3关注三角形的外角.pptx

八年级数学（下册）第六章八年级数学（下册）第六章 证明证明(一一)关注三角形的外角关注三角形的外角 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800(B+C).(B+C).wB=B=1800(A+C).(A+C).wC=C=1800(A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾与思考回顾与思考ABC“行家行家”看看“门道门道”w如图如图.1.1是是ABC的一个外角的一个外角,11与图中的其它角有什么关系与图中的其它角有什么关系?w1+4=1+4=1800;w12;12;w13;13;w1=2+3.1=2+3.w证明证明:2+3+4=2+3+4=1800(三角形内角和定理三角形内角和定理),w 1+4=1+4=1800(平角的意义平角的意义),w 1=2+31=2+3.(等量代换等量代换).w 12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).探索思考探索思考ABCD1234w能证明你的结论吗能证明你的结论吗?w用文字表述为用文字表述为:w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.内涵与外延内涵与外延w在这里在这里,我们通过三角形内角和我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理定理直接推导出两个新定理.像这像这样样,由一个公理或定理直接推出的由一个公理或定理直接推出的定理定理,叫做这个公理或定理的叫做这个公理或定理的推论推论(corollary).(corollary).w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:w推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角内角.关注关注外角外角A AB BC CD D1 12 23 34 4关注三角形的外角关注三角形的外角w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:w推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个内角的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角相邻的内角.wABC中中:w1=2+3;1=2+3;w12,13.12,13.三种语言三种语言ABCD1234推论推论1：三角形：三角形的一个外角等的一个外角等于和它不相邻于和它不相邻的两个内角的的两个内角的和。和。3600快速反应快速反应已知已知:BAF,CBD,ACE是是ABC的三个外角的三个外角.则则 BAF+CBD+ACE=ABCDEF实际应用实际应用:1、一个零件的形状如图所示一个零件的形状如图所示,按规定按规定A应等应等于于900,B 和和C应分别是应分别是210和和320,检验工人量检验工人量得得BDC=1480,就断定这个零件不合格就断定这个零件不合格.运用你学运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由.ABCD9002103201480 2、在绿茵场上在绿茵场上,足球队员带球进攻足球队员带球进攻,总是尽力向球门总是尽力向球门AB冲近冲近,请你根据所学知识说明他这样做的理由请你根据所学知识说明他这样做的理由.BCAPD“行家行家”看看“门道门道”w例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分外平分外角角EAC,B=C.w求证求证:ADBC.w证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和相邻的两个内角的和),例题欣赏例题欣赏w ADBC(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).w B=C(已知已知),w DAC=C(等量代换等量代换).ACDBEw分析分析:要证明要证明ADBC,ADBC,只需要证明只需要证明“同位角同位角相等相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”.AD平分平分 EAC(已知已知).C=EAC(等式性质等式性质).DAC=EAC(角平分线的定义角平分线的定义).例题是运例题是运用了定理用了定理“内错角内错角相等相等,两直两直线平行线平行”得到了证得到了证实实.一题多解思维灵活一题多解思维灵活想一想想一想ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分外平分外角角EAC,B=C.求证求证:ADBC.B=C(已知已知),B=EAC(等式性质等式性质).AD平分平分 EAC(已知已知).DAE=EAC(角平分线的定义角平分线的定义).DAE=B(等量代换等量代换).ADBC(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).这里是运这里是运用了公理用了公理“同位角同位角相等相等,两直两直线平行线平行”得到了证得到了证实实.证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和相邻的两个内角的和),分析分析:要证明要证明ADBC,ADBC,只需要证明只需要证明“同位角同位角相等相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”.一题多解思维灵活一题多解思维灵活想一想想一想ACDBE例例1 已知已知:如图如图6-13,在在ABC中中,AD平分外平分外角角EAC,B=C.求证求证:ADBC.分析分析:要证明要证明ADBC,ADBC,只需要证明只需要证明“同位角同位角相等相等”,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”.DAC=C(已证已证),BAC+B+C=1800 (三角形内角和定理三角形内角和定理).BAC+B+DAC=1800 (等量代换等量代换).ADBC(同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行).这里是运用了定理这里是运用了定理“同旁内角互同旁内角互补补,两直线平行两直线平行”得到了证实得到了证实.证明证明:由证法由证法1可得可得:“行家行家”看看“门门道道”w例例2 已知已知:如图如图6-14,在在ABC中中,1是它的一个外角是它的一个外角,E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D,连接连接DE.w求证求证:12.w证明证明:1是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知),例题欣赏例题欣赏w 13(三角形的一个外角大三角形的一个外角大于任何一个和于任何一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角).w 3是是CDE的一个外角的一个外角(外角定义外角定义).w 32(三角形的一个外角大于三角形的一个外角大于任何一个和任何一个和 它不相邻的内角它不相邻的内角).w 12(不等式的性质不等式的性质).CABF1345ED2w已知已知:如图所示如图所示,在在ABC中中,外角外角DCA=100,A=45.w求求:B和和ACB的大小的大小.随堂练习随堂练习ABCD解解:DCA是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知),DCA=100(已知已知),B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和).又又 DCA+BCA=180(平角意义平角意义).ACB=80(等式的性质等式的性质).A=45(已知已知),你认识你认识外角吗外角吗?w已知已知:国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示.w求求:A+B+C+D+E的度数的度数.随堂练习随堂练习解解:1是是BDF的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),分析分析:设法利用设法利用外角外角把这五个角把这五个角“凑凑”到一个三角形中到一个三角形中,运用三角形内角和定运用三角形内角和定理来求解理来求解.1=B+D(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等于和它不相邻的两个内角的和).2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和).又又A+1+2=180(三角形内角和定理三角形内角和定理).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E=180(等式性质等式性质).思维拓展：思维拓展：n1、（、（1）如图）如图(甲甲)，在五角星图形中，求，在五角星图形中，求 A+B+C+D+E的度数。的度数。（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲甲)EBCDDCB(乙乙)(丙丙)你认识外你认识外角吗角吗?w已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(1)BDCA;w(2)BDC=A+B+C.试一试试一试证明证明(1):BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角的任何一个外角).DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角任何一个外角).BDCA(不等式的性质不等式的性质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADEw已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(1)BDCA;w(2)BDC=A+B+C.试一试试一试证明证明(2):BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BDC=C+CED(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和).DEC=A+B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和邻的两个外角的和).BDC=A+B+C(等式的性质等式的性质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE回味无穷回味无穷n理解几何命题证明的理解几何命题证明的方法方法,步骤步骤,格式格式及及注意事项注意事项.n三角形内角和定理三角形内角和定理 n三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.n推论推论1:1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和内角的和.n推论推论2:2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角邻的内角.n关注关注三角形的三角形的外角外角.n推论推论3:3:直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余.小结小结 拓展拓展2、（北京市海淀区，、（北京市海淀区，2003）如图）如图，把，把ABC纸片沿纸片沿DE折叠，当点折叠，当点A落在四边落在四边形形DEBC内部时，内部时，A与与1、2之间之间存在着一种数量关系，试找出存在着一种数量关系，试找出。12BCADE