中考数学一轮复习勾股定理(讲义及答案)及解析.doc

中考数学一轮复习勾股定理(讲义及答案)及解析

一、选择题
1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )

A．121 B．110 C．100 D．90
2．如图，在中， ，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的值不可能为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的是（ ）
①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．

A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．2 C．47 D．
5．如图，在中，，以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是10和4，则的面积是( )

A．4 B．6 C．8 D．9
6．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．12
7．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．3，5，4 C．5，12，13 D．3，2，
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）

A．3 B．5 C．4.2 D．4
10．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1、、 B．2、3、4 C．1、2、3 D．4、5、6
二、填空题
11．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的面积为______．

12．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)

13．在中，，，边上的高为，则的面积为______．
14．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为__________.
15．如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则点的坐标为______.

16．已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，DE=DF，若BF=4，则EF=_______
17．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，已知,则的值是____.

18．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．

19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 ， 其中阴影部分面积是_____________平方单位．

20．在中，，其中一个锐角为，，点在直线上（不与，两点重合），当时，的长为__________．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

22．已知a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

24．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．

（1）已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在中，，点、在斜边上，，求证：点、是线段的勾股分割点（提示：把绕点逆时针旋转）；
（3）在（2）的问题中，，，求的长．
25．如图，△ABC中，，AB=AC，P是线段BC上一点,且.作点B关于直线AP的对称点D, 连结BD，CD，AD．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP的大小为α.求∠ADC的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.

26．如图，己知，，，斜边，为垂直平分线，且，连接，.

（1）直接写出__________，__________；
（2）求证：是等边三角形；
（3）如图，连接，作，垂足为点，直接写出的长；

（4）是直线上的一点，且，连接，直接写出的长.
27．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接，. 与交于点，且∥.

（1）求证:；
（2）若，. 求的长 .
28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或.
（1）已知、，试求A、B两点间的距离______.
已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度．

29．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．

30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：

的大小
的形状

…

直角三角形

…

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论 在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（ ）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
所以，矩形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的面积为，
故选B．

【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP的长度，从而求出t值即可．
【详解】
在中，，
，
①如图，当时，；

②如图，当时，
∵，
∴，；

③如图，当时，设，则，

∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时，或或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．
3．B
解析：B
【分析】
根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC和DE的关系．
【详解】
解：根据折叠的性质知，△，且都是等腰直角三角形，
∴，，
∴
不能平分①错误；
，，
，
，，
②正确；
，
，
，
，
不是等腰三角形，
故③错误；
的周长，
故④正确．
故选：．
【点睛】
本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．
4．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积加上C的面积和D的面积是E的面积．即可求解．
【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E的面积：即；故答案为C．
【点睛】
理解正方形A，B，C，D的面积的和是E的面积是解决本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
设AB=c，AC=b，BC=a，用a、b、c分别表示，，的面积，再利用得b2+c2=a2，求得c值代入即可求得的面积的面积.
【详解】
设AB=c，AC=b，BC=a，
由题意得的面积=，
的面积=
∴，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，b2+c2=a2，
∴c2=a2-b2=
∴的面积==
故此题选B
【点睛】
此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，

∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故选：C．
【点睛】
此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
7．A
解析：A
【解析】
A. 12+22≠()2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+22=()2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
8．D
解析：D
【解析】
在Rt△ABC中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C到AB的距离为h，即可得h×AB=AC×BC，即h×5=×3×4，解得h= ，故选D.
9．C
解析：C
【分析】
根据题意可设折断处离地面的高度OA是x尺，折断处离竹梢AB是（10－x）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】
设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：x＝4.2
故折断处离地面的高度OA是4.2尺．

故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
10．A
解析：A
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【详解】
A、12+（）2=（）2
∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确; 
B、22+3242
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; 
C、 12+2232
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; 
D、 42+5262
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; 
故选A..
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.
二、填空题

11．
【分析】
将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．
【详解】
根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，
∴∠DCE＋∠B´CF＝∠ACE＋∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB＝10，
∴CE＝，
∴EF＝，
∵AE＝＝，
∴BF＝AB−AE−EF＝10－－＝，
∴S△CBF＝×BF×CE＝××＝，
∴S△CB´F＝，
故填：．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
12．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7×3=21（尺），
因此葛藤长=29（尺）．
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
13．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
cm，
cm，
如图1，点D在边BC上时，
BC=BD+CD=6+15=21cm，
∴△ABC的面积==×21×8=84cm2，
如图2，点D在CB的延长线上时，
BC= CD−BD=15−6=9cm，
∴△ABC的面积==×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，
故答案为：36或84．

【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
14．或
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BDCD求出BC的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
综合上述，△ABC的周长为：或；
故答案为：或.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
15．或或
【分析】
当是以为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O是顶角顶点时，②D是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP，PM即可．
【详解】
解：OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP=，则P的坐标是（6，8）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，

在直角△PDM中，PM= ，
当P在M的左边时，CP=10-6=4，则P的坐标是（4，8）；
当P在M的右侧时，CP=10+6=16，则P的坐标是（16，8）．
故P的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
16．或5或
【分析】
分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.
【详解】

解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D是AB的中点，
∴DG=BC
同理：DH=AC
又∵BC=AC
∴DG=DH
在Rt△DGE和Rt△DHF中
DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3
∴EF=
②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D是AB的中点，
∴DG=BC
同理：DH=AC
又∵BC=AC
∴DG=DH
在Rt△DGE和Rt△DHF中
DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11
∴EF=
③如图，以点D为圆心，以DF长为半径画圆交AC边分别为E、，过点D作DH⊥AC于点H，可知，可证△EHD≌△，，△DHC为等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°
∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°
∴△EDF为等腰直角三角形
可证
∴AE=CF=3,CE=BF=4
∴

④有第③知，EF=5，且△EDF为等腰直角三角形，
∴ED=DF=,可证△,

综上可得：
∴

【点睛】
本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.
17．.
【分析】
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据，，，，即可得出答案.
【详解】
∵八个直三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形
∴CG=NG，CF=DG=NF
∴

∴
∴
故
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.
18．5
【解析】
试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．
解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵∠ADF=∠CDB，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=BC=4，
∴AF=4，
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF===5，
∵AC是BF的垂直平分线，
∴BP=PF，
∴PB+PE=PF+PE=EF=5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
19．49
【分析】
先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90 ，,
∴,
∴阴影部分的面积=，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键.
20．或或4
【分析】
根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．
【详解】
解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵，
∴，
在Rt△APB中，根据勾股定理,
即,
即，解得，
如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴
在Rt△BCP中，根据勾股定理,
即,解得PC=4（已舍去负值）．
综上所述，的长为或或4．
故答案为：或或4．
【点睛】
本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．
三、解答题

21．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解】
解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
22．（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
∴，
∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，
∴a＝8，b＝15，c＝17；
（2）能．
∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，
∴82+152＝172．
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝×8×15＝60．
【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
23．(1) ；（2）或6；（3）当或时，△BCP为等腰三角形．
【分析】
（1）设存在点P，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，此时，，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在中，根据勾股定理得到，根据题意得：，当P在AC上时，为等腰三角形，得到，即，求得，当P在AB上时，为等腰三角形，若，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作于E，求得，若，即，解得，，如图3，过C作于F，由射影定理得；，列方程，即可得到结论．
【详解】
解：在中，，，
，
（1）设存在点P，使得，
此时，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，；
（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，

此时，，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，点与重合，也符合条件，
当或6时，在的角平分线上；
（3）根据题意得：，
当P在AC上时，为等腰三角形，
，即，
，
当P在AB上时，为等腰三角形，
，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作于E，

，
，即，解得：，
，即，
解得：，
，如图3，过C作于F，

，
，
由射影定理得；，
即，
解得：，
当时，为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
24．（1）或；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题；
（3）过点B作BP⊥AB，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB≌△CMA，△CMN≌△CPN，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB和NP的长，即得BM.
【详解】
解：（1）当MN最长时，BN=，
当BN最长时，BN=；
（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，
在△ADC和△BNC中，
，
∴△ADC≌△BNC（SAS），
∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠MCD=∠MCN，
在△MDC和△MNC中，
，
∴△MDC≌△MNC（SAS），
∴MD=MN
在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，
∴BN2+AM2=MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；

（3）过点B作BP⊥AB，使得BP=AM=1，
根据（2）中过程可得：△CPB≌△CMA，△CMN≌△CPN，
∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，
∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，
∴∠BPN=120°-60°=60°，
∴∠BNP=30°，
∴NP=2BP=2=MN，
∴BN=，
∴BM=MN+BN=.

【点睛】
本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）见解析；（2）∠ADC=；（3）
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；
（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；

（2）∵点B与点D关于直线AP对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD，
∵，
∴，
又∵AB=AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC==；
（3）如图，连接BE，

由（2）知：∠ADC=，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1），（2）证明见解析（3）（4）或
【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC的长；
（2）由为垂直平分线可得DB=DA，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE，故∠BDE为60°，即可证明是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，，AD=4，进而可求得CD的长，再由等积法可得，代入求解即可；
（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，过点E作AC的垂线交AC于点Q，构造Rt△PQE，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵，，，斜边，
∴，∴；
（2）∵为垂直平分线，∴ADB=DA，
在Rt△BDE中，
∵，，
∴，
∴BD=2BE，∴∠BDE为60°，
∴为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，，AD=4，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，
如图，过点E作AC的垂线交AC于点Q，

∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，
∵，∴，
①若点P在线段AC上，
则，
∴；
②若点P在线段AC的延长线上，
则，
∴；
综上，PE的长为或.
【点睛】
本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.
27．（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴△是等边三角形.
∴.
∵∥，
∴.
∴.
（2）解：连接交于点，

∵，，
∴垂直平分.
∴.
∵△是等边三角形，
∴，
∴.
∵∥，
∴.
∴, .
∵.
∴.
∴△是等边三角形.
∴,
∴,.
在Rt△中，
∴.
在Rt△中，
∴.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
28．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离;
（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点.
【详解】
解：（1）∵、
∴
故A、B两点间的距离为：13.
∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1
∴
故M、N两点的距离为5.
（2）∵、、
∴

∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形
（3）

作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短
设直线的解析式为y=kx+b
将D（1,6），（4，-2）代入得：

解得
∴直线的解析式为：
令y=0，解得，即P的坐标为（）
∵PF=
∴PD+PF=PD+==
故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
【点睛】
本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
29．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE≌△ACD；
（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，只要证明BG=AE，BG∥AE即可；
ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；
【详解】
（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
∵AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠CAD．
（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．

理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，
∴AG＝AD，AB＝AC，
∴∠GAD＝∠BAC＝60°，
∴△GAB≌△DAC，
∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，
∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，
∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，
∴BG∥AE，
∴四边形AGBE是平行四边形，
ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．
∵BH＝CH＝
∴
∴
∴四边形BGAE的周长＝,△ABC的周长＝3（k+1），
∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．【体验】 （1），5；（2）②；③；【探索】为锐角三角形；道理见解析；【应用】．
【解析】
【分析】
本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.
【详解