形 试验研究 J 土木工程学报， 2 0 0 3 ， 3 6 ( 8 ) ： 7 98 5 Hu Di ， CHE N Z h e n g q i n g Ex p e ri me n t al r e s e a r c h o n s h rin k a g e c r e e p a n d d e fle c t i o n i n p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b ri d g e s J C h i n a C i v i l E n g i n e e ri n g J o u r n al， 2 0 0 3 ， 3 6 ( 8 ) ： 7 9 8 5 1 3 B a a n t Z P P r e d i c t i o n o f c o n c r e t e c r e e p e ff e c t s u s i n g a g e a d j u s t e d e f f e c t i v e mo d u l u s me t h o d J A C I P r o - c e e d i n g s ， 1 9 7 2 ， 6 9 ( 4 ) ： 2 1 2 2 1 7 1 4 L a c i d o gna G， T a r a n t i n o MA p p r o x i ma t e e x p r e s s i o n s fo r t h e a g i n g c o e ffic i e n t a n d t h e r e l a x a t i o n f u n c t i o n i n t h e v i s c o e l a s t i c a n al y s i s o f c o n c r e t e s t ruc t u r e s J 1 M a t e ri al s a n d S t ruc t u r e s ， 1 9 9 6 ， 2 9 ( 2 ) ： 1 3 11 4 0 1 5 胡狄 ， 陈政清 预应 力混凝土桥 梁徐 变分析 的全量 形式 自动 递 进 法 J 工程 力 学 ，2 0 0 4 ，2 1 ( 5) ： 4 1 45 Hu Di ， CHEN Zh e n g q i ng Aut o ma t i c all y s t e p u p me t h o d t o a n aly z e c r e e p i n p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b ri d g e s J E n g i n e e ri n g M e c h a n i c s ， 2 0 0 4 ， 2 1 ( 5 ) ： 4 1 4 5 1 6 胡狄， 陈政清 考虑反向摩阻的后张法 P C构件锚 固损失的计算 J 中国公路学报， 2 0 0 4 ，1 7 ( 1 ) ： 3 4 3 9 HU Di ， C HE N Z h e n g q i n g C o mp u t a t i o n o f s tr e s s l o s s e s i n p r e s t r e s s e d s t e e l d u e t o anc h o r a g e s e t c o n s i d e rin g t h e f u n c t i o n o f r e v e r s ef ri c t i o n i n P C m e mb e r s J C h i n a J o u rnal o f H i g h w a y a n d T r a n s p o rt，2 0 0 4，1 7( 1 ) ： 3 4 3 9