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感悟“数形结合”——从“方法”到“思想”的飞跃

　　数学是研究现实世界的空 间形式和数量关系的科学．数学中的数和形关系非常密切。在小学数学教学 中运用数形结合．符合儿童的认知规律 我深深地体会到在数学教学中渗透“数形结合”的思想．将带给学生无穷的力量 。
　　“数形结合”思想就是使抽象思维和形象思维相互作用 ．实现数量关系与图形性质的相互转化 ，将抽象的数学关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合的方法具有双向性：借助“形 ”的生动和直观性认识 “数 ”．即以“形 ”为手段 ，“数”为 目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性 。此时，“数”是手段 在新课程理念下 。教学中我注重“数形结合 ”思想 的渗透 ．使学生的能力得到了很大的提升，也改变着我的教育教学观
　　一、以“形 ”为起点——充分利用教材使学生感受“数形结合”
　　“形”具有形象直观的优势 ，但也有其粗略 、繁琐和不便于表达 的劣势 只有 以简洁的数学描述 、形式化 的数学模型表达“形”的特性．才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。以“形”为起点 ，充分利用教材使学生感受“数形结合” 在北师大版第九册教材 《点阵中的规律》教学时．我不断地问自己“利用点阵来研究数的规律”其更为深入的价值在哪?在深入分析研究教材 的基础上，我认为本节课的教学 旨在让学生体会到我们借助点阵可以研究数 的规律．而这些规律 如果仅仅研究数将是很困难的．以“形”为起点 ，使学生探究出更多的“数”的规律教学设计时，我充分让学生利用 自己手中的点阵图认真观察 ，提出活动要求：(1)独立思考．从不同角度观察正方形点阵。你发现点阵中有哪些不同的排列规律，并在图中表示出来 (2)组内交流 。说一说你发现 的排列规律 ．试着用算式表示出来 。
　　学生在图形的帮助下．了解图形中点的个数1，4，9，16，25……这些有规 律的数 是完全 平方数 ．进而利用图形动手画一画可以发现更重要 的规律
　　1． 从一角向外扩展来看
　　1=1，4=1+3，9=t+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9+1 l
　　每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。进而学生们发现 了重要 的奇数列前 n项和公式 ： ．
　　1+3+5+7+9+……+(2n—1)--n
　　2． 斜着看
　　1=l
　　4=1+2+1
　　9=1+2+3+2+1
　　16=l+2+3+4+3+2+1
　　25=l+2+3+4+5+4+3+2+l
　　每一个正方形数都可以写成从 1开始连续 加到点阵中的行数再递减加到 1的连加算式 进而学生们发现了求和的重要公式：1+2+3+4……+(n-I)+n+(n一1)+……+4+3+2+1=n2 看似一节看图找规律的数学课．正是 因为有了图形 ．激发了学生学习的欲望，锻炼了学生的思维 ．在短短的一节课中学生们总结出了一条又一条的重要公式．以“形”为起点，学生们尝到了“数形结合”带给他们的快乐。
　　二、以“形”助“数’在直观中理解数学概念、构建数学模型
　　借助 图形的直观性将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感 ，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型．为理解数学概念奠定基础。教师通过以“形助“数”．突出图的形象思维 ，促进学生形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易 ．让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念 ．解决数学问题，形成数学思想的 目的。
　　案例1在学 习了分数的意义和基本性质后我设计了如下的活动 。利用方格纸(中学 中的坐标系)帮助学生再次认识“方格纸”中的分数。
　　小数数学教学中，只有到了学习折线统计 图时才出现了坐标系的影子。但方格纸却是学生数学课上常用的学具 ．把方格纸上画出相互垂直的两条数轴 ，这就是数学家笛卡儿发明的平面直角坐标系了。由于分数是由分子、分母这两个位置上的自然数构成的．所以可以用平面上的点表示它。把分数如图 4所示 ：用横轴点表示分母，纵轴上的点表示分2/3可以用过横轴上“3点的纵线与过纵轴“2”这一点线的交点 A来表示，可以用的B点来表示。5/7、4/9、7/10该样表示呢?
　　学生很快就把分数表示在图中。这样表示分数我们能发现什么呢?如果将 0点 (也称坐示原点)与这些点分别连接起来 ，再用一把直尺放在横轴上 ．按逆时针方向将直尺绕原点 0慢慢旋转，扫到的第一个分数是1/6 ，第二个是4/9，然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我们发现．通过很麻烦的通分可以比较这六个分数的大小，现在我们用直尺逆时针扫过分数的顺序也是比较分数大小的又一个新方法，分数从小到大排列为1/64/92/37/105/73/4。只把分数画在方格纸上 ，找到在方格纸中的位置就可以比较分数的大小了。利用这种办法，学生把2/3、4/6、6/9…画在方格纸上．学生会发现这些 、分数恰好位于同一条直线上，分数的基本性质也就被“画”在了方格纸上。
　　将某一个具体的平面图形平均分、涂阴影来表示分数 。是从分数的意义角度 ，而这里实际上是将直线与分数建立了联系(也就是用直线斜率表示分数)。学生从这个角度去认识分数，不仅能初步感受到分数的大小是由分子、分母两个数共同决定 的．而且可 以对坐标系有一个初步的了解．对以后的数学学习是非常有益的。学生在我精心设计的课堂上再次体会了数与形的完美结合，学生把分数画到方格 纸(坐标系 的时候．我想他们对分数 的理解又有 了独特的想法。
　　案例 2前不久我听了一节“两位数乘两位数的评优课。这位老师是把枯燥的计算教学课与图形——“点子图”联系在一起，数与形的有机结合．发散了学生的思维。例题是 ：同学们站 队用“点”来表示 队列 中的学生 ，14x12或 12x14得多少7下面是学生利用手中的点子图想出解决这道计算题的策略(图5)。
　　这个案例教学伊始，教师直接创设点子图的数学活动 ．通过这些活动激活学生的形象思维 ，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合。为研究“两位数乘两位数”借助直观来理解算理。进而为培养学生的抽象能力打下良好的基础．有效地实现原有知识与新知识之间的链接．诱发学生探索与学习的欲望，激活学生的思维 这说明以“形”助“数”，能把许多抽象概念和性质 、运算化为直观形象。将这些较难的数学问题．借助图形，可帮助学生建构数学模型，找到解题的捷径。
　　三、感悟“数形结合”思想——从“方法”到“思想”的飞跃
　　通过教学实践 ．我深刻地感受到一种数学思想的渗透决不是一朝一夕能够达到的．只有在点滴的教学中渗透“数形结合 ”思想．使学生逐步学会看数想形 、看形想数 ．才能使学生 的思维得到飞跃。

　　运用数形结合思想有时能使数量 之间的内在联系变得 比较直观 ．成为解决 问题 的有效方法之一 在分析问题的过程中．注意把数和形结合起来考察 ．根据问题的具体情形 ．把 图形的问题转化为数量关系的问题 ．或者把数量关系的问题转化为图形的问题．使 复杂 问题简单化 ．抽象问题具体化 ．化难为易。
　　(一)在学习完分数加减法后 ．我设计一道题 ：“一杯牛奶 ，小明第一次 喝了半杯 ，第二次又喝了剩下的一半．就这样每次都喝了上一次剩下的一半 问小明喝了五次后．一共喝了这杯牛奶的几分之几” 。
　　学生一般把五次所喝的牛奶加起来 ．列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的几分之几。但这并不是最好的解题策略这时有学生敢于创新提出画一个正方形(如图6)，并假设这个正方形的面积为单位l。
　　学生从图中直观地得出．从第一次开始每喝一次 都 减 少一 半 ．所 剩 的数量依次为最后计算结果为 。
　　在这里．根据数学问题的条件和结论之 间的内在联系．充分利用数形结合 的思想方法，使数量关系与空间形式巧妙、和谐地结合在一起 学生正是在这样的学习过程中，体会“数形结合”的思想．达到了一次从“方法 ”到“思想 ”的飞跃
　　(二)数轴上找倒数 ．深化对“倒数”的认识
　　乘积是 l的两个数互为倒数——倒数的概念对于学生来说并 不难理解 从教材的编排上看 ．“倒数的认识 ”是为后面学习分数除法而专门设置的 学生对这个概念的理解仅仅停留在对语义理解的层面上 ．形象的解释为分子分母互问颠倒的两个数互为倒数倒数的概念除了为后面学习分数除法做准备外．恰当的利用“数形结合”的思想 ．使分数与数轴上 的点之间有机的联 系起来 ．使学生的思维得到飞跃。
　　在《倒数》一课中，我设计了这样几个练习，使学生感悟“数形结合”思想。
　　通过找倒数并标在数轴上这一活动 ．由于已经看到了真分数与假分数分别在 1的左右两边。学生很快得 出了“真分数 的倒数都大于 1，假分数 (不等于 1)的倒数小于 1”的结论 ．有些学生还发现 了 “分数越大倒数越小 的规律 (分数大于0)”。
　　由于数轴实现了数与形的联姻 ．将数与直线上的点建立 了对应关 系．揭示 了数与形的内在的联 系 数轴使抽象的数有“形”可依。在小学数学教学中．我们 巧用这种带有箭头和刻度的射线(其实就是数轴的正半轴)，可以帮助学生感知数的大小与位置的关系
　　“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具 ．而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一 ．它也是数学学科 的 “一般原理”．在数学学习中是至关重要的 对于学生“不管他们将来从事什么工作．唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法 、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生 ”在小学数学教学中．学生懂得“数形结合”的数学思想方法后．对 于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的
　　四、数 与形巧联系——小学生能够理解的几个中学数学公式
　　小学课外数学的教学中．尤其是巧算的教学中经常会用到平方差 、完全平方公式 ，由于没有学过初中的代数式的相关知识．这些公式的掌握学生只能单纯靠记忆。其实 ．如果巧用图形．将这些公式与图形结合起来 ．与平面图形的面积计算联系起来．这些对于小学生来说十分深奥的公式也是完全可以理解 的
　　(一 )平方差公式 ：
　　学生在学习过用字母表示数 、用含有字母的算式表示长正方形面积的计算公式之后 ，学生再看到 a2很容易想到它表示边长为 a的正方形的面积 ，而(a+b)(a-b)应该是长(a+h)宽(a-h)的长方形 的面积 ，有这些做基础 ．学生理解起平方差公式应该并不困难 。
　　我们把 a、b分别想成是一大一小两个正方形的边长 ．那么 az、bz应该分别是这两个正方形的面积 ．az_bz就应该 是大正方形与小正方形的面积的差．也就是上 图中的涂色部分 我们把灰色部分进行割补之后会发现 ．灰色部分成为一个长方形，而这个长方形的长是(a+b)，宽是(a．b)，面积 自然就是(a+b)fa-b1。面积在数学学习中是一个比较特殊的概念．一方面它是描述平面图形大小的一个数量 ．另一方面在计算面积时又会用到代数的计算方法(在小学阶段 ．主要是乘法)，它可以将几何与代数建立起联系 ．就像解 析几何一样 ，真可谓是小学数学学习中的一个多面手 ，巧用面积的概念 ，还可以帮助我们理解下面的完全平方公式
　　(二 )完全平方公式 ：
　　理解完全平方公式与平方差公式类似 我们把a+b看成是一个大正方形 的边长．那么这个正方形 的面积 (a+b)z是由四部分组成 的(如图 8)，两个正方 形边长分别是a,b．两个全等的长方形。长 a、宽 b，所以大正方形的面积是 a2+2ab+b2 学生借助这些 图形 ．结合学过的面积公式及字母表示数的知识．很容易就能理解和掌握这些复杂的数学公式了华罗庚说 ：“数缺形时少直观，形缺数时难人微。”要把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终。是学好数学的关键之一。数与形及其相互关系是数学研究的基本内容 在数学教学 中教师要有意识地沟通数与形之间的联系 ．帮助学生逐步树立起数形相结合的观点．并使这一观点扎根到学生的认知结构中去．成为运用 自如的思想观念和思维工具 新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法 ．强化数学思想方法的教与学．培养学生运用数学思想方法 的意识和能力。锻炼学生的思维品质．使课堂教学“增值”。