202X泰安市中考数学几何综合压轴题模拟专题.doc

202X泰安市中考数学几何综合压轴题模拟专题

一、中考几何压轴题
1．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点、分别在线段、上，．

（1）观察猜想：如图2，将绕点逆时针旋转，连接、，的延长线交于点．当的延长线恰好经过点时，点与点重合，此时，

①的值为______；
②∠BEC的度数为______度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转，点与点不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：若．，当所在的直线垂直于时，请你直接写出线段的长．
2．如图1，在中，，点P在斜边上，点D､E､F分别是线段､､的中点，易知是直角三角形．现把以点P为中心，顺时针旋转，其中．连接､､．

（1）操作发现
如图2，若点P是的中点，连接，可以发现____________；
（2）类比探究
如图3，中，于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；
（3）拓展提高
在（2）的条件下，如果，且，在旋转的过程中，当以点C､D､F､P四点为顶点的四边形与以点B､E､F､P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段､､的长．
3．（发现问题）
（1）如图， 已知和均为等边三角形，在上，在上， 易得线段和的数量关系是 ．

（2）将图中的绕点旋转到图的位置， 直线和直线交于点
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．
②图中的度数是 ．

（3）（探究拓展）
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，， 直线和直线交于点， 分别写出的度数， 线段、之间的数量关系 ．

4．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）．
5．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

6．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
7．（问题发现）（1）如图1所示，在中，，，点在边上，且，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接、，的值为______；

（类比探究）
（2）如图2所示，在（1）的条件下，点为的中点，，将线段绕点顺时针旋转90°得到，连接，则的值会发生改变吗？说明你的理由；
（拓展延伸）
（3）如图3所示，在钝角中，，，点在边的延长线上，，连接．将线段绕着点顺时针旋转，旋转角，连接，则______（请用含有，的式子表示）．
8．（1）问题探究：如图1，在正方形中，点、、分别是、、上的点，且，求证：；
（2）类比应用：如图2，在矩形中，，，将矩形沿折叠使点落在点处，得到矩形．

①若点为的中点，试探究与的数量关系；
②拓展延伸：连，当时，，，求的长．
9．（1）（问题发现）
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：①线段与的数量关系为______；
②直线与所夹锐角的度数为_______．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

10．（问题探究）
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．
②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长．
（拓展延伸）
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

11．问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．

（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________；
（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积．
12．如图，在中，，，，为底边上一动点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接．

观察猜想：
（1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系：_______．
类比探究：
（2）如图2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长．
13．（问题情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．

（特例分析）（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°．
（拓展探究）（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；
（问题解决）（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
14．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．

（1）概念理解：
如图1，四边形中，为的中点，，是边上一点，满足，试判断是否为四边形的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：
如图2，中，，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发向点运动，动点以每秒6个单位的速度，从点出发沿射线运动，当点运动至点时，两点同时停止运动．为线段上任意一点，连接并延长，射线与点构成的四边形的两边分别相交于点，设运动时间为．问为何值时，为点构成的四边形的准中位线．
（3）应用拓展：
如图3，为四边形的准中位线，，延长分别与，的延长线交于点，请找出图中与相等的角并证明．
15．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：
[数学理解]
(1)点是线段垂直平分线上的一点，则的值为 ；
[拓展延伸]
(2)在平面直角坐标系中，点， 点在轴上，且， 则点的坐标为 ．
(3)经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：

[问题解决]
(4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．(请画出示意图并简要说明理由)

16．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

（特例研究）
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=b= ；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
17．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长　 　；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长　 　

18．如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．

（1）证明与推断：
求证：四边形是正方形；
推断：的值为_ _；
（2）探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则 ．

19．如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
20．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
如图，G，H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD的中点

求证：四边形EHFG是平行四边形
证明：连接EF交AC于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
又∵E，F分别是AB，CD的中点
∴AE=CF
又∵AB∥CD
∴∠EAO=∠FCO
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
请补全上述问题的证明过程．
（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 ．
（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 ．

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一、中考几何压轴题

1．（1）①；②45；（2）成立，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）①如图，设AC交BE于点O．证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再证明∠BAO=∠CEO=45°，可得结论．
（
解析：（1）①；②45；（2）成立，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）①如图，设AC交BE于点O．证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再证明∠BAO=∠CEO=45°，可得结论．
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．证明△DAB∽△EAC，可得结论．
（3）分两种情形：如图，当CE⊥AD于O时，如图（4）-2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．分别求出EC，可得结论．
【详解】
解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴=，
∴△DAB∽△EAC，
∴=；
②由△DAB∽△EAC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠EOC，
∴∠BAO=∠CEO=45°，
∴∠CEB=45°，
故答案为：，45；
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，
∴∠EAC=∠DAB，=，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ABD=∠ACE，
∵∠AOB=∠FOC，
∴∠BAO=∠CFO=45°，
∴=，∠BFC=45°；
（3）如图（4）-1中，当CE⊥AD于O时，

∵AE=DE=，AC=BC=，∠AED=∠ACB=90°，
∴AD=AE=2，
∵EO⊥AD，
∴OD=OA=OE=1，
∴OC==3，
∴EC=OE+OC=4，
∵BD=EC，
∴BD=4；
如图（4）-2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．

同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，
∴BD=EC=2，
综上所述，BD的长为4或2．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（1）1，1；（2）结论：，理由见解析；（3），，．
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：．如图3中，连接．利用相似三角形的性质解决问题即可．
解析：（1）1，1；（2）结论：，理由见解析；（3），，．
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：．如图3中，连接．利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）分两种情形：如图中，当时，满足条件，如图中，当点落在上时，四边形是矩形，四边形是矩形，分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图2中，连接，．

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
同法可证，，
，
．
故答案为1，1．
（2）结论：．
理由：如图3中，连接．

，，
，
，
，
，
，
，
，
同法可证，，
，
，，
，
，
．
（3）如图中，当时，

，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
由（2）可知，，
，．
如图中，当点落在上时，四边形是矩形，四边形是矩形，

此时，
由（2）可知，，
，．
综上所述，，，．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．（1）；（2）①，证明见解析；②；（3），
【分析】
（1）由等腰三角形的性质，结合等量代换即可求解；
（2）①根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
②由全等三角形的性质得，然后利用等
解析：（1）；（2）①，证明见解析；②；（3），
【分析】
（1）由等腰三角形的性质，结合等量代换即可求解；
（2）①根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；
②由全等三角形的性质得，然后利用等量代换即可求解；
（3）首先证明，然后根据相似三角形的性质得到，和，即可求解．
【详解】
（1）∵和均为等边三角形
∴CA=CB，CD=CE
∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE
∴AD=BE；
（2）①AD=BE
证明：∵和均为等边三角形
∴CA=CB，CD=CE，
∴
∴
∴AD=BE
②∵
∴
设BC和AF交于点O，如图2

∵
∴，即
∴；
（3）结论，
证明：∵，AB=BC，DE=EC
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了几何变换综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键证明全等和相似，并且分类讨论．
4．（1）；；；（2）；（3）．
【分析】
（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最
解析：（1）；；；（2）；（3）．
【分析】
（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．
【详解】
解：（1）依题意，过点作交于点，如图1所示．
则有，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵为中点，
∴为的中位线，
∴．
．
故答案为：；；．
（2）如图2所示，作交于点，则．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
（3）如图3所示，过点作交的延长线于点，则有．
∵，
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．
5．（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D
解析：（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；
②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，进而得出BD＝BP+DP ＝8，即可得出结论．
【详解】
解：（1）为等腰三角形，，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形

故答案为：．
（2），理由如下：
在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
点B、D、E在同一条直线上:

；
（3）由（2）知，，
，
在中，，
，
①当点E在点D上方时，如图③，
过点A作交BD的延长线于P，
，
，
四边形APDE是矩形，
，
矩形APDE是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
；
②当点E在点D下方时，如图④
同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，
BD＝BP+DP＝8，
，
综上CE的长为2或4．

【点睛】
本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．
6．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GM
解析：（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】
（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；

（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】
本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
7．（1）；（2）BE+BD的值不会发生改变，理由见解答；（3）2k•sin
【分析】
（1）只要证明，即可解决问题；
（2）如图2中，作交于，过点作交于．利用（1）中结论即可解决问题；
（3）如图③中
解析：（1）；（2）BE+BD的值不会发生改变，理由见解答；（3）2k•sin
【分析】
（1）只要证明，即可解决问题；
（2）如图2中，作交于，过点作交于．利用（1）中结论即可解决问题；
（3）如图③中，作交的延长线于，作于．只要证明，可证，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，

，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
（2）的值不会发生改变，理由如下：
作交于，过点作交于，

，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（1），知，，
，
，
为边上的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3中，作交的延长线于，作于．

，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．（1）见解析；（2）①；②
【分析】
（1）过点作于，证，即可证得；
（2）①设，则，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再证明，可得，由此可得，进而可求得答案；
②过点P作于点，先由①得，再证
解析：（1）见解析；（2）①；②
【分析】
（1）过点作于，证，即可证得；
（2）①设，则，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再证明，可得，由此可得，进而可求得答案；
②过点P作于点，先由①得，再证明∠BFE＝∠CGP，可得，进而利用勾股定理可求得，，，最后根据，可得，计算即可．
【详解】
（1）证明：如图，过点作于，则∠AHG＝∠FHG＝90°，

∵在正方形中，
∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，
∴四边形AHGD为矩形，
∴AD＝HG，
∴AB＝HG，
∵，
∴∠FQA＝90°，
∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，
∵∠FHG＝90°，
∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，
∴∠BAE＝∠FGH，
∴在与中

∴（ASA），
∴；
①∵点为的中点，
∴，
∵折叠，
∴设，
∴，
在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
如图，过点作于，则∠AHG＝∠FHG＝90°，

∵在矩形中，
∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，
∴四边形AHGD为矩形，
∴BC＝HG，
∵∠FHG＝90°，
∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，
∵，
∴∠FQA＝90°，
∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FGH，
又∵∠FHG＝∠D＝90°，
∴，
，
，
，
，
，
又∵，
，
∴，
∴；
②如图，过点P作于点，

∵，，
∴由①得，
∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，
∴∠CGP＝∠OEC，
∵∠FEP＝∠B＝90°，
∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠OEC，
∴∠BFE＝∠CGP，
又∵，
∴，
∴设，，
则，，
，
解得：，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】
本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，题目综合性较强，有一定的难度，熟练掌握并灵活运用相关知识是解决本题的关键．
9．（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）【问题发现】连接．易证，，三点共线．易知．，推出，从而得出与所夹锐角的度数；
（2）【拓展探究】连接，，延长交的延长线于点，交于点
解析：（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）【问题发现】连接．易证，，三点共线．易知．，推出，从而得出与所夹锐角的度数；
（2）【拓展探究】连接，，延长交的延长线于点，交于点，根据四边形的性质得到，根据得到，根据相似三角形的性质即可解决问题；
（3）【解决问题】需分两种情况讨论：①当点M在线段BC上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根据，可得△ABM∽△CAN，从而得到CN=BM，根据，可得到BM=AC-CM=2，从而可求出CN的值；
②当点M在线段BC的延长线上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根据，可得△ABM∽△CAN，从而得到CN=BM，根据，可得到BM=AC+CM=6，从而可求出CN的值．
【详解】
解：（1）【问题发现】如图①中，①线段与的数量关系为；
②直线与所夹锐角的度数为．
理由：如图①中，连接．易证，，三点共线．

∵．，
∴．
故答案为，．
（2）【拓展探究】结论不变．

理由：连接，，延长交的延长线于点，交于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）【解决问题】
①当点M在线段BC上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
∵，
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC-CM=2，
∴CN=BM=；
②当点M在线段BC的延长线上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN,
∵,
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC+CM=2=6，
∴CN=BM=．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
10．（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或
【分析】
（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似
解析：（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或
【分析】
（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，且，，
，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，

，，，
，
，
，
故答案为：4；
（2）若点在右侧，
如图，过点作于点，

，，，，．
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
若点在左侧，

，，，，．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
11．（1）；（2）不成立，理由见解析；；（3），．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是，则可知△BDE与△CDF是含角的直角三角形，根据角所对直角边是斜边的一半即可得到结果；
（2）
解析：（1）；（2）不成立，理由见解析；；（3），．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是，则可知△BDE与△CDF是含角的直角三角形，根据角所对直角边是斜边的一半即可得到结果；
（2）根据题意可证得，得到，，进而求出，得到，在中，，，即．
（3）过点作，可求得，根据顶角为的等腰三角形面积的算法可求出的面积，
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴,,
∴．
（2）不成立．
理由如下：如图1，分别过点作于点，于点，
易证得，
则，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
即．
在中，，
∴，即．
（3），．
解法提示：如图2，过点作，可求得．
同（2）可证，可求得．
在中可求出，
根据顶角为的等腰三角形面积的算法可求出的面积为．

【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，准确理解三角形全等判定与性质、直角三角形的性质是解题的关键．
12．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）证明是等腰直角三角形即可．
（2）结论成立．取的中点，连接，．证明，推出，再证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，取的中点，连接．当
解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）证明是等腰直角三角形即可．
（2）结论成立．取的中点，连接，．证明，推出，再证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，取的中点，连接．当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图（1）中，

，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：．
（2）如图（2）中，结论成立．

理由：取的中点，连接，．
，，，
，，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）如图中，取的中点，连接．当点在线段上时，

，
，
，
，
，
在中，，
．
如图中，当点在线段上时，同法可得，，

，
综上所述，的长为或．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
13．（1）△PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，证明AF＝CP，利用旋转的旋转证明AP＝PQ，∠PAF
解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，证明AF＝CP，利用旋转的旋转证明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，从而可得结论，
（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，再证明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性质可得答案，
（3）分情况讨论：当P在CB的延长线上时，证明△APC≌△QPC，利用等边三角形的性质可得答案，当P在BC的延长线上时，连接AQ，利用等边三角形的性质，证明△ACQ≌△PCQ，从而可得答案．
【详解】
解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵PF∥AC，
∴∠BPF＝∠BFP＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，
∴AF＝CP，
由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，
∴∠QPC＝45°﹣∠APF，
又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，
∴∠PAF＝∠QPC，
∴△APF≌△PQC，
∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
故答案为：△PQC，90；

（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CP，
又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠AP