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新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题专题复习及解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
【答案】BCD
【分析】
通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】
对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.

2．定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
先由推出关于对称，然后可得出B答案成立，对于答案ACD，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可
【详解】
因为
所以
所以关于对称，所以
又因为在区间上为增函数，
所以
因为
所以
所以选项B成立
因为
所以比离对称轴远
所以，所以选项A成立
因为
所以，所以比离对称轴远
所以，即C答案成立
因为，所以符号不定
所以，无法比较大小，所以不一定成立
所以D答案不一定成立
故选：ABC
【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出关于对称是解题的关键.

3．下列选项中的范围能使得关于的不等式至少有一个负数解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
将不等式变形为，作出函数的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
在同一坐标系中作出的图象如下图：

当与在轴左侧相切时，
仅有一解，所以，所以，
将向右移动至第二次过点时，，此时或（舍），
结合图象可知：，所以ACD满足要求.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.

4．下列命题正确的是（ ）
A．已知幂函数在上单调递减则或
B．函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是．
C．已知函数，若，则的取值范围为
D．已知函数满足，，且与的图像的交点为则的值为8
【答案】BD
【分析】
根据幂函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判定
D正确，即可求解.
【详解】
对于A中，幂函数，可得，解得或，
当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以A不正确；
对于B中，若函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足，解得，
所以是函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B是正确；
对于C中，由函数，则满足，解得，
即函数的定义域为，所以不等式中至少满足，
即至少满足，所以C不正确；
对于D中，函数满足，可得函数的图象关于点对称，
又由，可得，所以函数的图象关于点对称，则，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

5．设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的图象关于直线对称
B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C．f(x)在上单调递增
D．ω的取值范围是[)
【答案】CD
【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.
【详解】
依题意得， ，如图：

对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；
对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，
对于，因为，，所以，解得，所以正确；
对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；
故选：CD.
【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

6．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
【答案】AC
【分析】
根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案
【详解】
函数是奇函数，故在R上的解析式为：

绘制该函数的图象如所示：

对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；

对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如下图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时有，故C正确

对D：时，函数的零点有、、；
若使得其与的所有零点之和为0，
则或，如图直线、，故D错误

故选：AC
【点睛】
本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立

7．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
【答案】ACD
【分析】
先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.
【详解】
画出的图象如图所示：

令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.

8．已知当时，；时，以下结论正确的是（ ）
A．在区间上是增函数；
B．；
C．函数周期函数，且最小正周期为2；
D．若方程恰有3个实根，则或；
【答案】BD
【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数相切，结合图像将问题简单化.
【详解】
对于A，时，
即在区间上的单调性与在区间上单调性一致，
所以在上是增函数，在上是减函数，故A错误；
对于B，当时，，
，
，故B正确；
对于C，当时，，
当时，不是周期函数，故C错误；
对于D，由时，；
时，可求得当时，；
直线恒过点，方程恰有3个实根，
即函数和函数的图像有三个交点，
当时，直线与函数（）相切于点，
则，解得，
要函数和函数的图像有三个交点，
则的取值范围为：；
当时，当时，直线与函数有两个交点，
设直线与函数（）相切于点，
则，解得
综上，方程有3个实根，
则或,故D正确.

故选：BD.
【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.

9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数（Q是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于的性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数是周期函数
C．对任意的，，都有
D．对任意的，，都有
【答案】ABC
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；验证，可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，结合函数的定义可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，任取，则，；
任取，则，.
所以，对任意的，，即函数为偶函数，A选项正确；
对于B选项，任取，则，则；
任取，则，则.
所以，对任意的，，即函数为周期函数，B选项正确；
对于C选项，对任意，，则，；
对任意的，，则，.
综上，对任意的，，都有，C选项正确；
对于D选项，取，若，则，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D选项，可取，验证.

10．设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有则称为区间上的下凸函数.下列函数中是区间上的下凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据函数的解析式，求得，可判定A正确；根据特殊值法，可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.
【详解】
对于A中，任取且，则，
，
可得，满足，所以A正确；
对于B中，取，则，
可得，所以，，
此时，不符合题意，所以B不正确；
对于C中，函数，
由幂函数的图象向上移动5个单位，得到函数的图象，
如图所示，
取且，由图象可得，，
因为，所以，符合题意，所以是正确的；

对于D中，函数
由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，
如图所示，取且，由图象可得，，
因为，所以，符合题意，所以是正确的；

【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点 D．当时，有7个零点
【答案】ABD
【分析】
令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令，得，设，则方程等价为，
函数，开口向上，过点，对称轴为
对于A，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x只有一解，即函数有1个零点，故A正确；
对于B，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x有3个解，即函数有3个零点，故B正确；
对于C，当时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；
对于D，当时，作出函数的图象：

，此时方程有3个根，其中，，由可知，此时x有3个解，由，此时x有3个解，由，此时x有1个解，即函数有7个零点，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．

12．下列命题正确的有（ ）
A．已知且，则
B．，则
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.
【详解】
A选项，由条件知且，所以，即；
B选项，有，，而；
C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，
所以；
D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可
∴，解得
故选：ACD
【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.

13．已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．时，函数解析式为
B．函数在定义域上为增函数
C．不等式的解集为
D．不等式恒成立
【答案】BC
【分析】
对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.
【详解】
对于A，设，，则，
又是奇函数，所以，
即时，函数解析式为，故A错；
对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；
对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，
所以不等式，转化为，
又在上为增函数，得，解得，
所以不等式的解集为，故C对；
对于D，当时，
，
当时，
不恒大于0，故D错；
故选：BC
【点睛】
方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；
（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；
（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；

14．已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（ ）
A．当时，
B．当时，函数的值域
C．当且时，
D．当时，不等式在上恒成立
【答案】AC
【分析】
对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当时，，进而得当时，，故的值域；对于C选项，结合B选项得当且时，进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，由于当，函数的值域为，所以当时，，由于，所以，因为，所以，所以当时，，综上，当时，函数的值域，故B选项错误；
对于C选项，由B 选项得当时，，故当且时，，故C选项正确；
对于D选项，取，，则，，不满足式，故D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当时，，且当，函数的值域为，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.

15．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．
【详解】
解：∵，，
∴，，
因为，
又由，所以，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
由和知与均递减，
再由，的大小关系知，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．

16．已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1
【答案】BCD
【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项.
【详解】
由函数解析式可得图象如下：

∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.

17．已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．当时，
C．当时，存在非零实数，满足
D．函数可能有三个零点
【答案】BC
【分析】
A．考虑时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B．先根据条件分析的单调性，再根据与的大小关系进行判断；C．作出的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D．根据条件先分析出，再根据有三个零点确定出满足的不等式，由此判断出是否有解，并判断结论是否正确.
【详解】
A．当时，，当时，，取，此时，
所以此时的值域为，故A错误；
B．当时，的对称轴为，所以在上单调递减，
又因为在上单调递减，且，所以在上单调递减，
又因为，所以，所以，故B正确；
C．作出函数的图象如下图所示：

由图象可知：关于原点对称，且与相交于，
因为点在函数的图象上，所以点在函数的图象上，
所以，
所以当时，存在使得，故C正确；
D．由题意知：有三个根，所以不是单调函数，所以，
又因为，所以，所以，
且，若方程有三个根，则有，所以或，这与矛盾，
所以函数不可能有三个零点，故D错误，
故选：BC.
【点睛】
思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.

18．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中正确的是（ ）
A．的增区间为，
B．若与在上有10个零点，则的范围是
C．当时，的值域为，则的取值范围
D．若与有3个交点，则的取值范围为
【答案】BC
【分析】
首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利用数形结合可判断选项B、C；举反例如时经分析可得与有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.
【详解】

对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；
对于选项B：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，
故选项B正确；
对于选项C：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围，故选项C正确；
对于选项D：当时，直线为过点，也过点，当时，，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为与有3个交点，由排除法可知选项D不正确，
故选：BC
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

19．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【分析】
分别代入各个选项中的值，选解出中的，然后再根据数形结合可得出答案.
【详解】
画出函数的图象：

函数有零点，即方程有根的问题．
对于：当时，，
故，，故，，，，
故方程有4个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有1个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有6个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有7个不等实根；
对于：当时，，
故，，，
当时，由图象可知，有1个根，
当时，由图象可知，有2个根，
当时，由图象可知，有3个根，
故方程有6个不等实根；
故选：．
【点睛】
关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.

20．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为的四组函数，其中曲线与存在“分渐近线”的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.
【详解】
解：和存在分渐近线的充要条件是时，．
对于①，，，
当时，令，
由于，所以为增函数，
不符合时，，所以不存在分渐近线；
对于②，，
，
，
因为当且时，，所以存在分渐近线；
对于③，，，
当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，
所以当时，会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，，，
当时，
，且，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD．
故选：BD．
【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.