基本初等函数.doc

第3讲 基本初等函数一【基础知识】指数函数 对数函数 幂函数基础：概念 性质 图像 公式二【能力提升】能力：运算 推理 变形 复合三【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）幂的有关概念规定：1）N*；2）； n个3）Q，4）、N* 且性质：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）对数的概念定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，记作；基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。运算性质：如果则1）；2）；3）R）换底公式：1）；2）。2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称，函数值的变化特征：（2）对数函数：定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数函数图像：1）对数函数的图象都经过点（1，0），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。函数值的变化特征：，.，. （3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限四【典例解析】题型1：指数运算例1（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2（1）已知，求的值解：，又，。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足27的x的值是 .答案 例3计算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4设、为正数，且满足 （1）求证：；（2）若，求、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 解 （1） 因为是R上的奇函数，所以从而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于 因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即 整理得，因底数21，故 上式对一切均成立，从而判别式例6（2008广东 理7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）ABCD【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7设（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例8已知试求函数f(x)的单调区间。解：令，则x=，tR。所以即，（xR）。因为f(x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在0，+）上的单调性。任取，且使，则（1）当a1时，由，有，所以，即f(x)在0，+上单调递增。（2）当0a1时，由，有，所以，即f(x)在0，+上单调递增。综合所述，0，+是f(x)的单调增区间，（，0）是f(x)的单调减区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。题型5：指数函数的图像与应用例9若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）Am1 B1m0 Cm1 D0m1解：，画图象可知1m1时，函数y=logax和y=(1a)x的图象只可能是( )解：当a1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a1时，y=(1a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。（1）求点D的坐标；（2）当ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影。由SABC= log21, 得0 a22。点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型8：指数函数、对数函数综合问题例15在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由解：(1)由题意知：an=n+,bn=2000()。(2)函数y=2000()x(0abn+1bn+2。则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1)。 5(1)a10。(3)5(1)a10，a=7bn=2000()。数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1。于是当bn1时，BnBn1，当bn1时，BnBn1，因此数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn+11，由bn=2000()1得：n20。n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例16已知函数为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性（3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。解：（1）由a0，x0 f(x)的定义域是。（2）若a=2，则设 ， 则故f(x)为增函数。（3）设 f(x)是增函数，f(x1)f(x2)即 联立、知a1，a(1，+)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可题型9：课标创新题例17对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，则称f(x)与g(x)在上是接近的，否则称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。解：（1）两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，故有意义当且仅当；（2）构造函数，对于函数来讲， 显然其在上单调递减，在上单调递增。且在其定义域内一定是减函数由于，得所以原函数在区间内单调递减，只需保证当时，与在区间上是接近的； 当时，与在区间上是非接近的点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例18设，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，当时，。点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。例19.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为A. B. C. D.1答案 B解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.五【思维总结】1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力