32方差与矩.pptx

下下下下回回回回停停停停一、方差的概念一、方差的概念 二、方差的性质二、方差的性质 三、矩的概念三、矩的概念3.2 3.2 随机变量的方差和矩随机变量的方差和矩随机变量的方差和矩随机变量的方差和矩1.1.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出引例引例1 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)1000哪一批灯泡寿命更为稳定哪一批灯泡寿命更为稳定?小时小时.一、方差一、方差一、方差一、方差(Variance)Variance)的概念的概念的概念的概念引例引例引例引例2 2 比较两射手的技术比较两射手的技术比较两射手的技术比较两射手的技术甲射手甲射手乙射手乙射手显然二者的平均水平为显然二者的平均水平为9环环,也就是两射手的水也就是两射手的水如何描述这种差异呢如何描述这种差异呢?平相当平相当,但乙射手的波动性较大但乙射手的波动性较大,射击不够稳定射击不够稳定.由此可以引入由此可以引入方差方差的定义如下：的定义如下：设射手打中的环数为随机变量设射手打中的环数为随机变量X,其分布律为其分布律为则该射手的平均射击波动为则该射手的平均射击波动为其平均水平为其平均水平为E X,则其每次射击的波动为则其每次射击的波动为为了数学上处理的方便为了数学上处理的方便,以以替代替代2.2.方差的定义方差的定义方差的定义方差的定义通过上述通过上述2个引例个引例,我们可以给出如下定义我们可以给出如下定义定义定义3.3设设X是一个随机变量是一个随机变量,若若存在存在,则称则称为为X的的方差方差,记为记为 2 方差方差D(X)是一个非负实数是一个非负实数,常用来体现常用来体现随机变量随机变量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量,它反映了它反映了X偏离偏离其其数学期望数学期望的程度的程度.3 如果如果D(X)值值大大,表示表示X 取值越取值越分散分散,以以E(X)作为随机变量的代表性作为随机变量的代表性差差;(小小)(集中集中)(好好).注注1 由定义知由定义知,3 3、随机变量方差的计算、随机变量方差的计算、随机变量方差的计算、随机变量方差的计算离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差(1)利用定义计算利用定义计算 其中其中p x 为为X的概率密度的概率密度.例例例例1 1(正态分布正态分布正态分布正态分布)解解 因为因为X的概率密度为的概率密度为因而正态分布的方差为因而正态分布的方差为xyOxyO正态分布方差的直观图示正态分布方差的直观图示:(2)(2)利用公式计算利用公式计算利用公式计算利用公式计算证证例例例例2 2解解设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度4.4.常见概率分布相应的方差常见概率分布相应的方差常见概率分布相应的方差常见概率分布相应的方差(二项分布二项分布)解解则有则有设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为n,p二项分布二项分布,其其又因为又因为分布律为分布律为设随机变量设随机变量,求求D X.(泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布)解解则有则有又因为又因为设随机变量设随机变量设设X P ,且分布律且分布律为为所以所以因而因而,泊松分布的数学期望与方差都等于参数泊松分布的数学期望与方差都等于参数.(均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布)解解设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布,则有则有求求D(X).(指数分布指数分布指数分布指数分布)解解 设随机变量设随机变量X Exp ,则则分布分布分布律分布律E(X)D(X)0-1分布分布XB(1,p)pp(1p)二项分布二项分布XB(n,p)npnp(1p)泊松分布泊松分布几何分布几何分布 k 0,1 k 0,1,2,n k 0,1,2,k 1,2,常见离散型分布对应的数学期望与方差常见离散型分布对应的数学期望与方差常见离散型分布对应的数学期望与方差常见离散型分布对应的数学期望与方差常见连续型分布的数学期望与方差常见连续型分布的数学期望与方差二、方差的性质二、方差的性质二、方差的性质二、方差的性质证证性质性质1 设设 C 是常数是常数,则有则有性质性质2 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,k是常数是常数,则有则有 证证证证推广推广性质性质3 设随机变量设随机变量 X,Y 相互独立相互独立,且且D X,D Y 存在存在,则则 D X Y D X D Y .解解由独立性可知由独立性可知 切比谢夫切比谢夫不等式不等式切比谢夫切比谢夫设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望 E X ,成立成立.不等式不等式性质性质4 (切比谢夫不等式切比谢夫不等式)证证取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.得得放大被放大被积函数积函数放大积放大积分区间分区间切比谢夫不等式的切比谢夫不等式的意义意义:给出了在给出了在X的分布未知的情形下的分布未知的情形下,粗略估计概率粗略估计概率的方法的方法;注注2 说明了说明了D X 的确刻划了的确刻划了X对对E X 的偏离程的偏离程度度,由由可知可知:D X 越小越小(X偏离偏离E X 程度越小程度越小),这表明这表明:X取值越集中在取值越集中在E(X)附近附近.注注3 它是大数定律的理论基础它是大数定律的理论基础.注注1 越大越大.例例例例5 5已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每一毫升所每一毫升所解解 设设X为每毫升血液中含白细胞数为每毫升血液中含白细胞数.依题意依题意,有有含含白白细细胞胞数数的的平平均均数数是是7300,均均方方差差是是700,试利用切比谢夫不等式估计每毫升含白细胞试利用切比谢夫不等式估计每毫升含白细胞数在数在52009400之间的概率之间的概率p.证证 必要性必要性:由于由于充分性：充分性：随机变量随机变量X的方差的方差D X 0的充要条件的充要条件是是性质性质5性质性质性质性质 6 6证证三、矩三、矩三、矩三、矩MomentMoment的概念的概念的概念的概念特例特例:1.矩的概念矩的概念定义定义3.4定义定义3.5存在存在,则称它为则称它为X的的k 阶原点矩阶原点矩 ak,即即设设X是一随机变量是一随机变量,且且 a1 E X,特例特例:a1 E X 是是X的数学期望的数学期望.存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩,记为记为2.2.原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系原点矩与中心矩的关系二者之间可以相互唯一表达二者之间可以相互唯一表达,关系如下关系如下:注注注注11 以以上上数数字字特特征征都都是是随随机机变变量量函函数数的的数数学学期期望望;k阶阶原原点点矩矩和和k阶阶中中心心矩矩可可以以互互相相唯一表示唯一表示.随随机机变变量量X的的 期期 望望E X 是是X的的 一一 阶阶原原点点矩矩,方方差差为为二二阶阶中中心心矩矩;三三阶阶中中心心矩矩E X E X 3,主主要要用用来来衡衡量量随随机机变量的分布的非对称性，即是否有偏变量的分布的非对称性，即是否有偏.2在在实实际际中中,高高于于四四阶阶的的矩矩很很少少使使用用.四四阶阶中中心心矩矩E X E X 4,主主要要用用来来衡衡量量随随机机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.一般越大陡峭程度越尖一般越大陡峭程度越尖.3例例例例1212解解内容小结内容小结内容小结内容小结1.方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分取值分散散程度的量程度的量.如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度取值分散程度大大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X)值小值小,则表示则表示X的取值比较集中的取值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表作为随机变量的代表性好性好.2.方差的计算公式方差的计算公式3.方差的性质方差的性质4.切比谢夫切比谢夫不等式不等式随机变量随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是是X的一阶原点矩的一阶原点矩;方差为二阶中心矩方差为二阶中心矩.5.矩是矩是随机变量的数字特征随机变量的数字特征.备用题备用题备用题备用题例例例例1-11-1设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求X的数学期望的数学期望E(X)与方差与方差D(X).由方差公式得由方差公式得解解例例例例2-12-1设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 0 a 2,求求E(X)与与D(X)的最大值与最小值的最大值与最小值.解解已知已知 0 a 2,于是当于是当a 0时时,数学期望数学期望E(X)取取最大值最大值 2 3.当当 a 2 时时,数学期望取最小值数学期望取最小值1 3.从而可知从而可知,当当 a 1 时时,方差取最大值方差取最大值1/12;当当 a 0 或或 a 2时时,方差取最小值方差取最小值1/18.由方差公式得由方差公式得因为因为例例例例4-14-1 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X1 1,X X2 2,X X3 3,X X4 4 相互独立相互独立相互独立相互独立,求求E(Y),D(Y).解解因为因为X1,X2,X3,X4相互独立相互独立,则有则有例例例例4-24-2的分布的分布,并求概率并求概率PX Y,PX Y 1400.求求Z1 2X Y,Z2 X Y解解由由X,Y相互独立相互独立,且且则则Z1 2X Y,Z2 X Y设设X,Y相互独立相互独立,且且服从正态分布服从正态分布.并且并且故有故有而而又因为又因为 X Y N(E(X)E(Y),D(X)D(Y),即即 X Y N(1360,1525).故有故有解解例例例例4-34-3 设每次试验中设每次试验中,事件事件A发生的概率为发生的概率为0.5.共进行了共进行了1000次试验次试验,用切比谢夫不等式估计用切比谢夫不等式估计:A发生次数在发生次数在400到到600之间的概率之间的概率.例例例例5-15-1解解 设事件设事件A发生的次数为随机变量发生的次数为随机变量X,则则并且并且由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得切比谢夫切比谢夫切比谢夫切比谢夫(Pafnuty Chebyshev)(Pafnuty Chebyshev)1821-1894俄国数学家、机械学家俄国数学家、机械学家.一生一生发表了发表了70多篇科学论文多篇科学论文.对数对数论、积分理论、概率论和力论、积分理论、概率论和力学都有很大贡献学都有很大贡献.证明了贝尔特兰公式证明了贝尔特兰公式,关于关于自然数列中素数分布的定自然数列中素数分布的定理理,大数定律的一般公式以大数定律的一般公式以及中心极限定理及中心极限定理.创立了切创立了切比谢夫多项式比谢夫多项式.